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2.2.2 反证法 课件_图文

第二章

推理与证明

2.2.2 反证法

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新知初探思维启动
1.反证法

不成立 即在原命题的条件下,结论不成立), 假设原命题_______( 假设 错误, 经过正确的推理 ,最后得出矛盾 ,因此说明 _______ 原命题 成立,这种证明方法叫做反证法. 从而证明了_________
想一想 1.用反证法证明命题“若 p,则 q”时 ,为什么证出﹁q 假 , 就说明“若p,则q”就真? 提示 :“若 p, 则﹁q”是“若 p, 则 q”的否定 , 二者一真一 假,所以“若p,则﹁q”为假从而说明“若p,则q”为真.
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推理与证明

2.“反证法”与“证逆否命题”有什么主要区别? 提示 :(1) 两种证法的逻辑原理不同 .“反证法”的原理 是命题与命题的否定一真一假 ,“证逆否命题”的原理

是命题与其逆否命题的等价性(即同真假).
(2)两种证明的推理形式不同,证明逆否命题实际上就是 从结论的反面出发,推出条件的反面成立.而反证法一般 是假设结论的反面成立,然后通过推理导出矛盾.

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推理与证明

2.反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 ,这个矛盾可 以是与已知条件、公理、定义、定理及明显成立的事 实或自相矛盾等.
想一想 3.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时 ,假设 的内容是什么? 3 3 3 3 3 3 提示: 对 a > b的否定是 a不大于 b即 a ≤ b ,故假
设的内容应是 a≤ b.
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3

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典题例证技法归纳
题型探究 题型一 用反证法证明否(肯)定式命题
例1 设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn=an+bn,
证明:数列 {cn}不是等比数列 .

【证明】 假设 {cn}是等比数列 , 则当 n≥ 2 时 ,(an+ bn)2= (an-1+bn- 1)· (an+1+bn+ 1). 2 ∴ a2 + 2 a b + b n n n n = an- 1an+ 1+ an- 1bn+1+bn- 1an+ 1+bn-1bn+ 1. 设 {an},{bn}的公比分别为 p,q(p≠ q).
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2 ∵ a2 = a · a , b bn+ 1, - + n n 1 n 1 n= bn- 1· ∴ 2anbn= an-1bn+ 1+ bn- 1an+ 1 an bn = · b · q+ · a · p, p n q n q p ∴ 2= + , p q q p q p q p ∴当 p≠ q 时 , + > 2 或 + ≤- 2 与 + = 2 矛盾 , p q p q p q

∴ {cn}不是等比数列 .

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推理与证明

【名师点评】

(1)当结论为否定形式的命题时 ,通过反设 ,

转化为肯定性命题 .可作为条件应用进行推理 ,因此对此类 问题用反证法很方便 . (2)用反证法证明问题的一般步骤: ①假设命题的结论不成立 ,即假设结论的反面成立 ; ②从这个假设出发 ,经过推理论证 ,得出矛盾; ③从矛盾判定假设不正确 ,从而肯定命题的结论正确 .

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跟踪训练
1. 已 知三个 正数 a,b,c 成 等比数 列 , 但 不成等 差数列 , 求 证: a, b, c不成等差数列.
证明:假设 a, b, c成等差数列 , 则 a+ c=2 b,即 a+ c+ 2 ac= 4b, 而 b2= ac,即 b= ac, ∴ a+ c+ 2 ac= 4 ac, ∴ ( a- c)2= 0. 即 a = c, 从而 a=b= c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾 , 故 a, b, c不成等差数列 .
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题型二

用反证法证明唯一性命题

例2 若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图象连续不断开 , 且 f(a)<0,f(b)>0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b) 内有且只有一个零点. 【证明】由于 f(x) 在 [a,b] 上的图象连续不断开 , 且 f(a) < 0,f(b)>0,即f(a)· f(b)<0, 所以 f(x)在 (a,b) 内至少存在一个零点 ,设零点为 m,则 f(m) =0, 假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)=0, 则n≠m.

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若n>m,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;
若n<m,则f(n)<f(m),即0<0,矛盾. 因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.
【名师点评】 证明“有且只有一个”的问题 ,需要证明两

个命题 ,即存在性和唯一性 .本例用直接证法中的综合法证 明了存在性,反证法证明了唯一性 .

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跟踪训练

2.(1)证明:方程2x=3有且只有一个根.
(2)证明:两条相交直线有且只有一个交点. 证明:(1)∵2x=3,∴x=log23.这说明方程有一个根.

下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.
假设方程2x=3有两个根b1,b2(b1≠b2), 则2b1=3,2b2=3.两式相除,得2b1-b2=1.

如果b1-b2>0,则2b1-b2>1,这与2b1-b2=1相矛盾;
如果b1-b2<0,2b1-b2<1,这也与2b1-b2=1相矛盾. 所以方程2x=3有且只有一个根.
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(2)假设结论不成立,即有两种可能:
无交点;不只有一个交点. ①若直线 a,b 无交点 , 那么 a ∥ b 或 a,b 是异面直线 , 与已知 矛盾; ②若直线 a,b 不只有一个交点 , 则至少有两个交点 A 和 B, 这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且 只有一条直线”相矛盾.

