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高三一轮复习平面向量3数量积复习(两课时)


2015 届文科数学一轮复习《平面向量》3---平面向量数量积(2 课时) 课标要求:1 掌握平面向量的数量积及其几何意义;
王新敞
奎屯 新疆

则(-3 a )·( a + b )=______. 解题过程:

2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
王新敞
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3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
王新敞
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4 掌握向量垂直的条件
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

变式 1.设 a = ?1,?2? , b = (?3,4) , c ? ?3,2? ,则 a ? 2b ? c ? 解题过程

?

?

教学过程: 一、知识要点回顾: 1.两个向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b ,过 O 点作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的 时, a 与 b .当 θ =0°时, a 与 b ;当 θ =180° . 叫

变式 2.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是_______. 解题过程:

;如果 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作

2. 两个向量的数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为 θ , 则数量 做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a · b ,即 a · b = 量积为 0.若 a =(x1, y1), b =(x2, y2),则 a · b = 3.向量的数量积的几何意义: | b |cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 (θ 是向量 a 与 b 的夹角).
a

.规定零向量与任一向量的数 . 题型二、向量的夹角与向量的模 例 2、 . 已知| a |=4,| b |=3,(2a-3b)· (2a+b)=61,(1)求 a 与 b 的夹角 θ; → → (2)求| a + b |; (3)若AB= a ,BC= b ,求△ABC 的面积

· b 的几何意义是,数量 a · b 等于



4.向量数量积的性质:设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角. ⑴
e ·a

=a ·e =



a

⊥b

?

⑶ 当 a 与 b 同向时, a · b = ⑷ cosθ = .

;当 a 与 b 反向时, a · b = ⑸ | a · b |≤



5.向量数量积的运算律: ⑴
a

变式 3:已知 ⑵ (λ
a

?

·b =



)· b =

= a ·(λ

b)

a ? 4, b ? 5, 且 a 与 b 的夹角为600,求 :

?

?

?

⑶ ( a + b )· c = 二、要点演练:(同学们,请给向量加上“帽子”) 题型一、平面向量的数量积的运算 例1、 如图, 若向量 a 的方向是正南方向, 向量 b 的方向是正东方向, 且| a |=| b |=1,
1

? ? ?? ? ? ?? ? 2 a? 3 b ? ? ? 3 a? 2 b ? ? ? ? ?

2

变式 4:已知| a |=3,| b |=4,| a + b |=5,求|2 a -3 b |的值.

4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |? 5.已知向量 a ? (cos x,sin x), b ? (cos y,sin . 6. 若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,则△ABC 的形状是 7.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 的最大值与最小正周期.

?

?

? ?

? ?

.

?

?

y) ,若 y ? x ?

7? 6

,则向量 a 与 a ? b 的夹角为

?

? ?

.

?

?

小结 1:(1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对| a |= a ? a 要引起 足够重视,它是求距离常用的公式. (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系. 在向量的运算中, 灵活运用运算律, 达到简化运算的目的.

? ? ? f ( x) ? a ? (a ? b) ,求函数 f ( x)

题型三、平面向量的垂直问题 例 3 已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β )(0<α <β <π ). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β-α.(其中 k 为非零实数)

8. 已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (?1, (1)求角

??

?? ? ? 3), n ? (cos A,sin A) ,且 m ? n ? 1 .

A ;(2)若

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan C . cos 2 B ? sin 2 B

9、已知向量 a =(sin ? ,1), b =(1,cos ? ),- ? 反思小结: (1) 若 a⊥b,求 ? ; (2) 求| a + b |的最大值. 三、课后巩固练习: ? ? ? ? 1. 若 a ? b ? 0 ,则不共线的向量 a 和 b 的夹角 ?
A. [ 2.

2

?? ?

?
2



的取值范围是

( D.



( ,? ] C. [ , ? ] 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 若 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则两向量 a, b 的夹角为(
B.
?

?

,? )

?

?

( ,? ) 2

?

) D. 135
?

A. 45

B. 60

?

C. 120

?

3.已知 a ? (3, 4), b ? (2, ?1) ,若向量 a ? ? b 与 ?b 垂直,则 ? 的值为 A.

?

?

?

?

?

( D. ?



23 3

B.

3 23

C. 2 3

2 5
4


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