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广东省深圳东方英文书院港台校2015届高考数学二模试卷

广东省深圳东方英文书院港台校 2015 届高考数学二模试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则复数 z= A.第一象限 B.第二象限 =﹣ 对应的点位于() C.第三象限 i,则 a 等于() C. 2 D.﹣2 D.第四象限

2. (5 分)若 a 为实数, A. B. ﹣

3. (5 分)满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 4. (5 分)某数列第一项为 1,并且对所有 n≥2,n∈N ,数列的前 n 项之积 n ,则当 n≥2 时, 有() A.an=2n﹣1 B.an=n
2 * 2

C.an=

D.an=

5. (5 分)若集合 A={x|lg(x﹣2)<1},集合 B={x| <2 <8},则 A∩B=() A.(﹣1,3) B.(﹣1,12) C.(2,12) ,则() C.b>a>c D.b>c>a ) ,则当 x∈ D.(2,3)

x

6. (5 分)设 a=log3π,b=log2 A.a>b>c B.a>c>b

7. (5 分)设 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+ (﹣∞,0)时,f(x)等于() A.x(1+ ) B.﹣x(1+ ) C.﹣x(1﹣ ) D.x(1﹣



8. (5 分)设 x、y 是满足 2x+y=20 的正数,则 lgx+lgy 的最大值是() A.50 B. 2 C.1+lg5 D.1 9. (5 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=() A.2+ln n B.2+(n﹣1)ln n C.2+n ln n D.1+n+ln n

10. (5 分)函数 y=g(x)的图象与函数 f(x)=a 则 g(2)的值是() A. B.

x﹣1

的图象关于 y=x 对称,并且 g(4)=2, D.4

C. 2

11. (5 分)对实数 a 与 b,定义新运算“?”:a?b=

.设函数 f(x)=(x ﹣2)

2

?(x﹣1) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范 围是() A.(﹣1,1]∪(2,+∞) B.(﹣2,﹣1]∪(1,2] C. (﹣∞, ﹣2) ∪(1,2] D. [﹣2,﹣1] 12. (5 分)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]时,f(x) =x,则函数 y=f(x)=log3|x|的零点个数是() A.多于 4 个 B. 4 个 C. 3 个 D.2 个

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 13. (5 分)设函数 为奇函数,则 a=.

14. (5 分)已知复数 z0=3+2i,复数 z 满足 z?z0=3z+z0,则复数 z 的共轭复数是. 15. (5 分)在复数范围内解方程 x +2x+5=0,解为. 16. (5 分)设 f(x)以(x﹣1)除之,余式为 8,以(x+1)除之的余式为 1,求(x ﹣1) 除之的余式为. 17. (5 分)已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 a+2b 的取值范围是. 18. (5 分)设二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 值为.
2 2 2

的最大

三、解答题(共 4 小题,满分 60 分) 19. (15 分)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|, (1)若 a=﹣1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果 x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. 20. (15 分)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列. (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;

(2)证明:



21. (15 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

n+1

+(2﹣λ)2 (n∈N ) ,其中 λ>0.

n

*

22. (15 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2)…(1+an) ,求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 ,求数列{bn}的前 n 项 Sn,并证明 .

2

广东省深圳东方英文书院港台校 2015 届高考数学二模试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则复数 z= A.第一象限 B.第二象限 对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简可得 z= ﹣ i,由复数的几何意义可得. =

解答: 解:化简可得 z=

=

= ,

=

﹣ i, ) ,在第三象限,

∴复数对应的点为(

故选:C 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的几何意义,属基础题. 2. (5 分)若 a 为实数, A. B. ﹣ =﹣ i,则 a 等于() C. 2 D.﹣2

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 首先进行复数的除法运算, 分子和分母同乘以分母的共轭复数, 进行复数的乘法运 算,化成最简形式,根据复数相等的充要条件写出关于 a 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ ∴ ∴ ∴2+ =0, ∴a=﹣ 故选 B. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,考查复数相等的充要条件,是一个基础题, 这种题目经常出现在 2015 届高考题目的前三个题目中. 3. (5 分)满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 交集及其运算;子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 首先根据 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}可知 a1,a2 是 M 中的元素,a3 不是 M 中的元 素,由子集的定义即可得出答案. 解答: 解:∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2} ∴a1,a2 是 M 中的元素,a3 不是 M 中的元素 ∵M?{a1,a2,a3,a4} ∴M={a1,a2}或 M={a1,a2,a4}, 故选 B 点评: 此题考查了交集的运算,属于基础题. 4. (5 分)某数列第一项为 1,并且对所有 n≥2,n∈N ,数列的前 n 项之积 n ,则当 n≥2 时, 有() A.an=2n﹣1 B.an=n
2 * 2

=﹣

i,

C.an=

D.an=

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由题意得 作比得答案. 解答: 解:由题意知,a1=1; 当 n≥2 时, , ,进一步得到 ,两式



两式作比得

(n≥2) .

