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浙江省浦江中学2013届高三5月适应性考试数学(文)试题 Word版含答案

绝密★考试结束前

2013 年普通高等学校招生适应性考试 数 学(文科)

姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 3 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式

球的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=

V=

1 h(S1+ S1 S 2 +S2) 3

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
* 1. 若 A ? x ? N | x ? 25 , B ? y | y ?

?

?

?

x , x ? A ,则 A ? B ?
C. ?0,2,3,4?

?

A. ?0,1,2,3,4?

B. ?2,3,4,5?

1 D. ? ,2,3,4?

2.在等差数列 ? an ? 中, a2 =2 , a5 =8 ,则 a8 = A.12 B.14 C.16 D.18

3. ?,? 是两个不同的平面,则下列命题中错误的是 .. A. 若 ? ∥ ? ,则 ? 内一定存在直线平行于 ? B. 若 ? ∥ ? ,则 ? 内一定存在直线垂直于 ? C. 若 ? ⊥ ? ,则 ? 内一定存在直线平行于 ? D. 若 ? ⊥ ? ,则 ? 内一定存在直线垂直于 ?

4. 已知 p :

1 1 ? x ? 1 , q : x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 ,若 a ? ,则 p 是 q 的 2 2
D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件

5. 甲乙两人进行射击水平测试,在相同的条件下各射靶 10 次,每次命中的环数记录如下: 甲:4,5,6,6,7,7,8,8,9,10 乙:5,6,6,7,7,7,7,8,8,9 则

A. 甲乙两组数据的中位数分别为 5.5 和 6.5 C. 甲乙两组数据的平均数均为 7 6. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? 了得到 h( x) ? cos( x ? ? A. 向左平移

B. 甲乙两组数据的众数均为 8 D. s甲 ? 3,s乙 ? 1.2 ,甲发挥更稳定
2 2

?
3

为 )( x ? R, ? ? 0) 与 g ( x) ? cos(2 x ? ? ) 有相同的对称轴.

?
3

) ,只需将 y ? f (x) 的图象

? 个单位长度 4 ? C. 向左平移 个单位长度 2
7. 已知椭圆 是 A. (0, ] 8.

? 个单位长度 4 ? D. 向右平移 个单位长度 2
B. 向右平移

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心,则 ab 的取值范围 2 a b
C. [ , ??)

1 4

B. (0,4]

1 4

D. [4, ??) 处 切 线 的 斜 率

已 知 某 函 数 y ? f ( x)( x ? R) 上 任 意 一 点

? x , f ? x ??
0 0

k ? ( x0 ? 2)( x0 ? 1) 2 ,
则该函数的单调增区间为 B. (?2,1) C. [?2,??) D. (??,?2] , (?2,1) ??? ? ??? ? ???? 0 9. 已知平面向量 OA ? OB ? 1 ,∠ AOB ? 60 ,且 OA ? OC ? 2OB ? OC ? 0 ,则 OC A. (??,?2] , [1,??)

?

??

?

的取值范围是

A. [0,

7? 3 ] 2

B. [

7? 3 7? 3 , ] 2 2

C. [1,

7? 3 ] 2

D. [

7? 3 ,1] 2

10.设函数 f ( x ) ? ?

?log 2013 x, x ? a ,若对于任意小于 2 的整数 n ,恒有 f (2013 n) ? 1 , ? f ( x ? 2013 ), x ? a

则实数 a 的取值范围为 A. (?2012 ,0) B. (0,2012 ) C. [0,2013 ) D. (2012 ,2013 )

绝密★考试结束前

2013 年普通高等学校招生适应性考试 数 学(文科)

非选择题部分 (共 100 分)
注意事项: 1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2. 在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.对任意复数 x ? 则

yi? x, y ? R ? , i 为虚数单位,定义 f ? x ? yi ? ? ? x ? y ? ? ? x - y ?i ,


f ?1 ? i ? ?

12.已知某正三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是边长为 2 的正三角形,则该正三棱锥 的体积为 .
开始 输入 n M=n(n-1)
正视图 侧视图

n=n+1 否

M>100? 是 输出 n
俯视图

结束

(第 12 题)

(第 13 题)

13.某程序框图如图所示,若输入一个小于 10 的正整数 n,则该程序运行后输出 n 的值 是 . 14.四个形状大小完全相同的小球排成一排,其中 2 个为红球,2 个为白球, 则两个红球不相邻 的概率是 .

?x ? y ?1 ? 0 ? 15.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为 ? y ? ?3 ?
16.如图, F1、F2 是双曲线



x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点,过 F1 的 a 2 b2

直线与双曲线左右两支分别交于 A, B 两点,若 ?ABF2 为等腰直角三角形 且 ?ABF2 ? 90? ,双曲线的离心率为 e ,则 e 2 = 17.已知函数 f ( x) ? x 2 ? . (第 16 题)

1 1 ? a( x ? ) ? a 在定义域上有零点,则实数 a 的取值范围是 2 x x



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 f (

?
3

) ? sin 2 x .

C 1 ) ? ? , a ? 2 , c ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 2 4

19. (本题满分 14 分)若等差数列 ? an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,从 ? an ? 中抽取部分项 按 (Ⅰ)求数列 ? an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (结果用只含 m 的式子表示) . 20. 本题满分 14 分) ( 如图, 已知矩形 ABCD ,AB ? 4, AD ? 3 , 是 AC 上一点, O CO ? 照原来的顺序组成一个新数列 ?bn ? , 已知 ?bn ? 为等比数列, b1 ? a2 , b2 ? a5 , b3 ? a14 . 且

(Ⅱ) 记数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , bm ? ak , Sk ? Tm , 若 求

9 , 5

E , F 分别是 AB, CD 的中点,现把矩形 ABCD 沿着对角线 AC 折成一个大小为 ? 的二
' 面角 D ? AC ? B .