综上,所以结论成立,即两条相交直线有且只有一个交点.

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推理与证明

题型三

用反证法证明(或解答)“至多”或“至

少”类命题
例3 (2013· 临沂高二检测 )已知 a、 b、 c∈ (0,1),求证 :(1-
1 a)b,(1-b)c,(1-c)a 中至少有一个不大于 . 4 1 【证明】 假设三式同时大于 , 4 1 1 1 即 (1-a)b> ,(1-b)c> ,(1- c)a> , 4 4 4 三式相乘 ,得 1 (1-a)a· (1-b)b· (1- c)c> . 64
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1-a+a 2 1 又 (1-a)a≤ ( )= . 2 4 1 1 同理(1- b)b≤ ,(1- c)c≤ . 4 4 以上三式相乘得 1 (1-a)a(1- b)b(1- c)c≤ , 64 1 这与(1- a)a(1-b)b(1- c)c> 矛盾 , 64 故结论得证 .

【名师点评】
能扩大).

(1)要想得到原命题的反面,必须先弄清

原命题的含义,即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不

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推理与证明

(2)“至多”、“至少”、“都”等词语的否定形式 “至多”、“至少”、“都”等词语 至多有n个(即x≤n,n∈N*) 至少有n个(即x≥n,n∈N*) 否定形式 至少有n+1个(即 x>n?x≥n+1,n∈N*) 至多有n-1个(即 x<n?x≤n-1,n∈N*) n个不都是(即至少有1 个不是) 某个 某些 至少有2个 至多有0个,即一个也 没有
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n个都是
任意 所有的

至多有1个
特例 至少有1个

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跟踪训练
3.(2013· 杭州高二检测)用反证法证明:关于 x 的方程 x2+ 4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+ a2=0,x2+2ax-2a=0,当 a≤ 3 - 或 a≥-1 时,至少有一个方程有实数根. 2
证明:假设三个方程都没有实数根 ,则由判别式都小于零得
2 Δ = ? 4 a ? +4? 4a-3?< 0, 1 ?

? ?Δ2=? a-1? 2-4a2<0, ? ?Δ3=? 2a? 2-4×?-2a?<0,
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? ? 1 3 则? a> 或 a<- 1,解得- < a<- 1, 3 2 ? ?-2<a<0,
3 1 - < a< , 2 2 3 与 a≤- 或 a≥- 1 矛盾 ,故原命题成立 . 2

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方法感悟
用反证法证题时要把握三点: (1) 必须先否定结论 , 对于结论的反面出现的多种可能 , 要 逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件 进行论证 , 否则 ,仅否定结论 , 不从结论的反面出发进行论

证,就不是反证法.
(3) 推导出来的矛盾可能多种多样 , 有的与已知矛盾 , 有的 与假设矛盾 , 有的与定理、公理相违背等 , 但推导出的矛

盾必须是明显的.

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精彩推荐典例展示
名师解题
反证法在数列中的应用 例4
等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn,a1= 1+ 2,S3 = 9+

3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈ N*),求证:数列 {bn}中任意不同的三项都不 n 可能成为等比数列.
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?a1= 2+ 1, 【解】 (1)由已知得? ?3a1+ 3d=9+ 3 2,
∴ d= 2,故 an= 2n- 1+ 2,Sn= n(n+ 2).? Sn (2)证明:由(1)得 bn= = n+ 2.? n 假设数列 {bn}中存在三项 bp、 bq、br(p、q、 r 互不相等 )成 等比数列 ,则 b2 q=bpbr,? 即 (q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2), ∴ (q2-pr)+ (2q-p- r) 2=0.
? ?q -pr=0, * ∵ p、 q、 r∈ N ,∴? ?2q- p- r= 0, ?
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2

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p+ r 2 ∴( ) =pr,(p- r)2=0,∴p= r. 2 这与 p≠ r 矛盾. ∴数列 {bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列 .?
?信息提炼 层层剖析

用待定系数法求出公差,然后求 an 和 Sn. ? 写出{bn}的通项公式是证明(2)的基础 . ? 正确假设(否定原命题结论)是反证法的关键. ? 推出矛盾,得出结论.
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2 4.已知数列{an}和 {bn}满足:a1=λ,an+ 1= an+n-4,其中 λ 为 3 实数,n 为正整数.对任意实数 λ,证明数列{an}不是等比数列.
证明:假设存在一个实数 λ,使 {an}是等比数列 ,则有 a2 2= a1a3, 2 4 4 4 即 ( λ - 3)2= λ( λ- 4)? λ2- 4λ+ 9= λ2- 4λ? 9= 0,矛盾 . 3 9 9 9 所以对任意实数 λ,{an}不是等比数列 .

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知能演练轻松闯关

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