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2017届高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语平面向量复数算法合情推理不等式1集合常用逻辑用语课件文


类型一 类型二 类型三 限时速解训练

专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、 复数、算法、合情推理、不等式
必考点一 集合、常用逻辑用语

[高考预测]——运筹帷幄 1.以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间 的交集、并集及补集的基本运算. 2.利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围. 3.考查全称命题、特称命题的否定,以及全称命题与特称命题的 真假判断. 4.考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不 等式、平面向量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题.

[速解必备]——决胜千里 1.设有限集合 A,card(A)=n(n∈N*),则 (1)A 的子集个数是 2n;(2)A 的真子集个数是 2n-1; (3)A 的非空子集个数是 2n-1;(4)A 的非空真子集个数是 2n-2. 2.(1)(?RA)∩B=B?B??RA; (2)A∪B=B?A?B?A∩B=A; (3)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB); (4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).

3.若 p 以集合 A 的形式出现,q 以集合 B 的形式出现,即 A= {x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可叙述为: (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件; (2)若 A?B,则 p 是 q 的必要条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件.

[速解方略]——不拘一格 类型一 [例 1] 集合的概念及运算

(1)已知集合 A={-2, -1, 0,1,2}, B={x|(x-1)(x+2)<0},

则 A∩B=( A ) A.{-1,0} C.{-1,0,1} B.{0,1} D.{0,1,2}

解析:基本法:化简集合 B,利用交集的定义求解. 由题意知 B={x|-2<x<1},所以 A∩B={-1,0}.故选 A. 速解法:验证排除法: ∵-1∈B,故排除 B、D. ∵1?B,∴1?A∩B,排除 C.

答案:A

(2)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的 个数是( C ) A.1 C.5 B.3 D.9

解析:基本法:用列举法把集合 B 中的元素一一列举出来. 当 x=0,y=0 时,x-y=0;当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2;当 x=1,y=0 时,x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0;当 x=1,y=2 时,x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2;当 x=2,y=1 时,x-y=1; 当 x=2,y=2 时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B 中元 素有 0,-1,-2,1,2,共 5 个.故选 C.

速解法一:排除法:估算 x-y 值的可能性,排除不可能的结果. ∵x∈A,y∈A,∴x-y=± 1,x-y=± 2. B 中至少有四个元素,排除 A、B,而 D 选项是 9 个元素. 即 3×3 更不可能.故选 C. 速解法二:当 x=y 时,x-y=0; 当 x≠y 时,x 与 y 可以相差 1,也可以相差 2,即 x-y=± 1,x-y =± 2. 故 B 中共有 5 个元素,B={0,± 1,± 2}.故选 C.

答案:C

方略点评:对于集合问题,可根据元素的特征采用排除法快速求 解,注意数轴、Venn 图的应用.

1.(2016· 河南郑州市高三质检)设全集 U={x∈N*|x≤4},集合 A ={1,4},B={2,4},则?U(A∩B)=( A ) A.{1,2,3} C.{1,3,4} B.{1,2,4} D.{2,3,4}

解析:基本法:本题主要考查集合的基本运算. 因为 U={1,2,3,4},A∩B={4},所以?U(A∩B)={1,2,3},故选 A. 速解法:∵A∩B={4}.∴4??U(A∩B),排除 B、C、D 只能选 A.

答案:A

2. (2016· 高考全国甲卷)已知集合 A={1,2,3}, B={x|x2<9}, 则 A∩B =( D ) A.{-2,-1,0,1,2,3} C.{1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} D.{1,2}

解析:基本法:(直接法)先化简集合 B,再利用交集定义求解. ∵x2<9,∴-3<x<3,∴B={x|-3<x<3}. 又 A={1,2,3}, ∴A∩B={1,2,3}∩{x|-3<x<3}={1,2},故选 D. 速解法:(代入检验法)12<9,22<9,32=9,且 A∩B?A. 故 A∩B={1,2},选 D.

答案:D

类型二 [例 2]

充分、必要条件

(1) 函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x

=x0 是 f(x)的极值点,则( C ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

解析:基本法:利用命题和逆命题的真假来判断充要条件,注意 判断为假命题时,可以采用反例法. 当 f′(x0)=0 时,x=x0 不一定是 f(x)的极值点, 比如,y=x3 在 x=0 时,f′(0)=0,但在 x=0 的左右两侧 f′(x) 的符号相同,因而 x=0 不是 y=x3 的极值点. 由极值的定义知,x=x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)=0. 综上知,p 是 q 的必要条件,但不是充分条件.

答案:C

? 3π π? (2)“x ∈ ?- 4 ,4? ”是“函数 ? ?

? π? y = sin ?x+4? 为单调递增函数”的 ? ?

( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? π? π 解析: 基本法: 若函数 y=sin?x+4?为单调递增函数, 则- +2kπ≤x 2 ? ?

π π + ≤ +2kπ,k∈Z, 4 2 3π π 即- 4 +2kπ≤x≤4+2kπ,k∈Z. 从而函数 Z). 因此若
? 3π π? x∈?- 4 ,4?,则函数 ? ? ? π? y=sin?x+4?为单调递增函数; ? ? ? ? 3π ? π? π y=sin?x+4?的单调递增区间是?- 4 +2kπ,4+2kπ?(k∈ ? ? ? ?

若函数

? π? y=sin?x+4?为单调递增函数?/ ? ?

? 3π π? x∈?- 4 ,4?. ? ?

? 3π π? 所以“x∈?- 4 ,4?”是“函数 ? ?

? π? y=sin?x+4?为单调递增函数”的 ? ?

