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高中数学选修2-2测试题

高二数学理科选修 2-2 试卷(1)
命题人:仉晓莹 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的)

1、 曲线 y ? x 2 在(1,1)处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 2、定义运算 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0



考号

a c

b 1 ? ad ? bc ,则符合条件 d z

?1 ? 4 ? 2i 的复数 z 为( zi

线





A. 3 ? i B. 1 ? 3i C. 3 ? i D. 1 ? 3i 3、 用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角” 时, 假设正确的是 ( ) A. 假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 4 、观察按下列顺序排列的等式: 9 ? 0 ? 1 ? 1 , 9 ? 1 ? 2 ? 11 , 9 ? 2 ? 3 ? 21 ,

姓名

9 ? 3 ? 4 ? 31,?,猜想第 n(n ? N* ) 个等式应为(
A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ? 1) ? 10n ? 1 密 5、 曲线 y ? cos x ? 0 ≤ x ≤ A. 4 B. 2



B. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? (n ? 1) ? 10n ? 10

班级

? ?

3π 3π ? ( ? 与 x 轴以及直线 x ? 2 所围图形的面积为 2 ? 5 2
D. 3



C.

6、平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

3 a ,类 2


学校

比上述命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( A.

4 a 3
'

B.

6 a 3
lim

C.

5 a 4

D.

6 a 4

7、若

f ( x0 ) ? ?3 ,则 h?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h (



A. ? 3 8、复数 z= A.25

B. ?12 ) C.1

C. ? 9

D. ?6

5 ,则 z 是( 3 ? 4i
B.5

D.7

9、如图是导函数 y ? f / ( x) 的图象,那么函数 y ? f ( x) 在下面哪个区间是减函

数 A. ( x1 , x3 ) B. ( x2 , x4 ) C. ( x4 , x6 ) D. ( x5 , x6 )

10、如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位 置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( ) (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11、设 S (n) ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) ,当 n ? 2 时, S (2) ? n n ?1 n ? 2 n ? 3 n

12、

?(
0

1

1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x)dx ?
4 5 6 12

13、设 Z1 = i + i + i +…+ i

, Z 2 = i4 · i5· i6·…· i12,则 Z1 , Z 2 关系为

3 2 3] 上有最小值 3 , 3] 上 f ( x) 14. 已知 f ( x) ? x ? 3x ? a( a 为常数) , 在 [?3, 那么在 [?3,

的最大值是 15.仔细观察下面图形:图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小 正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木 块总数就是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本小题 10 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i ,且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z .

17、 (本小题 12 分) F ( x) ?

?

x

0

(t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0) .

, 3] 上的最值. (1)求 F ( x) 的单调区间; (2)求函数 F ( x) 在 [1

18. (本小题 12 分)设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且

f ?( x) ? 2 x ? 2 .
(1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分, 求 t 的值.

19、 (本小题 12 分)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元 时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间, 宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。房间定价多少时,宾馆利润最大?

20、 (本小题满分 13 分) 已知 a , b 是正实数,求证:

a b

?

b a

? a? b

21、 (本小题 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? nan (n ? N* ) . (1) 计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2) 猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

高二数学理科选修 2-2 试卷(1) 参考答案
题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

A



B

D

B

B

C

B

D

11.
12、

? ? 1 13、 Z1 = Z 2 4

1 1 1 ? ? 2 3 4

14、 57

15、 91

16、 (本小题 10 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i ,且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z . 解:设 z ? x ? y i( x,y ? R) . 由 OA ∥ BC , OC ? AB ,得 kOA ? kBC , zC ? zB ? z A ,

?2 y ? 6 , ? ? ? x ? ?3 , y ? 4 或 x=-5,y=0 即 ?1 x ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 32 ? 42, ?

? OA ? BC ,? x ? ?3 , y ? 4 舍去.
? z ? ?5 .

17、 (本小题 12 分) F ( x) ? (1)求 F ( x) 的单调区间;

?

x

0

(t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0) .

, 3] 上的最值. (2)求函数 F ( x) 在 [1
解:依题意得, F ( x) ?

?

x

0

?1 ?x 1 3 (t 2 ? 2t ? 8)dt ? ? t 3 ? t 2 ? 8t ? 0 ? x ? x 2 ? 8x ,定义域是 3 ?3 ?

(0, ? ?) .
(1) F ?( x) ? x ? 2 x ? 8 ,
2

令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?4 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 ?4 ? x ? 2 , 由于定义域是 (0, ? ?) ,

? ?) ,单调递减区间是 (0, 2) . ? 函数的单调增区间是 (2,
(2)令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2( x ? ?4舍) , 由于 F (1) ? ?

20 28 , F (2) ? ? , F (3) ? ?6 , 3 3 28 . 3

? F ( x) 在 [1, 3] 上的最大值是 F (3) ? ?6 ,最小值是 F (2) ? ?

18. (本小题 12 分)设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且

f ?( x) ? 2 x ? 2 .
(1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分, 求 t 的值. 解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 则 f ?( x) ? 2ax ? b . 由已知 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 2 .

? f ( x) ? x2 ? 2x ? c .
又方程 x ? 2 x ? c ? 0 有两个相等的实数根,
2

?? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 1 .
故 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ;
2

(2)依题意,得

?

?t

?1

( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ,
?t

0

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?
3 2

?t ?1

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?

0 ?t



整理,得 2t ? 6t ? 6t ? 1 ? 0 ,即 2(t ?1)3 ? 1 ? 0 ,

?t ? 1 ?

3

1 . 2

19、 (本小题 12 分)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元 时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间, 宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。房间定价多少时,宾馆利润最大? 解:设每个房间每天的定价为 x 元,那么宾馆利润

L( x) = (50 ?
=?

x ? 180 )( x ? 20) 10

1 2 x ? 70 x ? 1360 ,180 ? x ? 680 . 10 1 ' 令 L ( x) ? ? x ? 70 ? 0, 解得 x ? 350 . 5
当 x ? (180,350) 时, L' ( x) ? 0, 当 x ? (180,680) 时 L' ( x) ? 0 因此, x ? 350 时是函数 L( x) 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的 定价为 350 元时,宾馆利润最大 20、 (本小题满分 13 分) 证明:要证

a b

?

b a

? a ? b,

只需证 a a ? b b ?

ab( a ? b ) ab( a ? b )

即证 (a ? b ? ab)( a ? b ) ? 即证 a ? b ? ab ?

ab

即证 a ? b ? 2 ab ,即 ( a ? b ) 2 ? 0

该式显然成立,所以

a b

?

b a

? a? b

21、 (本小题 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? nan (n ? N* ) . (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论. 解: (1) 依题设可得 a1 ? (2)猜想: an ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,a2 ? ? ,a3 ? ,a4 ? ; 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4 20 4 ? 5

1 . n(n ? 1)

证明:①当 n ? 1 时,猜想显然成立. ②假设 n ? k (k ? N* ) 时,猜想成立, 即 ak ?

1 . k (k ? 1)

那么,当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , 即 Sk ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 . 又 S k ? 1 ? kak ? 所以

k , k ?1

k ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , k ?1

从而 ak ?1 ?

1 1 ? . (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1]

即 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立.


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