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10-陕西理科数学(题和答案分开)


2010 陕西省理数
一、选择题 1.集合 A= {x∣ ?1 ? x ? 2 },B={x∣x<1},则 A ? (?R B) = (A){x∣x>1} 2.复数 z ? (B) {x∣x≥ 1} (C) {x∣ 1 ? x ? 2 } (D) {x∣ 1 ? x ? 2 }

i 在复平面上对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限

3.对于函数 f ( x) ? 2sin x cos x ,下列选项中正确的是 (A) f ( x ) f(x)在(

? ? , )上是递增的 4 2

(B) f ( x ) 的图像关于原点对称 (D) f ( x ) 的最大值为 2

(C) f ( x ) 的最小正周期为 2 ?

3 4. ( x ? ) ( x ? R )展开式中 x 的系数为 10,则实数 a 等于
5

a x

(A)-1

(B)

1 2

(C) 1

(D)

2

5.已知函数 f ( x ) = (A)

,若 f ( f (0)) =4a,则实数 a=

1 2

(B)

4 5

(C) 2

(D ) 9

6.右图是求样本 x 1,x2,?x10 平均数 x 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为 (A) S=S+x n (C) S=S+ n (B) S=S+

xn n 1 (D) S=S+ n

7. 若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体 的体积是 (A) (C) 1

1 3

(B)

2 3

(D) 2

8.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y -6 x-7=0 相切,则 p 的值为 (A)

2

1 1 2 2

(B) 1

(C) 2

(D) 4

9.对于数列{a n}“a n+1>∣a n∣(n=1,2?) , ”是“ n}为递增数列”的 {a

( A) 必要不充分条件 (C) 必要条件

(B) 充分不必要条件

[来源:学+科+网]

(D) 既不充分也不必要条件

10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再 增选一名代表。那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大 于 x 的最大整数)可以表示为 (A) y= ?

? x ? ? x ? 3? ?10 ? ? 10 ? ?? ?

(B) y= ?

? x ? 3? ? 10 ? ?

(C) y= ?

? x ? 4? ? 10 ? ?

(D) y= ?

? x ? 5? ? 10 ? ?

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 。 11.已知向量 α =(2,-1) ,b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)‖c, 则 m= 12. 观察下列等式:1 +2 3 ,1 +2 +3 =6 ,1 + 2 +3 +4 =10 ,??, 根据上述规律,第五个等式为
3 3= 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2

13.从如图所示的长方形区域内任取一个 点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率 为

14.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 下表: a A B 50% 70%

的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如

b(万吨) 1 0.5

[来源:Zxxk.Com]

C(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 用为__ (百万元)

的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的最少费

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)不等式 B.(几何证明选做题)如图,已知 的解集为
[来源:Z,xx,k.Com]

的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直

径的图与 AB 交于点 D,则 C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 的直角坐标为 三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知 是公差不为零的等差数列, 的通项; 求数列 成等比数列. 的前 n 项和 以原点为极 则直线 与圆 C 的交点

求数列 解

17. (本小题满分 12 分) 如图,A,B 是海面上位于东西方向相聚 5(3+ B 点北偏西 60°且与 B 点相距 该救援船达到 D 点需要多长时间? 解 )海 里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,

海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,

1 8.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 √ 2,E,F 分别是 AD,

PC 的重点

(Ⅰ)证明:PC ⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。

19 (本小题满分 12 分) 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查,测得身高情况的统计图 如下:
[来源:Z+xx+k.Com]

( ( ( 解
[来源:Zxxk.Com]

)估计该小男生的人数; )估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; ) 从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 170~180cm 之间的概率。

20.(本小题满分 13 分)

如图,椭圆 C: 焦点为 F1,F2, | A1B1| = ,

的顶点为

A1,A2,B1,B2,

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 是过原点的直线, 是与 n 垂直相交于 P 点、 l 交于 A,B 两点的直线, 使 ,是否存在 与椭圆相 上述直线 l

成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 。



21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

x ,g(x)=alnx,a ? R。

[来源:学科网 ZXXK][来源:学科网]

(1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (2) 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最小值 ? (a)的解析式; (3) 对(2)中的 ? (a) ,证明:当 a ? (0,+ ? )时, ? (a) ? 1.

