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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10-2


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必考部分

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第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布

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必考部分·第十章

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第二节 排列与组合

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第十章·第二节

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主干知识· 整合
热点命题· 突破

课堂实效· 检测
课时作业

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第十章·第二节

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主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源

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第十章·第二节

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排列
1.排列的定义:从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个 元素,按照一定的 顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列. 2.排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出
m A m 个元素的排列数,用 n 表示.

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第十章·第二节

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3.排列数公式:Am n=

n(n-1)(n-2)?(n-m+1)



4.全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全排列,An (n-1)· (n-2)· ?· 2· 1= n! .排列 n=n· n! 数公式写成阶乘的形式为 Am 0!= 1 . n = ?n-m?,这里规定 !

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第十章·第二节

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1.若从 6 名志愿者中选出 4 名分别从事翻译、导游、 导购、保洁四项不同的工作,则选派方案有( A.180 种 种 B.360 种 C.15 种 ) D.30

解析:从 6 名志愿者中选出 4 人进行全排列, 所以共有 A4 6=360(种)选派方案.
答案:B
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第十章·第二节

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2.用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶 数的个数为( A.8 ) B.24 C.48 D.120

解析:分两步: (1)先排个位有 A1 2种排法.
1 3 (2)再排前三位有 A3 4种排法,故共有 A2A4=48 种排法.

答案:C

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第十章·第二节

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组合
1.组合的定义:从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个 元素 合成一组 一个组合. 2.组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素的 所有不同组合 的个数,叫做从 n 个不同元素中
m C 取出 m 个元素的组合数,用 n 表示.

, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的

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第十章·第二节

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m A n 3 .组合数的计算公式: C m = = n Am m

n! m!?n-m?! =

n?n-1??n-2???n-m+1? 0 ,由于 0!= 1 ,所以 Cn = 1. m!

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第十章·第二节

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排列与组合有何异同点? 提示:排列与组合问题的共同点:都是“从 n 个不同元 素中取出 m 个元素”;不同点:前者与元素的顺序有关, 为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”, 后者与元素的 顺序无关,为“将取出的元素合成一组”. 因此我们可以得到: 区分某一问题是排列问题还是组合 问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关.

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第十章·第二节

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3.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某 次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方 案有________种.
3 解析:①有 1 名女生:C1 2C4=8. 2 ②有 2 名女生:C2 2C4=6.

∴不同的选派方案有 8+6=14(种).
答案:14

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4.如图 M,N,P,Q 为海上四个小岛,现要建造三座 桥,将这四个小岛连接起来,则共有________种不同的建桥 方法.

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第十章·第二节

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解析:M,N,P,Q 两两之间共有 6 条线段(桥抽象为 线段),任取 3 条有 C3 6=20 种方法,其中不合题意的有 4 种 方法.则共有 20-4=16 种不同的建桥方法.

答案:16

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第十章·第二节

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1.排列问题与组合问题的识别方法: 识别方法 排 若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是 列 排列问题,即排列问题与选取元素顺序有关 组 若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是 合 组合问题,即组合问题与选取元素顺序无关

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第十章·第二节

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2.组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面,一个简 n n-m 化运算,当 m>2时,通常将计算 Cm 转化为计算 C .二是列 n n
y 等式,由 Cx n=Cn可得 x=y 或 x+ y=n.性质(3)主要用于恒等

变形简化运算.

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3.破解排列、组合问题的十种方法与技巧 (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排 列、组合混合问题先选后排; (4)相邻问题捆绑处理; (5)不 相邻问题插空处理; (6)定序问题排除法处理;(7)分排问题 直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部; (9)构造 模型;(10)正难则反,等价条件.