' ? (Ⅰ)若 ? ? 90 ,求证 BO ? AD ;
(Ⅱ)当 ? ? 60 时,求直线 EF 与平面 ABC 所成的角的正弦值.
?

D’ D F O C F

?
A O E B B

C

A

E

(第 20 题) 21. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 x ? f ( x) ? a 对任意 x ? 1恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本题满分 15 分)已知动圆 M 与定圆 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 1 相外切,且与定直线 y ? ? 16 4

相切,动圆圆心 M 的轨迹记为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 y ? kx ? m 与曲线 C 相交于 A, B 两点,Q( x0 , y0 ) 是曲线 C 上异于 A、B 的 点, 曲线 C 在 A, B 处的切线相交于 P 点, 曲线 C 在点 Q 处的切线 l 与直线 PA, PB 分别 交于点 D、E ,求△ QAB 与△ PDE 的面积之比.

数学(文科)试题答案
选择题部分 (共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

题号 答案

1 D

2 B

3 B

4 A

5 C

6 A

7 D

8 C

9 B

10 C

非选择题部分 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 2 12. 1 13. 11 14. 0.5

15.

-3

16.

17.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 本题主要考查三角函数的恒等变形、三角函数性质,正弦、余弦定理,求三角形面积.

解:(Ⅰ)

,---------4 分

所以增区间为

------------------6 分

(Ⅱ) 若 若

, , ,

,----8 分,由正弦定理得 ,所以 ,所以 , ,

,----10 分 ----------12 分 ----------14 分

19. 本题主要考查等差等比数列、以及数列的前 n 项和式等基础知识,同时考查运算求解能力 及推理论证能力. 解:(Ⅰ)由已知得 所以数列 分 又因为 分 ,所以公比 , 的通项公式为 ---7 ,即 的通项公式为 , ,解得

----------------------------------4

(Ⅱ)数列

的前 和为

---------------8 分













--------------------------------10 分

由 分



,所以

-------------------------------12

-----------------13 分















------------------------------------14 分 20.本题主要考查立体几何线面垂直、直线与平面所成的角和二面角等基础知识,同时考查空间 想象能力和推理论证能力.

证明:(Ⅰ)由已知条件得, 即△ 分 ,即平面 ⊥ 平 ⊥平面 面 ∽△ ,得

, ⊥ ,

,故 平面

, ---------------------3

,且交线为 , 所 以 ⊥

-----------------------------------------------6 分 (Ⅱ)作 = 则四边形 ⊥平面 即∠FGP= ⊥ 为矩形,连接 .则 ⊥ ,又 ⊥ , ⊥ ,垂足为 ,作 ⊥ ,垂足为 ,作 ∥ ,且使得

且∠FGP 为二面角

的平面角,

--------------------8 分 ,又 ∥ , ⊥





中,可得

,同理

,即

,又∠FGP=

,即△ 又由 ⊥平面 ⊥平面 分

为正三角形------------------------10 分 得平面 ,连接 ⊥平面 ,则∠ 为 ,且交线为 与平面 ,作 ⊥

所成的角。------12



=

,在



中,



------------14 分

(用等体积法或者空间向量等方法同样给分) 21.本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则、导数应用、恒成立问题等基础知识,同 时考查抽象概括、推理论证能力.

(Ⅰ)解:(1) 当 分 时, ,所以

,

-----------------------------1 分 ),无单调递减区间。---3

的单调递增区间为(0,+



时,令

,得

,令

,得



所以

的单调递增区间为(0,

),单调递减区间为(

,+

). -------- -6 分

(Ⅱ)

对任意

恒成立



恒成立。---------7 分

令 令 当 时,

, , ,

,则







单调递增,故

,不符合。----9 分



时,

的对称轴方程为

i.若 恒成立,即

,即 在

,此时 单调递减,故

,即

,则 ,符合。-------11 分

对于

ii.若 则 即 在

,即 ,不妨设

,此时 ,则 在 ,

,此时 恒大于零,即

必有两个零点 在

, 恒成立

单调递增,故当

,不符合。-------14 分

综述所述 另解:

的取值范围为 对任意 ,则

.-------15 分 恒成立 ,而 对任意 恒成立。令





i.当 故

时, 在

, 单调递减,故



单调递减,即 ,符合。

ii.当

时,令

,得

,故



单调递增,且

,故



恒成立,即



单调递增,则

当 iii.当 时,

时, 对 ,不符合。

,不符合。 恒成立,故 在 单调递增,

综述所述

的取值范围为



另外解法同样给分 22. 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线、圆等知识,同时考查解析几何的基 本思想方法和运算求解能力.

解:(Ⅰ)设

,

到定直线

的距离为

,动圆

的半径为

,由已知得:

, 得 的方程为

,即



到定直线

的距离相等, 由抛物线的定义可

-------5 分 , 记△ 、△ 的面积分别为 、

(Ⅱ)设

, 分





,△=

----7





的距离



=

----------------8 分



,得



则曲线



处的切线

,即



同理曲线



处的切线为



由①②得

,即

---------------------------10 分

同理曲线



处的切线为



,

,则------------------11 分

=



的距离

=

则 故△

= 与△

-----------14 分 的面积之比为 2. ---------------15 分

所以

(用其他方法解同样给分)


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