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高中数学北师大版选修1-2练习:第一章 统计案例 1.3 含解析

1.3 可线性化的回归分析 1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析,判 明目标、知重点 断几种不同模型的拟合程度. 1.常见的非线性回归模型 幂函数曲线 y=axb,指数曲线 y=aebx. b 倒指数曲线 y=ae ,对数曲线 y=a+bln_x. x 2.非线性函数可以通过变换转化成线性函数,得到线性回归方程,再通过相应 变换得到非线性回归方程. 探究点一 非线性回归模型 思考 1 有些变量间的关系并不是线性相关,怎样确定回归模型? 答 首先要作出散点图,如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内, 则两个变量不呈现线性相关关系,不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的 关系,这时可以根据已有的函数知识,观察样本点是否呈指数函数关系或二次函 数关系,选定适当的回归模型. 思考 2 如果两个变量呈现非线性相关关系,怎样求出回归方程? 答 可以通过对解释变量进行变换,如对数变换或平方变换,先得到另外两个变 量间的回归方程,再得到所求两个变量的回归方程. 例1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高 x/cm 60 体重 y/kg 6.13 70 7.90 80 9.99 90 12.15 100 15.02 110 17.50 身高 x/cm 120 体重 y/kg 20.92 130 26.86 140 31.11 150 38.85 160 47.25 170 55.05 试建立 y 与 x 之间的回归方程. 解 根据表中数据画出散点图如图所示. 由图看出,样本点分布在某条指数函数曲线 y=c1ec2x 的周围,于是令 z=lny. x 60 1.8 z 1 7 0 0 1 6 4 9 4 6 6 1 70 2.0 80 2.3 90 2.5 100 2.7 110 2.8 120 3.0 130 3.2 140 3.4 150 3.6 160 3.8 170 4.0 画出散点图如图所示. 由表中数据可得 x =115, y =2.9625, ?x y =4370.5,?x =173000, i i 2 i i=1 i=1 12 12 ?x y -12 x i i i=1 12 y ≈0.020, ∴b= ?x -12? x ? 2 i i=1 12 2 ∴a= y -b x ≈0.663, ∴z 与 x 之间的线性回归方程为 z=0.663+0.020x, 则有 y=e0.663+0.020x. 反思与感悟 根据已有的函数知识,可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线 y=c1ec2x 的周围,其中 c1 和 c2 是待定参数;可以通过对 x 进行对数变换,转化 为线性相关关系. 跟踪训练 1 在彩色显影中,由经验知:形成染料光学密度 y 与析出银的光学密 b 度 x 由公式 y=Ae (b<0)表示.现测得试验数据如下: x xi yi 0.05 0.10 0.06 0.14 0.25 1.00 0.31 1.12 0.07 0.23 0.10 0.37 xi yi 试求 y 对 x 的回归方程. 0.38 1.19 0.43 1.25 0.14 0.59 0.20 0.79 0.47 1.29 b b 解 由题给的公式 y=Ae ,两边取自然对数,便得 lny=lnA+ ,与线性回归方 x x 1 程相对照,只要取 u= ,v=lny,a=lnA. x 就有 v=a+bu. 1 题给数据经变量置换 u= ,v=lny 变成如下表所示的数据: x ui vi ui vi 20.000 16.667 4.000 3.226 0.113 5.000 14.286 10.000 -2.303 -1.966 0 2.632 0.174 2.326 0.223 7.143 -1.470 -0.994 2.128 -0.528 -0.236 0.255 0.146 可得 lny=0.548- , x 0.146 0.146 0.146 即 y=e0.548- =e0.548· e- ≈1.73e- , x x x 这就是 y 对 x 的回归方程. 探究点二 非线性回归分析 思考 对于两个变量间的相关关系,是否只有唯一一种回归模型来拟合它们之间 的相关关系? 答 不一定.我们可以根据已知数据的散点图,把它与幂函数、指数函数、对数 函数、二次函数图像进行比较,挑选一种拟合比较好的函数,作为回归模型. 例2 对两个变量 x,y 取得 4 组数据(1,1),(2,1.2),(3,1.3),(4,1.37),甲、乙、 丙三人分别求得数学模型如下: 甲 y=0.1x+1, 乙 y=-0.05x2+0.35x+0.7, 丙 y=-0.8· 0.5x+1.4,试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际. 解 甲模型,当 x=1 时,y=1.1; 当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.4. 乙模型,当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.3. 丙模型,当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.35. 观察 4 组数据并对照知,丙的数学模型更接近于客观实际. 跟踪训练 2 根据统计资料,我国能源生产自 1986 年以来发展很快.下面是我 国能源生产总量(单位:亿吨标准煤)的几个统计数据: 年份 产量 1986 8.6 1991 10.4 1996 12.9 2001 16.1 根据有关专家预测,到 2010 年我国能源生产总量将达到 21.7 亿吨左右,则专家 所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种( A.y=bx+a(b≠0) B.y=ax2+bx+c(a≠0) C.y=ax(a>0 且 a≠1) D.y=loga

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