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第十章·第二节

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热点命题· 突破 02
考点突破 解码命题

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排列问题

【例 1】 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排 队,求不同的排队方案的方法种数: (1)选其中 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体站成一排,男、女各站在一起; (4)全体站成一排,男生不能站在一起; (5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾.
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【解】 (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列, 有 A5 7=2 520 种排法. (2)前排 3 人,后排 4 人,相当于排成一排,共有 A7 7=5 040 种排法. (3)相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起,是男生的全 排列,有 A3 3种排法;女生必须站在一起,是女生的全排列,
2 有 A4 4种排法;全体男生、女生各视为一个元素,有 A2种排 4 2 法,根据分步乘法计数原理,共有 A3 · A A2=288 种排法. 3 4·

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4 (4)不相邻问题(插空法):先安排女生共有 A4 种排法,男

生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A3 5种排法,故共有
3 A4 A5 =1 440 种排法. 4·

(5)先安排甲, 从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲, 有
6 A1 5=5 种排法;再安排其他人,有 A6=720 种排法.所以共 6 有 A1 A6 =3 600 种排法. 5·

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(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题 时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用 特殊元素优先原则, 即先安排有限制条件的元素或有限制条 件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、 不相邻问题采用插空法、 定 序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方 法.

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(1)(2014· 辽宁卷)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任 何两人不相邻的坐法种数为( A.144 C.72 B.120 D.24 )

(2)航天员拟在太空授课, 准备进行标号为 0,1,2,3,4,5 的 六项实验,向全世界人民普及太空知识,其中 0 号实验不能 放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号, 则实验顺序的编排方法种数为________.(用数字作答)
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解析: (1)插空法. 在已排好的三把椅子产生的 4 个空档 中选出 3 个插入 3 人即可.故排法种数为 A3 4=24.故选 D. (2) 因为 0 号实验不能放在第一项,所以第一步是从 1,2,3,4,5 的五项实验任选一个放在第一项,有 A1 5;第二步: 从剩下的五项实验中任取三个放在第二、三、四项,有 A3 5种 不同的方法;第三步:最后剩下两项实验,标号较大的放在 第五项,较小的放在第六项,只有这一种方法;根据分步乘
3 法计数原理,实验顺序的编排方法种数为 A1 A5 · 1=300. 5·

答案:(1)D
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(2)300
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组合问题

【例 2】 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女 队长各 1 名,选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多 少种选派方法? (1)队长中至少有 1 人参加; (2)既要有队长,又要有女运动员.

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(1)直接法或间接法求解; (2)按有无女队长分类求解.

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【解】 C4 8种;

(1)法 1:直接法: “只有男队长” 的选法为

“只有女队长”的选法为 C4 8种; “男、女队长都入选”的选法为 C3 8种;
3 所以共有 2C4 8+C8=196 种选法.

法 2:间接法:从 10 人中任选 5 人,有 C5 10种选法. 其中不选队长的选法有 C5 8种.
5 所以“至少有 1 名队长”的选法有 C5 - C 10 8=196 种.

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4 (2)当有女队长时,其他人选法任意,共有 C9 种选法.

不选女队长时,必选男队长,共有 C4 8种选法.其中不含
4 4 女运动员的选法有 C4 5种,所以不选女队长时共有 C8-C5种

选法.
4 4 所以既有队长又有女运动员的选法共有 C4 9+ C 8- C 5=

191 种.

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1.本题中第(1)小题,含“至少”条件,正 面求解情况较多时,可考虑用间接法. 2.组合问题常有以下两类题型变化: (1)“ 含 有 ” 或 “ 不 含 有 ” 某 些 元 素 的 组 合 题 型 : “ 含 ” ,则先将这些元素取出,再由另外元素补足; “ 不 含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型: 用直接法 和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向 思维,用间接法处理.
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(1)(2014· 大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生,从中 选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的 选法共有( A.60 种 C.75 种 ) B.70 种 D.150 种

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(2)(2014· 安徽卷 )从正方体六个面的对角线中任取两条 作为一对,其中所成的角为 60° 的共有( A.24 对 C.48 对 B.30 对 D.60 对 )

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2 解析:(1)从 6 名男医生中选出 2 名有 C6 种选法,从 5

名女医生中选出 1 名有 =75 种选法,选 C.

