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高考数学分类专题复习之21 圆锥曲线中的最值和范围问题(一)


第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
★★★高考在考什么 【考题回放】

x2 y2 1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有 a b
且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C. [2, ??)
2 2

D.(2,+∞)

2. P 是双曲线

x y ? ? 1 的右支上一点, N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点, |PM| M、 则 9 16

-|PN|的最大值为( D )
A. 6 B.7 C.8 D.9 2 3.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

4. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1、2, P 在双曲线的右支上, PF1|=4|PF2|, F 点 且| a 2 b2
(B)
2

则此双曲线的离心率 e 的最大值为: (B) (A)

4 3

5 3

(C) 2

(D)

7 3
2 2

5.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的最小值是 32 . 2 6.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( B ) (A) (-∞,0) (B) (-∞,2 ] (C) [0,2] (D) (0,2)

★★★高考要考什么 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式 (组) ,通过解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数, 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式??0。 ★★★突破重难点 【例 1】已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. 解: (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,

??? ??? ? ?

x 2 y2 所求方程为: - =1 (x?0) 2 2
(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,

此时 A(x0, x 0-2 ) B(x0,- x 0-2 ) O B , , AO ?
2 2

?? ?? ?

=2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 代入双曲线方程

x 2 y2 - =1 中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0 2 2

依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?? ? 4k 2b 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? (?b 2 ? 2) ? 0 ? 2kb ? ?0 解得|k|?1, ? x1 ? x2 ? 1? k 2 ? ? b2 ? 2 x1 x2 ? 2 ?0 ? k ?1 ? ??? ??? ? ? 又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) kx2+b) ( 2k 2+2 4 2 2 =2+ 2 ?2 =(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = 2 k -1 k -1 ??? ??? ? ? 综上可知 OA ? OB 的最小值为 2 5 x2 y 2 ? ? 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB ? BF 取得最 【例 2】给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 3 25 16
小值时,试求 B 点的坐标。 解:因为椭圆的 e ?

3 5 1 1 ,所以 AB ? BF ? AB ? BF ,而 BF 为动点 B 到左准线的距离。故 3 e e 5

本题可化为,在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之和最小,过点 B 作 l 的垂线,垂点为 N, 过 A 作此准线的垂线,垂点为 M,由椭圆定义 | BF | | BF | 5 ? e ?| BN |? ? | BF | | BN | e 3 于是 AB ?

5 BF ?| AB | ? | BN |?| AN |? AM 为定值 3

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为 ( ? 所以,当 AB ?

5 3 , 2) 2

5 5 3 BF 取得最小值时,B 点坐标为 (? , 2) 3 2
2 2

x2 ? y 2 ? 1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例 3】已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆 9
解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求 2 2 2 |O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q| = x +(y-4) ① 2 2 因 Q 在椭圆上,则 x =9(1-y ) ②

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ? 1 因为 Q 在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当 y ? 时, O1Q max ? 3 3 2 此时 PQ max ? 3 3 ? 1
2 2 2

2

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值 . 得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ...................... 【例 4】 已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ), 对应的准线方程为 y ? ? 成等差数列。 (1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。 (1)解:依题意 e ?

2 4 9 2 , 且离心率 e 满足: , e, 3 3 4

1 平分,若存在, 2

2 2 a2 9 2 2 ,? ?c ? ?2 2 ? 3 c 4 4

∴a=3,c=2 2 ,b=1, 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x ?
2

9 2 4

1 2 y ?1 9 1 平分 2

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k +9)x +2kmx+m -9=0 ?1 ?x ? 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, 2 2 2 2 2 2 ∴Δ =4k m -4(k +9)(m -9)>0 即 m -k -9<0 ①

x ? x2 ?km 1 ? 2 ?? 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ? 1 2 k ?9 2 2 2 (k ? 9) ? (k 2 ? 9) ? 0 , 把②代入①式中得 4k 2 ∴k> 3 或 k<- 3 ? ? ? 2? ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , ) 3 2 2 3

k2 ? 9 ?m ? 2k




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