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2014高考数学冲刺第2讲《概率与统计》学生

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2014 高考文科数学复习

2014 高考数学冲刺第 2 讲《概率与统计》
【类型 1】满足条件的概率
【例 1】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4。 (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率。

【例 2】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (I)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为 a ,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球, 将其编号记为 b .求关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率; (II)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,
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该球的编号为 n.若以 (m, n) 作为点 P 的坐标,求点 P 落在区域 ?

?x ? y ? 0 内的概率. ?x ? y ? 5 ? 0

【类型 2】茎叶图、直方图
【例 3】为了解某校学生参加某项测试的情况,从该校学生中随机抽取了 6 位同学,这 6 位同学 的成绩(分数)如茎叶图所示. ⑴求这 6 位同学成绩的平均数和标准差; 学生成绩 ⑵从这 6 位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况, 7 6 6 8 8 求这两位同学中恰有一位同学成绩低于平均分的概率.

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【例 4】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数,乙组记录中有一个数 据模糊,无法确认,在图中以 x 表示. 甲 组 乙 组 35 (Ⅰ)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为 , x 8 9 9 7 0 4 0 1 1 1 求 x 及乙组同学投篮命中次数的方差; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 次的同学中,各随机选取一 名,求这两名同学的投篮命中次 数之和为 17 的概率.

【例 5】对某电子元件进行寿命追踪调查,所得样本数据的频率分布直方图如下. (1)求 y0 ,并根据图中的数据,用分层抽样的方法抽取 20 个 元件,元件寿命落在100 ~ 300 之间的应抽取几个? (2)从(1)中抽出的寿命落在 100 ~ 300 之间的元件中 任取 2 个元件,求事件“恰好有一个元件寿命落在 100 ~ 200 之间,一个元件寿命落在 200 ~ 300 之间”的概率.

【例 6】我校某班 50 名学生在二检数学考试中,成绩都属于区间[60,110]。将成绩按如下方式 分成五组:第一组[60,70) ;第二组[70,80) ;第三组 [80,90) ;第四组[90,100) ;第五组[100,110]。 部分频率分布直方图如图 3 所示,及格(成绩不 小于 90 分)的人数为 20。 (1)请补全频率分布直方图;
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用心教育加速育才 (2)在成绩属于[60,70)∪[100,110]的学生中任取两人, 成绩记为 m, n ,求 | m ? n |? 30 的概率;

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【例 7】为了了解某年段 1000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了 若干学生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将 成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14) ;第二组[14,15); ……;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如 图 3 所示,已知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 3∶8∶19, 且第二组的频数为 8. (1)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16,17) 内的人数; (2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩; (3)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的 绝对值大于 1 秒的概率.
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【例 8】某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每 个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分, 最高分是 10 分。 上个月该网站共卖出了 100 份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几
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组:第一组[0,2) ,第二组[2,4) ,第三组[4,6) ,第四组[6,8) ,第五组[8,10],得到的频率 分布直方图如图所示。 (Ⅰ)分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样 的方法抽取了 6 个产品作为下个月团购的特惠产品,某人 决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,求他抽到的两个 产品均来自第三组的概率。

【例 9】某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛” , 先在本校进行选拔测试(满分 150 分) ,若该校有 100 名 学生参加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出如图所示的 频率分布直方图. (Ⅰ )根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选拔 测试的平均成绩; (Ⅱ )该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校 参加市知识竞赛,为了了解情况,在该校推荐参加市知识 竞赛的学生中随机抽取 2 人,求选取的两人的选拔成绩在 频率分布直方图中处于不同组的概率.

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【类型 3】频率分布表
【例 10】某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],… , (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: (I)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (II)从样本中视力在(3.9,4.2]和(4.8,5.1]的所有 同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率.

【例 11】我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活 用水,计划在本市试行居民生物用水定额管理,即确定一个居民月用水量的标准,为了确定一 个较为合理的标准,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况。现采用抽样调查的方式,获 得了 n 位居民某年的月均用水量(单位:t) ,样本统计结果如下图表。 (I)分别求出 n,a,b 的值;
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独家内部教材 (II)若从样本中月均用水量在[5,6] (单位:t)的 5 位居民中任选 2 人 作进一步的调查研究,求月均用水量 最多的居民被选中的频率 (5 位居民的月均水量均不相等) ,

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【例 12】据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布如 下表: (I)为进行某项研究,从所用时间为 12 天的 60 辆汽车中随机抽取 6 辆. (i)若用分层抽样的方法抽取,求从通过公路 1 和公路 2 的汽车中各抽取几辆; (ii)若从(i)的条件下抽取的 6 辆汽车中,再任意抽取两辆汽车,求这两辆汽车至少有一辆 通过公路 1 的概率. (II)假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的 前 11 天出发,汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发. 为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙, 估计汽车 A 和汽车 B 应如何选择各自的路径.

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【例 13】某工厂生产 A, B 两种元件,其质量按测试指标 ? 划分为: ? ? 7.5 为正品, ? ? 7.5 为 次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下: 由于表格被污损,数据 x, y 看不清,统计员只记得 x ? y ,且 A, B 两种元件的检测数 据的平均数相等,方差也相等. (1)求表格中 x 与 y 的值; (2)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求取出的 2 件都为正品的概率.