C1 5种选法,故共有

6×5 2 1 C6· C5= ×5 2×1

2 (2)正方体六个面的对角线共有 12 条, 则有 C12 =66 对,

而相对的两个面中的对角线其夹角都不是 60° , 则共有 3×C2 4 =18 对,而其余的都符合题意,故有 66-18=48 对.
答案:(1)C (2)C

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排列与组合的综合应用

【例 3】

(1)为庆祝“嫦娥三号”成功“落月”,

某大学的 10 名同学合影留念, 已站成前排 3 人后排 7 人, 现摄影师从后排 7 人中抽 2 人调整到前排,且这两人相 邻,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法总数是 ( ) A.84 C.336
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B.168 D.672
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(2)(2014· 浙江卷)在 8 张奖券中有一、 二、 三等奖各 1 张, 其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不 同的获奖情况有________种(用数字作答).

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【解析】 (1)分三步:第一步,从后排 7 人中选 2 人有
2 C2 7种不同的选法;第二步,这两人相邻有 A2种不同的方法;

第三步,把这两人捆在一起,插入前排 3 人中且前排人的顺 序不变,即从 3 人形成的 4 个空位中选一处空位,有 C1 4种
2 1 方法.所以不同调整方法总数是 C2 7A2C4=168,故选 B.

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(2)将 8 张奖券分 4 组,再分配给 4 个人. 把 8 张奖券分 4 组有两种分法,一种是分(一等奖,无 奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组, 分给 4 人有 A4 另一种是一组两个奖, 一组只有一个 4种分法;
2 2 奖,另两组无奖,共有 C2 3种分法,再分给 4 人有 C3A4种分 2 2 法,所以不同获奖情况种数为 A4 4+C3A4=24+36=60.

【答案】

(1)B

(2)60

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(1)解排列与组合综合题一般是先选后排, 或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个原理作 最后处理. (2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)和 间接法(排除法)来解决.分类标准应统一,避免出现重复或 遗漏.

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现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色 卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种 颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( A.232 C.472 B.252 D.484 )

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解析:完成这件事可分为两类,第一类 3 张卡片颜色各
1 1 1 不相同共有 C3 第二类 3 张卡片有两张同色 4C4C4C4=256 种; 2 1 1 且不是红色卡片共有 C1 由分类加法计数原 3C4C3C4=216 种,

理得共有 472 种,故选 C.

答案:C

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热点微专题之多维探究系列(七) 分组分配问题求解策略 1.对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的 顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以 An n(n 为 均分的组数),避免重复计数.

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2.对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组 的阶乘数, 即若有 m 组元素个数相等, 则分组时应除以 m! , 一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样 的全排列数. 3.对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时 任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.

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一、整体均分问题 【典例 1】 国家教育部为了发展贫困地区教育,在全 国重点师范大学免费培养教育专业师范生, 毕业后要分到相 应的地区任教. 现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要 平均分到 3 所学校去任教,有________种不同的分派方法.

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2 2 C2 C 6 4C2 【规范解答】 先把 6 个毕业生平均分成 3 组, 有 A3 3

种方法,再将 3 组毕业生分到 3 所学校,有 A3 3=6 种方法,
2 2 C2 6C4C2 3 故 6 个毕业生平均分到 3 所学校,共有 A3 · A3=90 种分 3

派方法.
【答案】 90

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1.某校高二年级共有 6 个班级,现从外地转入 4 名学 生要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名, 则不同的安 排方案种数为(
2 A.A2 6C4 2 C.A2 6A4

) 1 2 2 B. A6C4 2 D.2A2 6

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解析:先从 6 个班级中选 2 个班级有 C2 6种不同方法, 然后安排学生有
2 C2 C 4 2种,故有

1 2 2 2 2 C6C4= A6C4种. 2

答案:B

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二、部分均分问题 【典例 2】 将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 人, 每人至少 1 本的不同分法共有________种.(用数字作答)

