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【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.3第一课时线线垂直、线面垂直课件 新人教B版必修2


1.2.3 .

空间中的垂直关系

第一课时 线线垂直、线面垂直 线线垂直、

学习目标 1.理解线线垂直 、 线面垂直的概念并能画出它们 理解线线垂直、 理解线线垂直 的直观图. 的直观图. 2. 掌握线线垂直、 线面垂直的判定定理, 并能 . 掌握线线垂直 、 线面垂直的判定定理 , 作出正确的判定,会求其距离. 作出正确的判定,会求其距离. 3. 掌握线面垂直的性质定理 , 并能应用该定理 . 掌握线面垂直的性质定理, 证明空间位置关系. 证明空间位置关系.

课前自主学案

第一课时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 初中我们是这样定义垂直的: 初中我们是这样定义垂直的 : 如果两条相交直线 所成的角是_______,则称这两条直线互相垂直. 所成的角是 直角 ,则称这两条直线互相垂直.

知新益能 1.直线与直线的垂直 . 两条直线垂直的定义:如果两条直线_____________ 两条直线垂直的定义:如果两条直线 相交于一点 经过平移后相交于一点 ,并且交角为直角, 或_______________________,并且交角为直角, 则 称这两条直线互相垂直. 称这两条直线互相垂直. 2.直线与平面垂直 . (1)直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平 直线与平面垂直的定义: 直线与平面垂直的定义 面相交于点O,并且和这个平面内过交点O的任何直 面相交于点 ,并且和这个平面内过交点 的任何直 线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直. 线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.

这条直线叫做平面的________, 这个平面叫做这 , 这条直线叫做平面的 垂线 垂足 条直线的________, 交点叫做_________, 垂线 条直线的 , 交点叫做 , 垂面 上任意一点到垂足间的线段, 上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平 垂线段 点到 面的_______________, 垂线段的长度叫做这个 面的 , _______ 平面的距离 _______________. _______________. (2)直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线与一 直线和平面垂直的判定定理: 直线和平面垂直的判定定理 个平面内的两条相交直线都垂直, 个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就 垂直于这个平面. 简而言之 线线垂直, 简而言之: 垂直于这个平面 (简而言之:线线垂直,则线面垂 直) (3)推论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 推论: 推论 那么另一条也垂直于这一平面. 面,那么另一条也垂直于这一平面.

思考感悟 垂直于同一条直线的两条直线平行吗? 垂直于同一条直线的两条直线平行吗? 提示:不一定.平行、相交、异面都有可能. 提示:不一定.平行、相交、异面都有可能. 3.直线与平面垂直的性质 . (1)由直线和平面垂直的定义知 , 直线与平面内 由直线和平面垂直的定义知, 由直线和平面垂直的定义知 的 __________ 都 垂 直 , 除 此 以 外 还 有 性 质 定 所有直线 理. (2)垂直于 同一个平面 的两条直线平行. 垂直于_____________的两条直线平行 的两条直线平行. 垂直于 垂直于________________的两个平面平行. 的两个平面平行. 垂直于 同一条直线 的两个平面平行

课堂互动讲练

考点突破 线面垂直的判定 关键证明线垂直于平面内的两条相交直线. 关键证明线垂直于平面内的两条相交直线.

的中点, 为底面 为底面ABCD的中心. 的中心. 为CC1的中点,O为底面 的中心 求证: 求证:A1O⊥平面 ⊥平面GBD.

如图 , 在正方体 - 例1 如图, 在正方体ABCD- A1B1C1D1 中 , G

【分析】 要证明线面垂直,可在平面 分析】 要证明线面垂直,可在平面GBD内 内 找两条相交直线与A1O垂直. 找两条相交直线与 垂直. 垂直

【证明】 证明】 A1 A⊥ BD ⊥

? ? ⊥ ? ? ∵ AC⊥ BD ? A1 A∩ AC= A ? ∩ =
BD⊥ 平面 1 AO ? ⊥ 平面A ? ?? A1 O?平面 1 AO ? ?平面A ? BD⊥ A1 O, ⊥ , 、 设正方体棱长为 a,连接 OG、 A1 G、 A1 C1 . , 、