频率/组距

【例 14】对甲、乙两名篮球运动员分别在 100 场比赛中的得 分情况进行统计,做出甲的得分频率分布直方图如右, 0.024 列出乙的得分统计表如下: 0.020

0.048

0.008 0 10 20 30 40 得分 (Ⅰ)估计甲在一场比赛中得分不低于 20 分的概率; (Ⅱ)判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定; (结论不要求证明) (Ⅲ)在甲所进行的 100 场比赛中,以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分, 试计算甲每场比赛的平均得分.

【例 15】一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产 量如表所示(单位:辆) ,若按 A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,则 A 类轿车有 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,
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独家内部教材 作一个总体,从中任取一个分数

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经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看

a .记这 8 辆轿车的得分的平均数为 x ,定义事件 E ? { a ? x ? 0.5 ,且函数 f ? x ? ? ax2 ? ax ? 2.31 没有零点},求事件 E 发生的概率.

【类型 4】独立性检验
【例 16】随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越来越严重,空气质量指数 API 一 直居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市 500 名居民的工作场所和呼 吸系统健康,得到 2 ? 2 列联表如下: (Ⅰ)补全 2 ? 2 列联表; (Ⅱ)你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统 疾病与工作场所有关; (Ⅲ)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体, 从中随机的抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率.

n(ad ? bc)2 参考公式与临界值表:K = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
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P(K2≥k0) k0

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

【例 17】2013 年 11 月,青岛发生输油管道爆炸事故造成胶州湾局部污染.国家海洋局用分层 抽样的方法从国家环保专家、海洋生物专家、油气专家三类专家库中抽取若干人组成研究小组 赴泄油海域工作,有关数据见表 1(单位:人)

海洋生物专家为了检测该地受污染后对海洋动物身体健康的影响,随机选取了 110 只海豚进行 了检测,并将有关数据整理为不完整的 2 ? 2 列联表,如表 2. (Ⅰ)求研究小组的总人数;
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(Ⅱ)写出表 2 中 A,B,C,D,E 的值,并判断有多大的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关; (Ⅲ)若从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选 2 人撰写研究报告,求其中恰好有 1 人为环保专家的概率.

【例 18】某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工 人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计 了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以 下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组:

? ?50, 60 ? , ? ?60, 70 ? , ? ? 70,80 ? , ? ?80,90 ? , ? ?90,100 ? 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

25 周岁以上组 25 周岁以下组 (I)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以 下组”工人的概率; (II)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ,请你根据已知条件完成列联表,并 判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

【例 19】随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越来越严重,空气质量指数 API 一 直居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市 500 名居民的工作场所和呼吸 系统健康,得到 2 ? 2 列联表如下: (Ⅰ)补全 2 ? 2 列联表, (Ⅱ)你是否的 95%的把握认为感染呼吸
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系统疾病与工作场所有关. (Ⅲ)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体, 从中随机的抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率。

【类型 5】回归方程
【例 20】某车间为了规定工时定额,需要确定加工零
件所花费的时间,为此作了四实试验,得到的数据如下: (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间? ,

(注:

【例 21】 某服装店经营的某种服装,在某周内获纯利 (元)与该周每天销售这种服装件数 之
间的一组数据关系如下表: 已知: (Ⅰ)画出散点图; (1I)求纯利 . 与每天销售件数 之间的回归直线方程.

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用心教育加速育才 (1)画出散点图: (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为 10 时,销售收入 的值.

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【例 22】某种产品的广告费用支出 与销售额 之间有如下的对应数据:

【五年福建文科高考】
(2013)19、某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研 究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先 统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁 以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均 生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的频率. (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列联表, 并判 断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

(2012)18、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行 试销,得到如下数据:
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(I)求回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ? ?20, a ? y ? b x (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本 是 4 元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

?

?

?

(2011)19、某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从 一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: (1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰 有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、b、c 的值; (2) 在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日 用品记为 x1, x2, x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1 , y2 ,现从 x1, x2, x3, y1, y2,这 5 件日用品 中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品 的等级系数恰好相等的概率.

(2010)18、设平面向量 a m =(m,1) ,b n =(2,n) ,其中 m,n∈ {1,2,3,4}. (I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (II)记“使得 a m ⊥ (a m-b n)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率.

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(2009)18、袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次 摸取一个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率

【三年福建文科质检】
(2014)19、某地区共有 100 万人,现从中随机抽查 800 人, 发现有 700 人不吸烟,100 人吸烟.这 100 位吸烟者年均烟草 消费支出情况的频率分布直方图如图. (Ⅰ )估计这 100 位吸烟者年均烟草消费支出的平均数; (Ⅱ )据统计,烟草消费税约为烟草消费支出的 40%, 该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用 年均约为 18800 万元.若将频率视为概率,当地的烟草 消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等 各种费用?说明理由. (注:平均数的估计值等于频率分布直方 图中每个小矩形的面积乘以该小矩形底边中点的横坐标所得的积之和. )

(2013)17、 (12 分)某工厂生产 A, B 两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于 7.5 为正品,小于 7.5 为次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记 录如下: 由于表格被污损,数据 x, y 看不清, 统计员只记得 x ? y ,且 A, B 两种元件的检测 数据的平均值相等,方差也相等. (Ⅰ)求表格中 x 与 y 的值; (Ⅱ)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的概率.

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