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一般化思维方法在数学教学中的应用一


一般化思维方法在数学  教学中的应用( 一)
福建宁德师专 刘卓雄

问题、提出问题. 例 1 设想我们已经有了勾股定理 ,而余 弦定理尚未发现 ,如何提出余弦定理的研究 课题呢 ?我们可以这样设想: 勾股定理告诉我 们 ,在直角三角形中 ,已知两条直角边 ,那么就 可以推出第三边(斜边)的长.现在,取消直角三 角形这一条件 ,将问题一般化 ,在任意三角形 中,已知两边 a 、 b 和夹角 C ,能推出第三边的 长吗 ? 这个问题研究的结果将导致余弦定理 的发现. 例 2 有一道美国数学竞赛题 :“求证:如 果 2a 2 < 5b .则 x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 的根不可能全是实数”.这个题目的结果是给 出了实系数一元五次方程的根皆为实数的必 要条件 : 2a 2 ≥ 5b . 一般化的思维方法引导我 们提出如下的问题:实系数一元 n 次方程 a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an xn = 0 它的根皆为实数的必要条件是什么? 例 3 1984 年上海中学生数学竞赛第一试 有这样一道题目:将 19 分解成若干个正整数 的和,其积最大是多少? 将这个问题一般化 ,我们可以研究这样 一个课题 :任给一个自然数 N ,将它分解成若 干个正整数的和 ,问应该怎样分解 ,才能使其 积达最大? 例 4 在平面几何中 ,我们学习过圆幂定 理 : 若过平面内一定点的两条直线与圆相交 , 则自该点在同一直线上至交点的两个线段的 积相等. 上述定理的适用范围是圆. 我们将研究 范围扩大到圆锥曲线,问“圆幂定理”在圆锥 曲线中是否仍然成立? 例 5 我们已经知道 ,有三角形相似的概 念 ,有多边形相似的概念 ,一般化的思维方法 引导我们想 : 对任意封闭曲线有相似的概念 吗?如果有的话,应该如何定义? (未完待续)
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特殊与一般的关系是对立统一关系 ,将 特殊问题一般化及将一般问题特殊化是人类 研究(处理)问题时常用的思维方法,也是数学 学习和研究中重要的思维方法.梅森(J ? MaSon) 是英国开放大学数学教学中心的主任 ,他在 教学方法论的领域著有《数学地思维》,《学 数学 ,搞数学》等著作.在这些著作中 ,梅森集 中地研究了数学中的特殊化和一般化方法及 其在解题过程中的作用 .按照梅森的观点 ,特 殊化和一般化是数学思维的核心 ,同时也是 怎样解题的关键所在. 2003 年我们在《福建中学数学》第 2~7 期上发表了系列论文 , 系统地总结了特殊化 思维方法在数学教学中的应用 ,本文及后续 文将系统地论述一般性思维方法在数学教学 中的应用. 1 一般化的概念 一般化有时又称普遍化.波利亚在《怎样 解题》一书中是这样定义的:“普遍化就是从 考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个 集合 ;或者从一个较小的集合过渡到考虑一 个包含该较小集合的更大集合” .通俗地说 , 一般化就是把研究对象或问题从原有的范围 扩大到更大的范围. 一般化在数学中的主要表现形式是命题 的推广. 2 一般化思维方法在数学教学中的应用 2.1 帮助发现问题和提出问题 已知某命题在集合 A 中成立,我们可以研 究该命题在包含 A 的更大集合 B 中是否还成 立 ,所以一般化思维方法可以帮助我们发现



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