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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 合情推理与演绎推理课时跟踪检测(三十九)理(含解析)


课时跟踪检测(三十九)
一、选择题

合情推理与演绎推理
2

1.(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2

) B.大前提不正确 D.全不正确

2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b
) D.4
3 4 4 5 5 10

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 B.2
2 2

C.3
3

3.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( A.28
10

) B.76 C.123 D.199

4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 S2

1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P?ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积 4 为 V2,则 =( A. 1 8

V1 V2

) 1 B. 9 C. 1 64 )
2 2 2

1 D. 27

5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:

Sn=n2
B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇 函数 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N ,(n+1) >2
2 1 2 2 2 3 * 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

n

6. (2015·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个“整数对”是( A.(7,5) 二、填空题 7.(2015·福建厦门模拟)已知等差数列{an}中,有 B.(5,7) C.(2,10) D.(10,1) )

a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30
10 = 30



则 在 等 比 数 列 {bn} 中 , 会 有 类 似 的 结 论 : __________________________________________. 8.将全体正整数排成一个三角形数阵:根据以上排列规律,数阵 中第 n(n≥3)行从左至右的第 3 个数是________. 9.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截 下的一个直角三角形, 按下图所标边长, 由勾股定理有: c =a +b .设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O?LMN, 如果用 S1,
2 2 2

1 3 5 6 7 8 9 10 ?? 4 2

S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

10.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,都 有

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f? ?.若 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函 n n ? ?

数,那么在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 三、解答题 11.在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°;
2 2

②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
2 2 2 2 2 2

2

2

答案 1.选 C 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 2.选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. 3.选 C 记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4 =7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N ,n≥3), 则 f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7) +f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a +b =123. 4.选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 =
10 10 * 2

n

n

V1 1 . V2 27

5.选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前

n?1+2n-1? 2 n 项和等于 Sn= =n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.
2 6.选 B 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n 组中每个“整数 对”的和均为 n+1,且第 n 组共有 n 个“整数对”,这样的前 n 组一共有

n?n+1?
2

个“整

10×?10+1? 11×?11+1? 数对”,注意到 <60< ,因此第 60 个“整数对”处于第 11 2 2

组(每个“整数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个“整数 对”是(5,7),选 B. 7.解析:由等比数列的性质可知 b1b30=b2b29=?=b11b20, ∴ 10

b11b12?b20=
10

30

b1b2?b30.
30

答案:

b11b12?b20=

b1b2?b30 n?n-1?
2 2 个,即

8.解析:前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)=

n2-n
2

个,因此第

n2-n n2-n+6 n 行从左至右的第 3 个数是全体正整数中第 +3 个,即为 .
2 答案:

n2-n+6
2

9.解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边, 可得 S1+S2+S3=S4. 答案:S1+S2+S3=S4 10.解析:由题意知,凸函数满足
2 2 2 2 2 2 2 2

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f? ?, n n ? ?
又 y=sin x 在区间(0, π )上是凸函数, 则 sin A+sin B+sin C≤3sin 3 3 = . 2 3 3 答案: 2 11.证明:∵△ABC 为锐角三角形, π π ∴A+B> ,∴A> -B, 2 2

A+B+C
3

π =3sin 3

? π? ∵y=sin x 在?0, ?上是增函数, 2? ? ?π ? ∴sin A>sin? -B?=cos B, ?2 ?
同理可得 sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 12.解:(1)选择②式,计算如下: 1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2

1 3 =1- = . 4 4 (2)法一:三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α ) = sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) - sin α ·(cos 30°cos α + sin 30°sin α ) 3 3 1 3 1 2 2 2 2 =sin α + cos α + sin α cos α + sin α - sin α cos α - sin α 4 2 4 2 2 3 2 3 2 = sin α + cos α 4 4 3 = . 4 法二:三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = 1-cos 2α 1+cos?60°-2α ? + -sin α ·(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 2 2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α + + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = . 4 4 4 4



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