《随堂优化训练》2014年数学(人教A版)必修1配套课件2.1.1根式与分数指数幂

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.1 根式与分数指数幂

【学习目标】 1.理解 n 次方根及根式的概念. 2.理解根式的运算性质. 3.理解分数指数幂的意义. 4.掌握根式与分数指数幂的互化.

1.根式的概念 (1)a 的 n 次方根:如果__x_n_=__a__,那么 x 叫做 a 的 n 次方 根,其中 n>1,且 n∈N*.当 n 是奇数时,a 的 n 次方根表示为 ___n_a____,a∈____R____;当 n 是偶数时,a 的 n 次方根表示为 ___±_n_a___,a∈___(0_,__+__∞__) _. (2)根式:式子 n a 叫做___根__式___,这里 n 叫做根__指__数__,a 叫 做__被__开__方__数____. 练习 1:8 的 3 次方根是___2___,16 的 4 次方根是__±__2__.

2.根式的性质 (1) n 0 =____0____(n∈N*,且 n>1).

(2)( n a )n=____a____(n∈N*,且 n>1).

(3) n an =____a____(n 为大于 1 的奇数).

(4) n an =____|a_|_______=???
??

a -a

的偶数).

?a≥0?, ?a<0? (n 为大于 1

练习 2: 3 (?7)3 =__-__7____; 4 (?2)4 =____2____.

3.分数指数幂的意义

正分数
指数幂 分

m
规定:a n =___n _a_m___(a>0,m,n∈N*, 且 n>1)



1



负分数

规定:

a

?

m n



1
m

=_____n _a_m_____(a>0,m,

数 指数幂

an



n∈N*,且 n>1)

性质

0 的正分数指数幂等于_____0_______, 0的负分数指数幂___没__有__意__义___

练习

3:9

3 2

=___2_7___;8

?

2 3

1 =___4____;0

3 2

=___0____.

【问题探究】 1.(±2)2=4,那么±2 就叫做 4 的____________; 33=27,那么 3 就叫做 27 的____________; (±3)4=81,那么±3 就叫做 81 的____________. 依此类推,若 xn=a,那么 x 叫做 a 的______________. 答案:二次方根 立方根 四次方根 n 次方根

2.计算( 3)2,3 43 ,n (?2)n .从特殊到一般,思考( n a )n,n an

的结果.

答案:( 3)2=3, 3 43 =4, n (?2)n =?????- 2,2, n为n为 偶奇 数数 . ,

( n a )n=a.当 n 是奇数时, n an =a;当 n 是偶数时, n an =

|a|=?????a-a

?a≥0?, ?a<0?.

题型 1 根式的求值、化简 【例 1】 求下列各式的值:

(1) 3 (?2)3 ;

(2) ?-9?2;

(3)( 5 2 )5;

(4) x2+2xy+y2.

思维突破:运用根式的性质及运算公式计算.

解:(1) 3 (?2)3 =-2.

(2) ?-9?2=|-9|=9.

(3)( 5 2 )5=2.

(4) x2+2xy+y2= ?x+y?2=|x+y|

=?????x-+xy-y

?x+y≥0?, ?x+y<0?.

【变式与拓展】 1.求下列各式的值: (1) 3 (?16)3 ; (2) 6 (?3)6 ; (3) ?3.14-π?2+ ?3.14+π?2. 解:(1) 3 (?16)3 =-16. (2) 6 (?3)6 =|-3|=3. (3) ?3.14-π?2+ ?3.14+π?2=|3.14-π|+|3.14+π|=2π.

2.化简: (1) 4 (m ? n)4 + 3 (m ? n)3 ; (2) 5+2 6+ 7-4 3. 解:(1)原式=|m-n|+(m-n) =???2?m-n? ?m≥n?,
??0 ?m<n?. (2)原式= 3+2 6+2+ 4-4 3+3 = ? 3?2+2 6+? 2?2+ 22-4 3+? 3?2 = ? 3+ 2?2+ ?2- 3?2 =| 3+ 2|+|2- 3|= 3+ 2+2- 3= 2+2.

题型 2 根式的比较大小 【例 2】 比较 5, 3 11, 6 123 的大小. 思维突破:先化为统一的根指数,再进行比较. 解:∵ 5= 6 53 = 6 125 , 3 11= 6 112 = 6 121, 又 121<123<125, ∴ 6 121< 6 123 < 6 125 . 故 5> 6 123 > 3 11.
当根指数相同时,不论根指数是奇数还是偶数, 根式的大小取决于被开方数的大小.

【变式与拓展】 3.比较 2, 3 3 , 6 6 的大小.
解:∵ 2= 6 23 = 6 8 , 3 3 = 6 32 = 6 9 , 又∵6<8<9, ∴ 6 6 < 6 8 < 6 9 .故 6 6 < 2< 3 3 .

题型 3 分数指数幂与根式的互化 【例 3】 将下列分数指数幂化为根式(其中 a>0):

4
(1)5 3 ;

(2)2

?

1 2



3
(3)a 2 ;

?5
(4)a 2 .

思维突破:根据分数指数幂的意义计算.

4
解:(1)5 3 = 3 54 .

(2)2

?

1 2



2 2.

3
(3)a 2 = a3.

(4)a

?

5 2



1 a5.

【变式与拓展】

4.将下列分数指数幂化为根式:

1
(1)2 5 ;
1
解:(1)2 5 = 5 2 .

?1? (2)??2??

?

1 3



?1? (2)??2??

?

1 3

=2

1 3



3

2.

2
(3)3 3 = 3 32 .

2
(3)3 3 .

【例 4】 求值: 4 (?9)2 .

2

1

易错分析:常见错误为 4 (?9)2 =(-9) 4 =(-9) 2 .根式转化

为分数指数幂时,底数不能为负数,题中-9<0,故结果没有意 义.

解: 4 (?9)2 = 4 92 = 4 34 =3.

[方法·规律·小结]

1.理解 n 次方根及根式的概念. (1)正数 a 的偶次方根有两个,记为±n a ;实数 a 的奇次方 根有一个,记为 n a . (2)对于根式 n a ,若 n 为大于 1 的偶数,则 a≥0.

(3)对于根式 n an ,在化简时,要注意 n 的奇偶性及 a 的正

负,即 n an =???a ??|a|

?n为奇数?, ?n为偶数?.

2.分数指数幂.

(1)分数指数幂a

m n

不能理解为mn 个

a

相乘.

(2)根式与分数指数幂表示相同意义的量,只是形式不同.

(3)有理数包括整数和分数,由整数指数幂扩充到分数指数 幂后,指数概念就扩充到了有理数指数幂.


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