∴当 n≥2,



故选:C. 点评: 本题考查了数列递推式,考查了作商法求数列的通项公式,是基础题.
x

5. (5 分)若集合 A={x|lg(x﹣2)<1},集合 B={x| <2 <8},则 A∩B=() A.(﹣1,3) B.(﹣1,12) C.(2,12) D.(2,3)

考点: 对数函数的定义域;交集及其运算;指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据对数的运算性质和指数的运算性质化简集合 A 和集合 B,然后根据交集的定 义可求出所求. 解答: 解:A={x|lg(x﹣2)<1}={x|lg(x﹣2)<lg10}={x|2<x<12}, B={x| <2 <8}={x|2 <2 <2 }={x|﹣1<x<3}, ∴A∩B={x|2<x<3} 故选 D. 点评: 本题主要考查了集合的运算, 注意指数函数性质的灵活运用, 同时考查了计算能力, 属于基础题. 6. (5 分)设 a=log3π,b=log2 A.a>b>c B.a>c>b ,则() C.b>a>c D.b>c>a
x
﹣1

x

3

考点: 对数值大小的比较. x 分析: 利用对数函数 y=loga 的单调性进行求解. 当 a>1 时函数为增函数当 0<a<1 时函 数为减函数, 如果底 a 不相同时可利用 1 做为中介值. 解答: 解:∵ ∵ ,故选 A

点评: 本题考查的是对数函数的单调性, 这里需要注意的是当底不相同时可用 1 做为中介 值.

7. (5 分)设 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+ (﹣∞,0)时,f(x)等于() A.x(1+ ) B.﹣x(1+ ) C.﹣x(1﹣ ) D.x(1﹣

) ,则当 x∈



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 x<0,则﹣x>0,运用偶函数的定义和已知解析式,即可得到所求的解析式. 解答: 解:令 x<0,则﹣x>0, 由于 f(x)是 R 上的偶函数, 且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+ 则 f(﹣x)=﹣x(1﹣ 即有 f(x)=﹣x(1﹣ )=f(x) , ) (x<0) ) ,

故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求解析式,考查运算能力,属于基础题. 8. (5 分)设 x、y 是满足 2x+y=20 的正数,则 lgx+lgy 的最大值是() A.50 B. 2 C.1+lg5 D.1 考点: 专题: 分析: 值. 解答: 对数的运算性质. 计算题. 利用基本不等式先求出 xy 的范围,再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大 解:∵x,y 是满足 2x+y=20 的正数,

∴2x+y=20≥2 , 即 xy≤50. 当且仅当 2x=y,即 x=5,y=10 时,取等号. ∴lgx+lgy=lgxy≤lg50=1+lg5, 即最大值为 1+lg5. 故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的最值及其几何意义, 最值问题是函数常考的知识点, 属于基 础题.

9. (5 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=() A.2+ln n B.2+(n﹣1)ln n C.2+n ln n D.1+n+ln n

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由已知得 an+1﹣an=ln(1+ )=ln

,由此利用累加法能求出 an.

解答: 解:∵在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) , ∴an+1﹣an=ln(1+ )=ln ,

∴an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1) =2+ln2+ln +…+ln =2+ln( )

=2+lnn. 故选:A. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意累加法的合 理运用. 10. (5 分)函数 y=g(x)的图象与函数 f(x)=a 则 g(2)的值是() A. B.
x﹣1

的图象关于 y=x 对称,并且 g(4)=2, D.4

C. 2

考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 y=g(x)的图象与函数 f(x)=a 的图象关于 y=x 对称,说明 g(x)是 f (x)的反函数,进一步说明 f(x)的图象过(2,4) ,代入求出 a 的值后再由函数 f(x) 的函数值为 2 求得 x 的值得答案. 解答: 解:∵函数 y=g(x)的图象与函数 f(x)=a f(x)的反函数, 由 g(4)=2,得 f(2)=4,∴a x﹣1 ∴f(x)=4 , 由4
x﹣1 2﹣1 x﹣1 x﹣1

的图象关于 y=x 对称,∴g(x)是

=4,即 a=4.

=2,解得:x= .

∴g(2)= . 故选:B. 点评: 本题考查了函数的反函数, 考查了互为反函数的两个函数图象间的关系, 是基础题.

11. (5 分)对实数 a 与 b,定义新运算“?”:a?b=

.设函数 f(x)=(x ﹣2)

2

?(x﹣1) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范 围是() A.(﹣1,1]∪(2,+∞) B.(﹣2,﹣1]∪(1,2] C. (﹣∞, ﹣2) ∪(1,2] D. [﹣2,﹣1]

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据定义的运算法则化简函数 f(x)=(x ﹣2)?(x﹣1) ,的解析式,并画出 f (x)的图象,函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f(x) ,y=c 图象的 交点问题,结合图象求得实数 c 的取值范围. 解答: 解:∵ ∴函数 f(x)=(x ﹣2)?(x﹣1) = ,
2



由图可知,当 c∈(﹣2,﹣1]∪(1,2] 函数 f(x) 与 y=c 的图象有两个公共点, ∴c 的取值范围是 (﹣2,﹣1]∪(1,2], 故选 B.

