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2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第一课时导数与函数的单调性课件理


第二节 导数的应用

1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都 不恒等于 0.f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为 增函数. f′(x) ≤0?f(x)在(a,b)上为 减函数.

2.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 y= f(x)在点 x= a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近 其他点的函数值都小, f′ (a)= 0;而且在点 x=a 附近 的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,则点 a 叫做函数 y = f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y= f(x)的极小值.

(2)函数的极大值: 函数 y= f(x)在点 x= b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近 的其他点的函数值都大,f′ (b)= 0;而且在点 x= b 附 近的左侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,则点 b 叫做函数 y= f(x)的极大值点, f(b)叫做函数 y= f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统 称为极值.

3.函数的最值 (1)在闭区间 [a, b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与 最小值. (2)若函数 f(x)在 [a,b]上单调递增,则 f(a) 为函数的最小值,
f(b) 为函数的最大值;若函数 f(x)在 [a, b]上单调递减, ____

则 f(a) 为函数的最大值, f(b) 为函数的最小值.

[小题体验] 1. (教材习题改编)函数 f(x)=x2ex 的单调增区间是________.

解析:函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)=2xex+x2ex=ex(2x +x2),令 f′(x)>0,得 x<-2 或 x>0,所以函数 f(x)的单 调增区间为(-∞,-2)和(0,+∞). 答案:(-∞,-2),(0,+∞)

1 3 3 2 1 2.(教材习题改编 )函数 f(x)= x + x - 4x+ 取得极大值 3 2 3 时 x 的值是________.

解析:f′(x)= x2+ 3x- 4,令 f′(x)= 0,得 x1=1, x2=-4,经检验知 x=-4 时,函数 y 取得极大值. 答案:-4

3 3.(教材习题改编)函数 f(x)= x+sin x 在区间 2 [0,2π]上的最大值为________. 3 解析:f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0,x∈[0,2π], 2
?5π? 5 3π 1 5π 7π 得 x= 或 x= ,又 f(0)=0,f? 6 ?= + . 6 6 12 2 ? ? ?7π? 7 3π 1 f? 6 ?= - , f(2π)= 12 2 ? ?

3π.所以函数 f(x)在区间[0,2π]

上的最大值为 3π. 答案: 3π

4.已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大值是________.

答案:3

1.求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯,会造 成问题不能直观且有条理的解决. 2.求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过 比较就下结论. 3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处 理好 f′(x)=0 时的情况; 区分极值点和导数为 0 的点.

[小题纠偏] 1.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大 a 值 10,则b的值为________.

解析:由题意,知 f′(x)=3x2+2ax+b.由函数 f(x)在 x=1 处 取得极大值
? ?f′?1?=0, 10,知? ? ?f?1?=10, ? ?a=-6, 或? ? ?b=9, ? ?3+2a+b=0, 即? 2 ? 1 + a + b - a -7a=10, ?

? ?a=-2, 解得? ? ? b= 1

? ?a=-6, 经检验 ? ? ?b=9

满足题意,

a 2 故b=- . 3

2 答案:- 3

2.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域的一个子区间(k-1, k+1)上不是单调函数, 则实数 k 的取值范围是________.

1 解析:因为 f′(x)=4x-x(x>0),所以可求得 f(x)的单调递增
?1 ? ? 1? 区间为?2,+∞?,单调递减区间为?0,2?.又函数 ? ? ? ?

f(x)=2x2-

ln x 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数, 1 ? ?0≤k-1<2, 则? ?k+1>1, 2 ? 3 解得 1≤k< . 2
? 3? 答案:?1,2? ? ?

3.函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________. 2 2 解析: y′=6x - 4x,令 y′=0,得 x=0 或 x= . 3

∵ f(-1)=-4,f(0)=0,
?2 ? 8 f? ?=- ,f(2)= 8. 27 ?3 ?

∴最大值为 8. 答案: 8

第一课时 导数与函数的单调性
考点一 判断或证明函数的单调性

?重点保分型考点 ——师生共研? [典例引领 ] ?x3-? a+ 5? x, x≤ 0, ? 设 a∈ [- 2,0],已知函数 f(x)=? 3 a+ 3 2 x- x + ax, x>0. ? 2 ? 证明 f(x)在区间 (- 1,1)内单调递减,在区间 (1,+∞ )内单调 递增.