∵ A1 O = A1 A + AO 2 2 3 2 2 = a +( a) = a , 2 2 OG2 = OC2+ CG2 2 2 a2 = ( a) + ( ) 2 2 3 2 = a, 4

2

2

2

A1 G2 = A1 C2 + C1 G2 1 a2 = ( 2a) + ( ) 2
2

9 2 = a, 4 ∴ A1 O + OG = A1 G , ∴ A1 O⊥ OG, ⊥ , 又∵ BD∩ OG= O,∴ A1 O⊥平面 GBD. ∩ = , ⊥
2 2 2

【点评】 点评】

把线面垂直的证明,转化为线线垂直, 把线面垂直的证明,转化为线线垂直,

其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法. 其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法. 跟踪训练1 跟踪训练 正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分 正方体 中 、 分

别是棱AB、 BC的中点, O是下底面 、 的中点, 是下底面 是下底面ABCD的中心, 的中心, 别是棱 的中点 的中心 求证: ⊥平面BB 求证:EF⊥平面 1O.

证明:如图所示,连接AC,BD,则O为AC和BD 证明:如图所示,连接 , , 为 和 的交点. 的交点. 是正方形, ∵ABCD是正方形, 是正方形 ∴AC⊥BO. ⊥

又∵B1B⊥面ABCD,AC?面ABCD, ⊥ , ? , ∴BB1⊥AC. 又BO∩BB1=B, , ∴AC⊥面BB1O. ⊥ 分别是AB、 的中点 的中点, 又∵E、F分别是 、BC的中点, 、 分别是 ∴在△ABC中,EF∥AC. 中 ∥ ∴EF⊥平面 1O. ⊥平面BB

线面垂直的性质的应用 主要依据线面垂直的定义及性质定理. 主要依据线面垂直的定义及性质定理.

例2 如图 , 已知矩形 如图,已知矩形ABCD,过 A作SA⊥平面 , , 作 ⊥ 平面AC,

再过A作 ⊥ 于点 于点E, 于点F. 再过 作AE⊥SB于点 ,过E作EF⊥SC于点 作 ⊥ 于点 (1)求证:AF⊥SC; 求证: ⊥ ; 求证 (2)若平面 若平面AEF交SD于点 ,求证:AG⊥SD. 于点G,求证: ⊥ 若平面 交 于点

分析】 【 分析 】

本题是证线线垂直问题, 本题是证线线垂直问题 , 可通过证线

面垂直来证明. 结合图欲证AF⊥ , 只需证SC 面垂直来证明 . 结合图欲证 ⊥ SC,只需证 垂直于AF所在的平面 , 由已知, 垂直于 所在的平面, 即 SC⊥ 平面 所在的平面 ⊥ 平面AEF.由已知 , 由已知 欲证SC⊥平面 垂直于SC所在平 欲证 ⊥ 平面AEF,只需证 垂直于 所在平 , 只需证AE垂直于 面,即AE⊥平面 ⊥平面SBC;再由已知只需证 ⊥BC, ;再由已知只需证AE⊥ , 而要证AE⊥ ,只需证BC⊥平面SAB,而这可 而要证 ⊥BC,只需证 ⊥平面 , 由已知得证. 由已知得证.

【证明】 (1)∵SA⊥平面 ,BC?平面 , 证明】 ∵ ⊥平面AC, ?平面AC, ∴SA⊥BC, ⊥ , 四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC. 为矩形, ∵四边形 为矩形 ⊥ ∴BC⊥平面 ⊥平面SAB,∴BC⊥AE. , ⊥ 又SB⊥AE,∴AE⊥平面 ⊥ , ⊥平面SBC, , ∴AE⊥SC. ⊥ 又EF⊥SC,∴SC⊥平面 ⊥ , ⊥平面AEF. ∴AF⊥SC. ⊥ (2)∵SA⊥平面 ,∴SA⊥DC. ∵ ⊥平面AC, ⊥ 又AD⊥DC,∴DC⊥平面 ⊥ , ⊥平面SAD.∴DC⊥AG. ∴ ⊥ 又由(1)有 ⊥平面AEF,AG?面AEF, 又由 有SC⊥平面 , ? , ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面 ⊥ , ⊥平面SDC,∴AG⊥SD. , ⊥

