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人教a版数学选修 第一章 导数及其应用 1.1.3导数的几何意义含答案


第一章 1.1 1.1.3 导数及其应用 变化率与导数 导数的几何意义 A级 基础巩固 一、选择题 1.已知曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)与 f′(5)分别 为( ) A.3,3 B.3,-1 C.-1,3 D.-1,-1 解析:由题意得 f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1. 答案:B 2.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 3x-y+1=0,则( A.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 B.f′(x0)>0 D.f′(x0)不存在 ) 解析:由导数的几何意义可知曲线在(x0,f(x0))处的导数等于曲线在该点处的 切线的斜率,所以 f′(x0)=3. 答案:B 3.曲线 y=x2 在点 P(1,1)处的切线方程为( A.y=2x C.y=2x+1 Δy B.y=2x-1 D.y=-2x Δy Δx =2x,所以 y′|x=1 ) (x+Δx)2-x2 解析:因为 = =2x+Δx,所以 Δx Δx =2,所以切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 答案:B 1 4.曲线 y= x2-2x 在点(2,-2)处切线的斜率为( 2 A.1 B.-1 C.0 D.-2 f(2+Δx)-f(2) = Δx ) 解析:f′(2)= 1 (2+Δx)2-2(2+Δx)-(-2) 2 Δx = Δx 2 =0. 答案:C 5.曲线 y=x3 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为( A.(-2,-8) C.(2,8) B.(1,1),(-1,-1) ? 1 1? ? ? D.?- ,- ? 8? ? 2 (x+Δx)3-x3 = Δx =3x2=3,所以 x=±1,所以点 P 的坐 ) 解析:k= 标为(1,1),(-1,-1). 答案:B 二、填空题 6.设 y=f(x)为可导函数,且满足条件 f(1)-f(1-x) =-2,则曲线 2x y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是________. 解析:由 f(1)-f(1-x) 1 =-2,得 f′(1)=-2, 2x 2 即 f′(1)=-4. 答案:-4 7.如图所示,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0, 4),(2,0),(6,4),则 f(1+Δx)-f(1) =______. Δx 解析:由导数的概念和几何意义知, 0-4 =-2. 2-0 答案:-2 f(1+Δx)-f(1) =f′(1)=kAB Δx = 8.曲线 y=x3 在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ________. 解析:因为 f′(3)= (x+Δx)3-x3 =27, Δx 所以在点(3,27)处的切线方程为 y-27=27(x-3), 即 y=27x-54.此切线与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0),(0,-54).所以切 线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 S= ×2×54=54. 2 答案:54 三、解答题 9.求过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直 线. 解:先求曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的斜率, k=y′|x=1= 3(1+Δx)2-4(1+Δx)+2-3+4-2 = Δx (3Δx+2)=2.设过点 P(-1,2)且斜率为 2 的直线为 l,则由点斜式得:y -2=2(x+1),化为一般式:2x-y+4=0.

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