证明: 设函数 f1(x)= x3-(a+ 5)x(x≤ 0), a+ 3 2 f2(x)= x - x + ax(x≥ 0), 2
3

① f1′ (x)= 3x2- (a+ 5), 由于 a∈[- 2,0],从而当- 1<x≤ 0 时, f1′ (x)= 3x2- (a+ 5)<3- a- 5≤ 0, 所以函数 f1(x)在区间 (- 1,0]内单调递减. ② f2′ (x)= 3x2- (a+ 3)x+ a= (3x- a)(x- 1),由于 a∈ [- 2,0], 所以当 0<x<1 时, f2′ (x)<0; 当 x>1 时, f2′(x)>0, 即函数 f2(x) 在区间 [0,1)内单调递减,在区间 (1,+∞ )内单调递增. 综合①②及 f1(0)= f2(0),可知函数 f(x)在区间(- 1,1)内单调递 减,在区间(1,+∞)内单调递增.

[由题悟法 ] 导数法证明函数 f(x)在 (a, b)内的单调性的 3 步骤 (1)一求.求 f′(x); (2)二定.确认 f′ (x)在 (a, b)内的符号; (3)三结论.作出结论:f′ (x)> 0 时为增函数;f′ (x) < 0 时为减函数. [提醒 ] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参 数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

[即时应用 ] x 已知函数 f(x)= ln x- . 1+ 2 x (1)求证:f(x)在区间 (0,+∞ )上单调递增; 1 (2)若 f[x(3x- 2)]<- ,求实数 x 的取值范围. 3

x (2)∵ f(x)=ln x- , 1 + 2 x 解: (1)证明:由已知得 f(x)的定义域为 (0,+∞ ). 1 1 ∴ f(1)= ln 1- x =- . 3 ∵ f(x)= ln x-1+ 2× , 1 1 + 2x 1 2 2)]<f(1). 由 f[x(3x- 2)]<- f[ xx - 1+ 23 x得 -2 xx(34 + 3x+ 1 1 ∴ f′ (x)= - 2 = 2 . x ? 1 + 2 x ? x ? 1 + 2 x ? ?x? 3x- 2?> 0, ? 由 (1)得? 2 2 ? ∵ x> 0,∴ 4 x + 3 x + 1 > 0 , x (1 + 2 x ) > 0. x ? 3 x - 2 ? < 1 , ? 1 0 时,f′2 ∴当 x > )> 0.1. 解得- < x< 0 或 (x < x< 3 3 ∴ f(x)在 (0,+∞ )上单调递增. ? 1 ? ?2 ? ∴实数 x 的取值范围为?- , 0?∪? , 1?. ? 3 ? ?3 ?

考点二

求函数的单调区间?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]

已知函数 f(x)= mx3+ nx2(m, n∈ R, m≠ 0), 函数 y= f(x) 的图象在点(2,f(2))处的切线与 x 轴平行. (1)用关于 m 的代数式表示 n; (2)求函数 f(x)的单调增区间.

(2)因为 n=- 3m, 当 m<0 时,解得 0<x<2, 所以 f(x)= mx3- 3mx2, 2 解: (1) 由已知条件得 f ′ ( x ) = 3 mx +2nx, 则函数 f(x)的单调增区间是 (0,2). 所以 f′ (x)= 3mx2- 6mx. 又 综上,当 f′(2)=0, m>0 时, 令 f′ (x)>0,即 3mx2- 6mx>0, 所以 3m n =0,故 n=-3( m . ∞,0)和 (2,+∞); 函数 f+ (x) 的单调增区间是 - 当 m>0 时,解得 x<0 或 x>2, 当 m<0 时,函数 f(x)的单调增区间是 (0,2). 则函数 f(x)的单调增区间是 (-∞ , 0)和 (2,+∞ );

[由题悟法] 确定函数单调区间 4 步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求 f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调 递增区间; (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调 递减区间.

[即时应用 ] (2015· 重庆高考改编 )已知函数 f(x)= ax3+ x2(a∈R)在 4 x=- 处取得极值. 3 (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)= f(x)ex,求 g(x)的单调区间.

?1 ? 3 2 x= 3ax2+ 2x, 解: (1) 对 f ( x ) 求导得 f ′ ( x ) ? ? x + x (2)由(1)得 g(x)= 2 e, ? ?