充分不必要条件.故选 A.

速解法:当 数, 但

? 3π π? ? π? π ? π π? x∈?- 4 ,4?时?x+4∈?-2,2??y=sin?x+4?为增函 ? ? ? ? ? ?

? π? y = sin ?x+4? 为 增 函 数 周期性 ――→ ? / ? ?

π ? π π? x + 4 ∈ ?-2,2? ? / x ∈ ? ?

? 3π π? ?- , ?. 4 4? ?

答案:A

方略点评: 1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关 系.第(1)题采用了特例(y=x3)验证,第(2)题采用了“?”形式进 行简单推理. 2.先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B; 而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B, 且 B 不能推出 A.

3.准确转化:若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分

不必要条件;若綈 p 是綈 q 的充要条件,那么 p 是 q 的充要条件.

1.已知 x∈R,则“x2-3x>0”是“x-4>0”的( B ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:基本法:判断 x2-3x>0?x-4>0 还是 x-4>0?x2-3x>0. 注意到 x2-3x>0?x<0 或 x>3, x-4>0?x>4.由 x2-3x>0 不能得出 x-4>0;反过来,由 x-4>0 可得出 x2-3x>0,因此“x2-3x>0” 是“x-4>0”的必要不充分条件.故选 B.

答案:B

速解法:利用反例和实数的运算符号寻找推导关系.如 x=4 时, 满足 x2-3x>0,但不满足 x-4>0,即不充分. 若 x-4>0,则 x(x-3)>0,即必要.故选 B.

答案:B

2.(2016· 高考山东卷)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内, 则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行 判断.由题意知 a?α,b?β,若 a,b 相交,则 a,b 有公共点, 从而 α,β 有公共点,可得出 α,β 相交;反之,若 α,β 相交,则 a,b 的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件.

答案:A

类型三 命题判定及否定 [例 3] (1)设命题 p:?n∈N,n2>2n,则綈 p 为( C )

A.?n∈N,n2>2n C.?n∈N,n2≤2n

B.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n

解析: 基本法: 因为 “ ? x ∈ M , p(x)” 的否定是 “ ? x ∈ M , 綈

p(x)” , 所 以 命 题 “ ? n ∈ N , n2 > 2n” 的否 定 是 “ ? n ∈ N , n2≤2n”.故选 C.

答案:C

(2)已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈R,x3=1-x2,则下 列命题中为真命题的是( B ) A.p∧q B.(綈 p)∧q

C.p∧(綈 q)

D.(綈 p)∧(綈 q)

解析:基本法:当 x=0 时,有 2x=3x,不满足 2x<3x,∴p:?x ∈R,2x<3x 是假命题. 如图,函数 y=x3 与 y=1-x2 有交点,即方程 x3=1-x2 有解, ∴q:?x∈R,x3=1-x2 是真命题.

∴p∧q 为假命题,排除 A. ∵綈 p 为真命题,∴(綈 p)∧q 是真命题.选 B.

速解法:当 x=0 时,不满足 2x<3x,∴p 为假,排除 A、C.利用 图象可知,q 为真,排除 D,必选 B.

答案:B

方略点评:?1?基本法是具体判断 p,綈 p,q,綈 q 的真假.

速解法是利用“当 p、q 全真时,p∧q 为真”的道理,利用逻辑关 系排除. ?2?要判定一个全称命题是真命题, 必须对限定集合 M 中的每一个 元素 x 验证 p?x?成立,要判定其为假命题,只需举出一个反例即 可.

?3?要判定一个特称?存在性?命题为真命题,只要在限定集合 M 中 至少能找到一个元素 x0,使得 p?x0?成立即可;否则,这一特称? 存在性?命题就是假命题.特别注意: 命题的否命题是既否定命题的 条件,又否定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论.

1.(2016· 山西四校联考)已知命题 p:?x∈R,2x>3x;命题 q:?x
? π? ∈?0,2?,tan ? ?

x>sin x,则下列是真命题的是( D ) B.(綈 p)∨(綈 q)

A.(綈 p)∧q

C.p∧(綈 q)

D.p∨(綈 q)

解析:基本法:先判断命题 p、q 的真假,然后根据选项得出正确 结论. 当 x=-1 时,2 >3 ,所以 p 为真命题;当
-1 -1

? π? x∈?0,2?时,tan ? ?

x

sin x?1-cos x? -sin x= >0,所以 q 为真命题,所以 p∨(綈 q)是真 cos x 命题,其他选项都不正确,故选 D. 速解法:p 为真时,p 或任何命题为真,故选 D.

答案:D

2 . (2016· 陕西西安市高三质检 ) 已知命题 p: ? x ∈ R , log2(3x + 1)≤0,则( B ) A.p 是假命题;綈 p:?x∈R,log2(3x+1)≤0

B.p 是假命题;綈 p:?x∈R,log2(3x+1)>0

C.p 是真命题;綈 p:?x∈R,log2(3x+1)≤0

D.p 是真命题;綈 p:?x∈R,log2(3x+1)>0

解析:基本法:本题主要考查命题的真假判断、命题的否定. ∵3x>0,∴3x+1>1,则 log2(3x+1)>0,∴p 是假命题;綈 p:

?x∈R,log2(3x+1)>0.故应选 B.

答案:B

[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——直接法

直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公 式、公理、定理、法则,通过准确的运算、严谨 方法诠释 的推理、合理的验证得出正确的结论,然后对照 题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择, 从而确定正确选项的方法. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用 适用范围 直接法.

解题规律

基本法,单刀直入


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