一、 1. (D) 2. 3. 4. 5. (A) (B) (D) (C)

6. 【A】 7. 【C】 8. 【C】 9. 【B】 10. 【B】 二、 11. m=_-1_____ 12.第五个等式为 _1 +2 __3 __+4 ____+5 __=21 ___________.
3 3+ 2 3 3 2

13. 14. 15_ (百万元) 15. A. B. C. 三. 16. 解 由 解得 故 的通项 , 由等比数列前 n 项和公式得 由题设知公差 成等比数列得 (舍去) . .
[来源:Z,xx,k.Com]

17. 解 由题意知 AB= 海里, ∠ DAB=90°—45°=45°,∴∠ADB=180°— ADB 中,有正弦定理得

∠ DA B=90°—60°=30°, (45°+30°)=105°,在△

1 8. 解法一 (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 算在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系。 ∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形 ABCD 是矩形。 ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, ∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1)。 ∴ PC =(2,2 √ 2,-2) BF =(-1,√ 2,1) EF =(1,0, 1) , ∴ PC · BF =-2+4-2=0, PC · EF =2+0-2=0, ∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF , ∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF
[来源:Zxxk.Com]

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(II)由(I)知平面 BEF 的法向量 平面 BAP 的法向量 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ ,

则 ∴ θ=45℃, ∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45 解法二 (I)连接 PE,EC 在 PA=AB=CD, AE=DE, ∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形, 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC, 又 ∴BF⊥PC. 又
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

,F 是 PC 的中点,

19 . 解( ( )样本中男生人数为 40 ,由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。 )有统计图知,样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样本容量为 70 ,所以

样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 之间的概率 (

故有 f 估计该校学生身高在 170~180cm

)样本中女生身高在 165~180cm 之间的人数为 10,身高在 170~180cm 之间的人数为 4。

设 A 表示事件“从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 170~180cm 之 间” ,

则 20. 解 (1)由 由 又 b =a -c
2 2 2

[来源:Zxxk.Com]

知 a2+b2=7, 知 a=2c,

① ② ③

由 ①②③解得 a =4,b =3,

2

2

故椭圆 C 的方程为



(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 假设使 成立的直线 l 不存在,

(1) 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 得

[来源:学。科。网]

,即 m2=k2+1. ∵ 21、 解 (1)f’(x)= ,

1 2 x

,g ’(x)=

a (x>0), x

由已知得

x =alnx,
1 2 x
=

a , x

解 德 a=

e ,x=e2, 2
切线的斜率为 k=f’(e2)= 2e

? 两条曲线交点的坐标为(e2,e) 1 ? 切线的方程为 y-e= 2e (x- e2).
(1) 当 a.>0 时,令 h (x)=0,解得 x= 4a ,
'

1

,

2

所以当 0 < x< 4a 时 h (x)<0,h(x)在(0, 4a )上递减; 当 x> 4a 时,h (x)>0,h(x)在(0, 4a )上递增。
2
'

2

'

2

2

所以 x> 4a 是 h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点。 所以 Φ (a)=h( 4a )= 2a-aln 4a =2 (2)当 a ≤ 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最 小值。 故 h(x) 的最小值 Φ (a)的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知 Φ (a)=2a(1-ln2a) 则 Φ 1( a )=-2ln2a,令 Φ 1(a )=0 解得 a =1/2 当 0<a<1/2 时,Φ 1(a )>0,所以 Φ (a ) 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时, Φ 1(a )<0,所以 Φ(a ) 在 (1/2, +∞)上递减。
2 2

2

所以 Φ(a )在(0, +∞)处取得极大值 Φ (1/2 )=1 因为 Φ(a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以 Φ(1/2)=1 也是 Φ(a)的最大值 所 当 a 属于 (0, +∞)时,总有 Φ(a) ≤ 1


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