4 ? ?3 ?1 ? 2 3 2 x 因为 f ( x ) 在 x =- 处取得极值, 当- 1< x < 时, g x)? < 0,故 gx(x)为减函数; ? 0x ?e ( +2 x′ x + x ?e 故 g′ (x) = + 3 ?2 ? ?2 ?
? 当?1 x> 05 时, 0,故 g(x)为增函数. ?(x)> 4? g′ 1 3 2 x x ?= ? x f+ ?, 所以 ′?- x3 + 2x0 = e = x ( x + 1)( x + 4)e . 2 2 2 ? ? ? ? 综上知,g(x)的减区间为(-∞,- 4)和(- 1,0),增 令 g′ (x)=0?,解得 x= 或 x=-1 或 x=-4. 16 4? 16 a 08 ?- ? = 即 3a· + 2· - = 0, 9 3 3 3 ∞). ? ? 区间为(- 4,-1)和(0,+ 当 x<-4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 1 解得4a = . 1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当- < x <- 2

考点三

已知函数的单调性求参数的范围

?题点多变型考点——纵引横联?
[典型母题]

已知函数 f(x)= x3- ax- 1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在 R 上为增函数,求实数 a 的取值范围.

[ 解]

(1)f′(x)= 3x2- a.

①当 a≤0 时, f′(x)≥0, 所以 f(x)在 (- ∞,+ ∞)上为增函数. 3a ②当 a> 0 时,令 3x - a= 0 得 x=± ; 3
2

3a 3a 当 x> 或 x<- 时, f′(x)> 0; 3 3 3a 3a 当- < x< 时, f′(x)< 0. 3 3

因此
? ? ?- ?

? f(x)在? ?- ∞,- ?

? ? 3a ? ? ? 3a ? , ,+ ∞ ? 3 ? 上为增函数,在 3 ? ? ? ?

3a 3a ? ? 上为减函数. , 3 a ? ? 综上可知,当 a≤0 时,f(x)在 R 上为增函数;当 a> 0


? ? ?- ?

? f(x)在? ?- ∞,- ?

? ? 3a ? ? ? 3a ? , ,+∞?上为增函数,在 ? ? 3 ? ? 3 ?

3a 3a ? ? 上为减函数. , ? 3 3 ?

(2)因为 f(x)在(-∞,+ ∞)上是增函数, 所以 f′(x)= 3x2- a≥0 在 (-∞,+ ∞)上恒成立, 即 a≤3x2 对 x∈ R 恒成立. 因为 3x2≥0,所以只需 a≤0. 又因为 a= 0 时, f′(x)= 3x2≥0, f(x)= x3- 1 在 R 上是 增函数,所以 a≤0,即实数 a 的取值范围为 (- ∞, 0].

[类题通法] 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调, 则区间(a, b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增, 则 f′(x)≥0;若函数单调递减,则 f′(x)≤0”来求解.

[提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a, b)都有 f′(x)≥0, 且在(a, b)内的任一非空子区间上 f′(x) 不恒为 0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.

[越变越明] [变式 1] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(1,+∞)上为增函 数,求 a 的取值范围.

解:因为 f′(x)=3x3-a,且 f(x)在区间(1,+∞)上为增 函数,所以 f′(x)≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 3x2-a≥0 在(1,+∞)上恒成立,所以 a≤3x2 在(1,+∞)上恒成立, 所以 a≤3,即 a 的取值范围为(-∞,3].

[变式 2] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数, 试求 a 的取值范围.

解: 由 f′(x)=3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立, 得 a≥3x2 在(-1,1)上恒成立.因为-1<x<1,所以 3x2<3,所 以 a≥3.即当 a 的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(- 1,1)上为减函数.

[变式 3] 函数 f(x)不变,若 f(x)的单调递减区间为 (-1,1), 求 a 的值.

解:由母题可知, f(x)的单调递减区间为
? ? ?- ?

3a 3a 3a ? ? ,∴ = 1,即 a= 3. , ? 3 3 3 ?

[破译玄机]

函数的单调区间是指单调递增或单调递减,在求 解中应列方程求解,与函数在某个区间上具有单调性 是不同的.

[变式 4] 函数 f(x)不变, 若 f(x)在区间(-1,1)上不单调, 求 a 的取值范围.

解:∵ f(x)= x3- ax- 1,∴ f′ (x)= 3x2- a.由 f′(x)= 0, 3a 得 x= ± (a≥ 0).∵ f(x)在区间(- 1,1)上不单调,∴ 0< 3 3a < 1,得 0< a< 3,即 a 的取值范围为 (0,3). 3

[破译玄机]
函数在其区间上不具有单调性,但可在子区间上 3a 具有单调性,如变式 4 中利用了 ∈(0,1)来求解. 3


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