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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-2课件:1.3.1 线性变换的基本性质

三 线性变换的基本性质 -1- (一)线性变换的基本性质 -2- (一)线性变换的基本性质 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 1.理解数乘平面向量和平面向量的加法的概念,掌握线性变换的 基本性质1、性质2及定理1. 2.会利用线性变换的性质及定理进行相关的计算,会确定直线在 线性变换后的图形,并能解决简单的实际问题. -3- (一)线性变换的基本性质 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 为什么线性变换把平面上的直线变成直线(或一点)? 剖析:设 P1,P2 为直线 l 上的两个定点,P 为 l 上的一个动点,如图 所示. 记 α1= 1 ,α2= 2 , = , 则1 ∥ 1 2 , 即存在实数λ,使1 = 1 2 . 即 γ-α1=λ(α2-α1),从而 γ=(1-λ)α1+λα2. 令 λ1=1-λ,λ2=λ,则 γ=λ1α1+λ2α2(其中 λ1,λ2 是实数, 且 λ1+λ2=1), 即任意一条直线 l 都可以表示为 γ=λ1α+λ2β(λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1). -4- (一)线性变换的基本性质 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI x' 设直线 l 在线性变换 = x y y' 的作用下变成γ'=A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ(λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1). (1)如果Aα≠Aβ,则由Aα和Aβ的终点确定直线l',即把直线l变为直 线l'. (2)如果Aα=Aβ,则γ'=(λ1+λ2)Aα=Aα,Aα的终点是平面上一个确 定的点.所以矩阵所对应的线性变换把平面上的直线变成直线或一 点. -5- (一)线性变换的基本性质 题型一 题型二 题型三 题型四 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 题型一 利用线性变换的性质及定理进行计算 【例 1】 已知旋转角为 3 的旋转变换对应的矩阵为A,α= 3 -1 , = 7 , 求Aα,A(2α+3β),A(-α+2β). π 6 分析:根据性质 1 及定理 1 直接求解. -6- (一)线性变换的基本性质 题型一 题型二 题型三 题型四 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 解:由题意,得 A= 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 - ∴Aα= - 3 3 2 1 2 , 3-7 3 2 3 3+7 2 1 = 7 -1 = 6 , Aβ= 1 2 3 2 - 3 2 1 2 - 2 -3 3 3 +3 2 . -7- (一)线性变换的基本性质 题型一 题型二 题型三 题型四 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI ∴A(2α+3β)=2Aα+3Aβ 3 3 - -9 3 -16 3 2 2 = + = , 3 3 3 3 +9 + 16 2 2 3 3+7 3-7 3 A(-α+2β)=-Aα+2Aβ= 7 3-3 2 3 3+7 - 2 -1-6 3 + - 3+6 -2- 2 = . 5 3 5 - 2 +2 5 5 3 反思本题是利用定理1解决的,也可先利用平面向量的性质进行 计算,再结合性质1求出结果. -8- (一)线性变换的基本性质 题型一 题型二 题型三 题型四 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 题型二 求直线在线性变换下的图形 1 【例 2】 直线 x+y=3 在矩阵 1 0 2 对应变换的作用下变成了什么图形, 并求其方程. 分析:根据矩阵与向量的乘法求解. -9- (一)线性变换的基本性质 题型一 题型二 题型三 题型四 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 1 1 解:设(x,y)是直线 x+y=3 上任一点,在矩阵 0 对应变换的作用下变为点(x',y'),则 x+y x x' 1 1 有 y' = '- ', = '. 2 1 2 1 2 = 0 2 y = 2y ' = + , .∴ 从而得 ' = 2. 代入直线x+y=3,得 x'-3=0. 1 1 对应变换的作用下变成了直线x=3. 0 2 -10- ∴直线 x+y=3 在矩阵 反思此题验证了线性变换把直线变成了直线. (一)线性变换的基本性质 题型一 题型二 题型三 题型四 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 题型三 1 2 综合应用 【例 3】 直线 l 与直线 3x+5y=6 平行,且过点(3,-2),矩阵 A 对应 的切变变换是沿 y 轴方向平移 个单位长度, 求该切变变换将变成了什么图形, 并写出其方程. 分析:先由切变变换的概念写出A,根据直线的性质求出直线l的 方程,进而求出A将l变换后的图形其方程. -11- (一)线性变换的基本性质 题型一 题型二 题型三 题型四 M 目标导航 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 解:设直线 l 的方程为 3x+5y+c=0,把(3,-2)代

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