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高中数学教学课件《抛物线的几何性质》_图文

抛物线的几何性质 第1课时 抛物线的几何性质 某河上有一座抛物线形 的拱桥,当水面距拱顶5 米时,水面宽8米.一木 船宽4米,高2米,载货的 木船露在水面上的部分为 0.75米,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开 始不能通航? 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线 等几何性质. 2.掌握四种形式的抛物线方程及其几何性质. (重点) 3.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. (难点) 探究点1 抛物线的几何性质 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质? y 1.范围 由抛物线y2 =2px(p>0), 有 2 px ? y ? 0 p ? 0 2 ? x ? 0, o F( p 2 ,0 ) x 所以抛物线的范围为 x ? 0 . 抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增大, 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. y 2. 对称性 ( x, y) 关于x轴 对称 ( x , ? y ), o F( p 2 ,0 ) x 若点(x,y)在抛物线上, 则(-y)2 =2px, 即满足y2=2px, 即点(x,-y)也在抛物线上, 故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称. 3.顶点 定义:抛物线和它的轴的 交点叫做抛物线的顶点. 所 以 y2 y = 2px(p>0)中, 令y=0,则x=0. o F( p 2 ,0 ) x 即:抛物线y2 =2px(p>0)的顶点为(0,0). 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同. y 4.离心率 P(x,y) 抛物线上的点到焦点的距离与到 准线的距离的比,叫做抛物线的 离心率. 由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离 心率为e=1. o F( p 2 ,0 ) x 例 1 .已 知 抛 物 线 以 x 轴 为 轴 , 顶 点 是 坐 标 原 点 且 开 口 向右,又抛物线经过点M ? 4, 2 3 ,求 它 的 标 准 方 程 . ? 解:根据已知条件,设抛物线的方程为 y 因为点M 2 ? 2 px ?p ? 0?. ? 4, 2 ?2 3 在抛物线上,所以 3 ? ? =2 p ? 4 , 2 2 得 2 p ? 3 .因 此 , 所 求 方 程 为 y ? 3 x. 例 2 .汽 车 前 灯 反 射 镜 与 轴 截 面 的 交 线 是 抛 物 线 的 一 部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于 抛 物 线 焦 点 处 , 已 知 灯 口 的 直 径 是 2 4 c m, 灯 深 1 0 c m, 那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点) 距离是多少? 10cm 24cm 解 : 取 反 射 镜 的 轴 即 抛 物 线 的 轴 为 x轴 , 抛 物 线 的 顶 点 为 坐 标 原 点 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xOy, 如图所示: 因 为 灯 口 直 径 A B = 2 4 ,灯 深 O P = 1 0 ,所 以 点 A 的 坐 标 是 ? 1 0 ,1 2 ? .设 抛 物 线 的 方 程 为 y = 2 p x ? p > 0 ? . 2 因 为 点 A ? 1 0 ,1 2 ? 在 抛 物 线 上 , 得 1 2 = 2 p× 1 0 , 2 所 以 p = 7 . 2 ,抛 物 线 焦 点 F 的 坐 标 为 ? 3 . 6 ,0 ? . 因 此 灯 泡 与 反 射 镜 顶 点 的 距 离 是 3.6cm. 10cm 24cm 探究点2 四种形式的抛物线的标准方程及其几何性 质的比较 在直角坐标平面上,顶点在原点、轴与坐标轴重合的 抛物线有四种位置情况,因此抛物线的方程相应地有 四种形式,它们都叫做抛物线的标准方程,它们的推 导 过 程 类 同. 设抛物线的焦点到准线的距离为p 方程的四种形式列表如下: ?p ? 0?,上 述 抛 物 线 图 形 标准方程 焦点 p 2 准线 p 2 范围 顶点 对称轴 e y l O F x l O x y2 = 2px (p>0) F ( , 0) x ? ? x≥0 y∈R x≤0 y∈ R y≥0 x∈ R y≤ 0 x∈R (0,0) y F x轴 y2 = -2px (p>0) F (? p 2 , 0) x ? p 2 O y F 2 x x = 2py l l x2 = -2py x (p>0) 1 (p>0) F (0, p 2 ) y ? ? p 2 y O F y轴 F (0, ? p 2 ) y? p 2 例 3 . 已 知 点 A 在 平 行 于 y 轴 的 直 线 l上 , 且 l与 x 轴 的 交 点 为 ? 4 ,0 ? . 动 点 P 满 足 A P 平 行 于 x 轴 , 且 O A ⊥ O P , 求 P点 的 轨 迹 方 程 , 并 说 明 轨 迹 的 形 状 . 解 : 设 动 点 P 的 坐 标 为 ? x ,y ? ,则 由 已 知 有 A 的 坐 标 为 ? 4 ,y ? , 所 以 O A = ? 4 ,y ? ,O P = ? x ,y ? , 因 为 O A ⊥ O P ,所 以 O A× O P = 0 ,因 此 4 x + y = 0 , 即 P 的 轨 迹 方 程 为 4 x + y = 0 .轨 迹 的 形 状 是 抛 物 线 . 2 2 【变式练习】 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2). (2)焦点在直线x-2y-4=0上. 解:(1)当抛物线的焦点在 x 轴上时, 2 可设抛物线方程为 y =-2px(p>0), 2 把点(-3,2)代入得 2 =-2p×(-3),所以 p= , 3 4 2 所以所求抛物线方程为

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