【点评】 证明线线垂直的常用思路是: 点评】 证明线线垂直的常用思路是: 线面垂直 ― → 线线垂直 判定定理 线面垂直 ― ― → ― 定义
定义 判定定理 推出 推出 推出 定义

― → 线线垂直 . ― 定义

跟踪训练2 跟踪训练 α∥β. ∥

已知AA′ ⊥ α, AA′ ⊥ β.求证 : ′ 求证: 已知 , ′ 求证

证明:如图所示,设经过直线AA′ 证明 : 如图所示 , 设经过直线 ′ 的两个平面 γ,δ分别与平面 ,β相交于直线 a,b和a′, , 分别与平面 分别与平面α, 相交于直线 和 ′ b′, ′ 因为AA′ ⊥ α, AA′ ⊥ β, 所以 ′ 因为 , ′ , 所以AA′ ⊥ a′ , ′ ′ AA′⊥a, ′ ,

AA′,a′,a都在平面 内, , , 都在平面 都在平面γ内 所以a∥ ,所以a′∥ 同理 同理b′∥ 所以 ∥a′,所以 ∥α.同理 ∥α. 又a′∩b′=A′,所以 ∥β. = ,所以α∥

点到平面的距离 先利用定义找出或作出垂线段, 先利用定义找出或作出垂线段,在直角三角形 中求出该线段长. 中求出该线段长.

例3 已知 为△ABC外一点,PA、PB、PC两两 已知P为 外一点, 、 、 两两 外一点

垂直, = = = , 点到平面ABC的距 垂直 , PA=PB=PC=a,求P点到平面 点到平面 的距 离. 分析】 【分析】 欲求点到平面的距离, 欲求点到平面的距离,可先过点作平

面的垂线,进一步求出垂线段的长. 面的垂线,进一步求出垂线段的长.

【解】 过P作PO⊥平面 作 ⊥平面ABC于O点,连接 于 点 连接AO、 、 BO、CO, 、 , ∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. ⊥ , ⊥ , ⊥ ∵PA=PB=PC=a, = = = , ∴△PAO≌△PBO≌△PCO. ≌ ≌ ∴OA=OB=OC, = = , 的外心. ∴O为△ABC的外心. 为 的外心 两两垂直, ∵PA、PB、PC两两垂直, 、 、 两两垂直

为正三角形, ∴ AB= BC= CA= 2a,△ ABC 为正三角形, = = = , 3 6 ∴ AO= AB= a, = = , 3 3 3 2 2 ∴ PO= PA - AO = a. = 3 3 到平面 因此点 P 到平面 ABC 的距离为 a. 3

【点评】 点评】

求点到平面距离的基本程序是: 求点到平面距离的基本程序是:

首先,找到或作出要求的距离; 首先,找到或作出要求的距离; 然后,使所求距离在某一个三角形中; 然后,使所求距离在某一个三角形中; 最后, 在三角形中根据三角形的边角关系求出 最后 , 距离. 距离.

平行线到平面的距离 在平行线上寻找合适的点, 在平行线上寻找合适的点,转化为点到平面 的距离. 的距离.

例4

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1 - 已知长方体

=5,AB=12,求直线 1C1到平面 1BCD1的距 , = ,求直线B 到平面A 离. 分析】 应先证出B 与平面A 平行, 【分析】 应先证出 1C1与平面 1BCD1平行 , 然后再转化求出距离. 然后再转化求出距离.

【解】 ∵B1C1∥BC, , B1C1?平面 1BCD1,BC?平面 1BCD1, 平面A ?平面A 平面A ∴B1C1∥平面 1BCD1, 故点B 到平面A 的距离即为所求. 故点 1到平面 1BCD1的距离即为所求.

