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2.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时)


双曲线的 简单几何性质
第 一 课 时

一、复习回顾:
1.双曲线的标准方程: 形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、 F( (焦点在x轴上,( 2 c,0)) 形式二: y 2 x 2
a
2

?

b

2

? 1(a ? 0, b ? 0)

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))

其中 c ? a ? b
2 2

2

2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a 2 ? b 2 ? 1?a ? b ? 0?
范 围

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称

对称性

顶点 焦 点
对称轴 离心率

(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2
c e ? a

A1

F1

o

A2

F2

X

B1

二、讲授新课:
(一)、研究双曲线

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ?a 2、对称性

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的简单几何性 2 a b y (x,y) (-x,y)
-a (-x,-y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点
顶点是A1 ( ?a,0)、A 2 (a,0)

( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m ( m ? 0)
2 2

-b B 1

4、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!

c2 ? a2 c 2 ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a b b ?当e ? (1,??)时, ? (0,??), 且e增大, 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大 b ? a

x2 y2 双曲线 ? ?1 16 9
(1)范围: x ? ?4或x ? 4, y ? R (2)顶点坐标:A1 (?4,0), A2 (4,0) (3)焦点坐标:F1 (?5,0), F2 (5,0)
? ? 1

y

F

A1

O

A2 ?

?

F2

x

c 5 (4)离心率: e ? ? a 4 1 思考:y ? 的图像是什么? 图像无限靠近x轴和y轴 x 1 x轴, y轴叫做y ? 的渐进线. x

5、渐近线
x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b
b a2 b 2 2 y?? x ? a ? ? | x | 1? 2 a x a
a2 当x ? ?时, 2 ? 0. x

b a2 ? ? x 1? 2 a x y

b y? x a

说明: 当x ? ?时, 双曲线上点的纵坐标 b 与y ? ? x的纵坐标很接近. a

O

x
b y?? x a

b a2 b 即y ? ? x 1 ? 2 与y1 ? ? x中,当x ? ?时, y ? y1. a x a

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b
b 直线y ? ? x叫做双曲线的渐进线. a
x2 y2 3 ? ? 1的渐进线为:y ? ? x 2 4 3 x2 y2 ? ? 1的渐进线为:y ? ? x 2 2

y

b y? x a

O

x
b y?? x a

等轴双曲线 e ? 2

焦点在x轴上的双曲线草图画法
Y
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

B2

F1

A1

A2

F2

X

B1

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
x2 y2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0)
A1

Y
B2

X
A2

4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b 5、渐近线方程: y ? ? x a c 6、离心率:e=

B1

a

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
2 2

y

y
F2

F1

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c c e? (e ? 1) e? (e ? 1) a a b a y ? ? x y ? ? x 如何记忆双曲线的渐进线方程?
a b

例题剖析

例1、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2-9y2=36, 2x±3y=0 (2)25x2-4y2=100.
5x±2y=0

练习(1) : x 2 ? 8 y 2 ? 32的实轴长8 2 虚轴长为 4 顶点坐标为 ? 4 2 ,0 ,焦点坐标为 ?? 6,0?
离心率为
2 2

3

?

2

?

(2) x ? y ? ?4 的实轴长 4 虚轴长 4 顶点坐标 (0,±2) 为 焦点坐标为 0,?2 2 离心率为 2 2 x x 2 ? y ? 1 的渐近线方程为: y ? ? (3) 2 4 2 x x 2 ? y ? 4的渐近线方程为: y ? ? 2 4 2 x x 2 ? y ? ?1的渐近线方程为: y ? ?

4

?

?

4 x2 ? y 2 ? ?4 的渐近线方程为: 4

2
x 2

y ? ?

例2、求双曲线 9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率,渐近线方程。
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

解:把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4 半焦距c=
42 ?32 ? 5

虚半轴长b=3

焦点坐标是(0,-5),(0,5)
c 5 离心率: e ? a ? 4 4 渐近线方程: y ? ? x 3

5 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? , 例 3、 4 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方 程,并且求出它的渐近 线和焦点坐标 . 2 2
解:依题意可设双曲线的方程为
c 5 又 ? e ? ? ,? c ? 10 a 4

? 2a ? 16,即a ? 8

x y ? ?1 2 2 a b

?b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10 2 ? 82 ? 36
x2 y 2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 64 36 3 ? 渐近线方程为y ? ? x 4

焦点F1 (?10,0), F2 (10,0)



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