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【规范解答】 把 6 本不同的书分成 4 组,每组至少 1 本的 分法有 2 种.
1 1 1 C3 6C3C2C1 ①有 1 组 3 本, 其余 3 组每组 1 本, 不同的分法共有 A3 3

=20 种; ②有 2 组每组 2 本,其余 2 组每组 1 本,不同的分法共有
2 1 1 C2 6C4 C2C1 · 2 =45 种. A2 A2 2

所以不同的分组方法共有 20+45=65 种. 然后把分好的 4 组书分给 4 个人,所以不同的分法共有
4 65×A4 =1 560 种. 【答案】 1 560

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2. 四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中. 恰 好有一个空盒的放法有多少种?

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解:先分组后排列,看作分配问题. 第一步:在四个盒子中选三个,有 C3 4种选法;
2 1 1 C 4C2C1 2 第二步:将四个球分成 2,1,1 三组,有 C4(即 )种 2 A2

分法; 第三步:将三组分到选定的三个盒子中,有 A3 3种分法.
2 3 故共有 C3 C 4 4A3=144 种分法.

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三、不等分问题 【典例 3】 将 6 名教师分到 3 所中学任教, 一所 1 名, 一所 2 名,一所 3 名,则有________种不同的分法.

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【规范解答】 将 6 名教师分组,分三步完成: 第 1 步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有 C1 6种取 法; 第 2 步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有 C2 5种取法; 第 3 步,余下的 3 名教师作为一组,有 C3 3种取法.
2 3 根据分步乘法计数原理,共有 C1 6C5C3=60 种取法.

再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有 A3 3=6 种分法, 故共有 60×6=360 种不同的分法.
【答案】 360
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3.从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二 等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结果共有________种(用数 字作答).

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解析: 依题意, 所有的决赛结果有 =60(种).

5×4 1 2 3 C6C5C3=6× ×1 2

答案:60

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课堂实效· 检测 03
当堂检验 小试牛刀

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1.一个平面内的 8 个点,若只有 4 个点共圆,其余任 何 4 点不共圆,那么这 8 个点最多确定的圆的个数为( A.C3 C4 4· 4
1 2 3 C.2C4 · C4+C4 3 B.C3 8-C4 3 D.C3 8-C4+1

)

解析:从 8 个点中任选 3 个点有选法 C3 8种,因为有 4
3 3 点共圆所以减去 C3 4种再加 1 种,即有圆 C8-C4+1 个.

答案:D

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2. 某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 则该外商不同的投 资方案有( A.16 种 C.42 种 ) B.36 种 D.60 种

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解析:若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个,每 个城市一项, 共 A3 若 3 个不同的项目投资到 4 个城 4种方法;
2 市中的 2 个, 一个城市一项、 一个城市两项共 C2 由 3A4种方法. 2 2 分类加法计数原理知共 A3 4+C3A4=60(种)方法.

答案:D

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3.一名老师和两名男生两名女生站成一排照相,要求 两名女生必须站在一起且老师不站在两端, 则不同站法的种 数为( A.8 C.16 ) B.12 D.24

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解析: 两名女生站一起有 A2 她们与两个男生站 2种站法,
3 3 1 一起共有 A2 老师站在他们的中间则共有 A2 2A3种站法, 2A3C2=

24(种)站法,故应选 D.

答案:D

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4.将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人 员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房 间是等可能的, 则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相 邻的安排方式的种数为________.

解析:先将 5 人分成三组(1,1,3 或 2,2,1 两种形式),再 将这三组人安排到 3 个房间, 然后将 2 个房间插入前面住了 人的 3 个房间形成的空档中即可,故安排方式共有
1 3 2 2 1? ?C1 C C C 5 4 3 5C3C1 3 2 ? ?· + A C4=900(种). 2 2 A2 ? 3· ? A2

答案:900
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5.将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A, B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作 答).
1 2 3 解析: “小集团”处理, 特殊元素优先, C3 C 6 2A2A3=480.

答案:480

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温 馨 提 示

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第十章·第二节



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