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高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质一课件新人教B版选修1


第二章 §2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的几何性质(一) 学习目标 1. 了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线 等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 抛物线的几何性质 思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以讨论抛 物线的哪些几何性质? 答案 范围、对称性、顶点、离心率. 思考2 类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,你能说 出抛物线y2=2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗? 答案 范围x≥0,关于x轴对称,顶点坐标(0,0). 思考3 参数p对抛物线开口大小有何影响? 答案 参数p(p>0)对抛物线开口大小有影响,因为过抛物线 的焦点 F且垂直于对称轴的弦的长度是 2p ,所以 p 越 大,开口越大. 梳理 标准方程 y2=2px y2=- 2px (p>0) x2=2py x2=- 2py (p>0) (p>0) (p>0) 图形 范围 x≥0, x≤0, x∈R, x∈R, y∈R x轴 y∈R y≥0 y轴 (0,0) y≤0 性 质 对称 轴 顶点 _____ 1 离心 率 e=__ 知识点二 焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则: y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) |AB|=x1+x2+p |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) |AB|=y1+y2+p |AB|=p-(y1+y2) 题型探究 类型一 例1 由抛物线的几何性质求标准方程 已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与 抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4, 求此抛物线的标准方程. 解答 引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的 顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是 答案 解析 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 反思与感 悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质 (1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次 项是x 还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦 (又称为通径)长为2p;离心率恒等于1. 跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点, 其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6,求抛物线的方程 . 解答 类型二 抛物线的焦点弦问题 例2 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于 解答 A、B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离 . 解答 p 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+ p = x 1+x2+p=x1+x2+3, 2 所以x1+x2=6,所以线段AB的中点M的横坐标是3. 3 又准线方程是 x=-2, 3 9 所以 M 到准线的距离等于 3+2=2. 引申探究 本例中,若A,B在其准线上的射影分别为A1,B1,求∠A1 FB1. 解答 由抛物线定义|AA1|=|AF|,得 ∠AA1F=∠AFA1, 又AA1∥x轴, ∴∠OFA1=∠

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