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2017-2018学年高中数学人教a版选修1-1练习:第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 含解析

第二章 2.3 2.3.2 A级 基础巩固 一、选择题 1.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点且垂直于 x 轴的弦为 AB,O 为抛物线顶 点,则∠AOB 的大小 导学号 03624559 ( C ) A.小于 90° C.大于 90° [解析] B.等于 90° D.不能确定 过抛物线焦点且垂直于 x 轴的弦 AB 为通径,其长度为 2p,又顶点 p 到通径的距离为 ,由三角函数知识可知,∠AOB 大于 90° . 2 2.若 AB 为抛物线 y2=4x 的弦,且 A(x1,4)、B(x2,2),则|AB|= 导学号 03624560 ( B A.13 C.6 [解析] ) B. D.4 代入点 A,B 可得 x1=4,x2=1,由两点间距离公式得|AB|= 13. 13 3.若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的 坐标为 导学号 03624561 ( B 1 2 A.( ,± ) 4 4 1 2 C.( , ) 4 4 ) 1 2 B.( ,± ) 8 4 1 2 D.( , ) 8 4 [解析] 设焦点为 F,原点为 O,P(x0,y0),由条件及抛物线的定义知,|PF| 1 1 =|PO|,又 F( ,0),∴x0= , 4 8 1 2 ∴y2 ,故选 B. 0= ,∴y0=± 8 4 4.已知 P(8,a)在抛物线 y2=4px 上,且 P 到焦点的距离为 10,则焦点到 准线的距离为 导学号 03624562 ( B A.2 C.8 [解析] ) B .4 D.16 根据题意可知,P 点到准线的距离为 8+p=10,可得 p=2,所以 焦点到准线的距离为 2p=4,选 B. 5.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A、B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF| =3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 导学号 03624563 ( C 3 4 5 4 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), ) A. B .1 7 4 C. D. [解析] 1 由|AF|+|BF|=3 得,x1+x2+ =3, 2 5 ∴x1+x2= , 2 ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 x1+x2 5 = . 2 4 6.(2017· 全国Ⅱ文,12)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 3的直线 交于 C 于点 M(M 在 x 轴的上方),l 为 C 的准线,点 N 在 l 上,且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的距离为 导学号 03624564 ( A. C.2 [解析] 5 3 C ) B .2 D.3 2 3 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. 由直线方程的点斜式可得直线 MF 的方程为 y= ? ?y= 3?x-1?, 联立得方程组? ? ?y2=4x, 3(x-1). 1 ? x= , ? 3 解得? 2 3 y=- ? 3 ? ? ?x=3, 或? ? ?y=2 3. ∵点 M 在 x 轴的上方, ∴M(3,2 ∵MN⊥l, 3). ∴N(-1,2 ∴|NF|= 3). ?1+1?2+?0-2 3?2=4, 3-2 3?2=4. |MF|=|MN|= ?3+1?2+?2 ∴△MNF 是边长为 4 的等边三角形. ∴点 M 到直线 NF 的距离为 2 故选 C. 二、填空题 7.过点 M(3,2)作直线 l 与抛物线 y2=8x 只有一个交点,这样的直线共有 __1__条. 导学号 03624565 [解析] ∵点 M(3,2)在抛物线内部,∴过点 M 平行于 x 轴的直线 y=2 与抛物 3. 线 y2=8x 只有一个交点. 8.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距 离为 10,则点 M 的坐标为__(-9,-6)或(-9,6)__. 导学号 03624566 ? p ? ? ? 由抛物线方程 y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为 F?- ,0?,准线 ? 2 ? [解析] p p 方程为 x= ,设点 M 到准线的距离为 d,则 d=|MF|=10,即 -(-9)=10,∴ 2 2 p=2,故抛物线方程为 y2=-4x. 将 M(-9,y)代入抛物线方程,得 y=± 6,∴M(-9,6)或 M(-9,-6). 三、解答题 9.(2016· 山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过 焦点且倾斜角为 135° 的直线被抛物线所截得的弦长为 8,试求抛物线的标准方 程. 导学号 03624567 [解析] 如图,依题意可设抛物线标准方程为 y2=2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2),过 A、B 分别作准线的垂线,垂 足为 C、D, 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| p p =x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是直线和抛物线的交点, 1 ? ?y=-x+ p 2 由? ? ?y2=2px ,消去 y 得 x2-3px+ p2 =0. 4 ∴x1+x2=3p.将其代入①,得 p=2. ∴所求的抛物线标准方程为 y2=4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线标准方程为 y2= -4x. B级 素养提升 一、选择题 1. 直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、 B 两点, 若 AB 中点的横坐标为 2, 则 k= 导学号 03624568 ( C ) A.2 或-2 C.2 ? ?y2=8x 由? ?y=kx-2 ? B.-1 D.3 [解析] ,得 k2x2-4(k+2)x+4=0, 则 4?k+2? =4,即 k=2. k2 2.(2016

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