过 B1 作 B1 E⊥ A1 B 于 E, ⊥ , ∵ BC⊥面 A1 B1 BA, ⊥ , ∴ BC⊥ B1 E, ⊥ , ∴ B1 E⊥ 平面 A1 BCD1 . ⊥ ∽ △ ∵ Rt△ A1 B1 B∽ Rt△ A1 EB1 , △ B1 E A1 B1 ∴ = , BB1 A1 B A1 B1 ·BB1 12× 5 × 60 ∴ B1 E= = = = . 2 2 A1 B 12 + 5 13 60 即 B1 C1 到平面 A1 BCD1 的距离为 . 13

点评】 【 点评 】

只有当直线平行于平面时, 只有当直线平行于平面时 , 才存在直

线到平面的距离, 关键是先判断直线和平面平行, 线到平面的距离 , 关键是先判断直线和平面平行 , 再将线面距离转化为点面距离, 进而转化为点线 再将线面距离转化为点面距离 , 距离, 最后通过解三角形求解, 距离 , 最后通过解三角形求解 , 这种转化的思想 非常重要. 非常重要.

跟踪训练 3 矩形 ABCD 和矩形 CDEF 有一公共 边 CD,且 ED⊥ AD,AB= 2,BC= 2,ED= 2. , ⊥ , = , = , = 求: (1)点 B 到平面 AED 的距离; 的距离; 点 (2)EF 到平面 ABCD 的距离; 的距离;

(3)CD 到平面 ABE 的距离. 的距离.

为矩形, 解:(1)∵ABCD和CDEF为矩形, ∵ 和 为矩形 ∴CD⊥DE,AB⊥DE. ⊥ , ⊥ 又∵AB⊥AD, ⊥ , ∴AB⊥平面 ⊥平面AED, , 的长即为所求距离, ∴BA的长即为所求距离, 的长即为所求距离 因此点B到平面 到平面AED的距离为 的距离为2. 因此点 到平面 的距离为

(2)∵ ED⊥面 ABCD, ∵ ⊥ , 又∵ ED= 2, = , ∴ EF 到平面 ABCD 的距离是 2. (3)在平面 ADE 中, 在平面 过 D 作 DG⊥ AE 于 G, ⊥ , 由 (1)知 AB⊥平面 ADE, 知 ⊥ , ∴ AB⊥ DG,∴ DG⊥ 平面 ABE,即 DG 为所求距 ⊥ , ⊥ , 离, 2 2 在直角△ 在直角△ ADE 中, AE= AD + DE = 2, = , 2× 2 DE·AD × = = 1, , ∴ DG= = AE 2 ∴ CD 到平面 ABE 的距离为 1.

方法感悟 1.直线与直线垂直 . 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点, 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点, 并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直. 并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直. 两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直. 两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直. 2.直线和平面垂直 . (1)直线与平面垂直的定义,应注意:①定义中的 直线与平面垂直的定义, 直线与平面垂直的定义 应注意: 任何直线”这一条件, “任何直线”这一条件,②直线与平面垂直是相交 中的特殊情况, 中的特殊情况,③利用定义可得直线和平面垂直则 直线与平面内的所有直线垂直. 直线与平面内的所有直线垂直.

(2)判定定理 判定定理 直线与平面垂直应注意两点: 直线与平面垂直应注意两点: 定理中的条件, 平面内的两条相交直线”既 ①定理中的条件,是“平面内的两条相交直线 既 平面内的两条相交直线 不能说是“两条直线 两条直线”,也不能说“无数条直线 无数条直线”. 不能说是 两条直线 ,也不能说 无数条直线 . 应用定理的关键是在平面内, ②应用定理的关键是在平面内,找到两条相交直 线与已知直线垂直. 线与已知直线垂直. (3)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于 推论: 推论 如果在两条平行直线中, 平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.此推 论也是判定直线与平面垂直的方法. 论也是判定直线与平面垂直的方法.

(4)垂直于同一平面的两条直线平行;垂直于同一 垂直于同一平面的两条直线平行; 垂直于同一平面的两条直线平行 直线的两个平面平行. 直线的两个平面平行. 3.线面垂直、线线垂直的证明方法 .线面垂直、 (1)线面垂直的证明方法: 线面垂直的证明方法: 线面垂直的证明方法 定义法; 判定定理法; 判定定理的推论. ①定义法;②判定定理法;③判定定理的推论. (2)线线垂直的证明方法:①定义法;②线面垂直 线线垂直的证明方法: 定义法; 线线垂直的证明方法 的性质. 的性质. (3)线线垂直与线面垂直可相互转化. 线线垂直与线面垂直可相互转化. 线线垂直与线面垂直可相互转化


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