点评: 本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用,及数形结合的思想.属于 基础题. 12. (5 分)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]时,f(x) =x,则函数 y=f(x)=log3|x|的零点个数是() A.多于 4 个 B. 4 个 C. 3 个 D.2 个

考点: 对数函数的图像与性质;函数的周期性. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]时,f(x) =x,我们易画出函数 f(x)的图象,然后根据函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点个数,即为对应 方程的根的个数,即为函数 y=f(x)与函数 y=log3|x|的图象交点的个数,利用图象法得到答 案.

解答: 解:若函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) , 则函数是以 2 为周期的周期函数, 又由函数是定义在 R 上的偶函数, 结合当 x∈[0,1]时,f(x)=x, 我们可以在同一坐标系中画出函数 y=f(x)与函数 y=log3|x|的图象如下图所示:

由图可知函数 y=f(x)与函数 y=log3|x|的图象共有 4 个交点, 即函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点个数是 4 个, 故选 B 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质, 利用转化思想, 将函数的零点个数问 题,转化为函数图象交点个数问题,是解答本题的关键. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 13. (5 分)设函数 为奇函数,则 a=﹣1.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 一般由奇函数的定义应得出 f(x)+f(﹣x)=0,但对于本题来说,用此方程求参 数的值运算较繁,因为 f(x)+f(﹣x)=0 是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参 数的方程求 a 的值. 解答: 解:∵函数 为奇函数,

∴f(x)+f(﹣x)=0, ∴f(1)+f(﹣1)=0, 即 2(1+a)+0=0, ∴a=﹣1. 故应填﹣1. 点评: 本题考查函数奇偶性的运用, 其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数, 在本题 中为了减少运算量,没有用通用的等式来求 a 而是取了其一个特值,这在恒成立的等式中, 是一个常用的技巧.

14. (5 分)已知复数 z0=3+2i,复数 z 满足 z?z0=3z+z0,则复数 z 的共轭复数是 1+ i.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数.

分析: 变形并化简可得 z=﹣1﹣ i,由共轭复数的定义可得. 解答: 解:∵复数 z0=3+2i,复数 z 满足 z?z0=3z+z0, ∴z= = = = =1﹣ i,

∴复数 z 的共轭复数 =1+ i 故答案为:1+ i 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及共轭复数的求解,属基础题. 15. (5 分)在复数范围内解方程 x +2x+5=0,解为﹣1±2i. 考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用求根公式即可得出. 解答: 解: =﹣1±2i,
2

故答案为:﹣1±2i. 点评: 本题实系数一元二次的求根公式,属于基础题. 16. (5 分)设 f(x)以(x﹣1)除之,余式为 8,以(x+1)除之的余式为 1,求(x ﹣1) 除之的余式为﹣7x﹣9. 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 首先根据题意列出函数关系式 f(x)=g(x) (x﹣1)+8①,f(x)=h(x) (x+1) +1②,②×(x﹣1)﹣①×(x+1)化简即可确定余式. 解答: 解:根据题意得: ∵f(x)=g(x) (x﹣1)+8①, f(x)=h(x) (x+1)+1②, ∴②×(x﹣1)﹣①×(x+1)得: 2 [(x﹣1)﹣(x+1)]f(x)=[h(x)﹣g(x)](x ﹣1)+(x﹣1)﹣8(x+1) 2 =[h(x)﹣g(x)](x ﹣1)﹣7x﹣9 2 ∴f(x)除以(x ﹣1)的余式为﹣7x﹣9. 故答案为:﹣7x﹣9. 点评: 本题考查了函数的性质,解题的关键是正确的变形,难度不大. 17. (5 分)已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 a+2b 的取值范围是(3, +∞) . 考点: 对数函数的值域与最值;对数的运算性质. 专题: 计算题.
2

分析: 画出函数 f(x)的图象,则数形结合可知 0<a<1,b>1,且 ab=1,再将所求 a+2b 化为关于 a 的一元函数,利用函数单调性求函数的值域即可 解答: 解:画出 y=|lgx|的图象如图: ∵0<a<b,且 f(a)=f(b) , ∴|lga|=|lgb|且 0<a<1,b>1 ∴﹣lga=lgb 即 ab=1 ∴y=a+2b=a+ ,a∈(0,1) ∵y=a+ 在(0,1)上为减函数, ∴y>1+ =3 ∴a+2b 的取值范围是(3,+∞) 故答案为 (3,+∞)

点评: 本题主要考查了对数函数的图象和性质,利用“对勾”函数求函数值域的方法,数形 结合的思想方法,转化化归的思想方法,属基础题 18. (5 分)设二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 值为 .
2

的最大

考点: 基本不等式;二次函数的性质. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: 由于二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c 的值域为[0,+∞) ,所以 a>0,且△ =0,从而得 到 a,c 的关系等式,再利用 a,c 的关系等式解出 a,把 转化为只含一个变量的代

数式利用均值不等式进而求解. 2 解答: 解:因为二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c 的值域为[0,+∞) , 所以 ?ac=4?c= ,

所以

=

=

=1+

由于 a+ 所以 1+

≥12(当且仅当 a=6 时取等号) ≤1+ = .

故答案为: 点评: 本题主要考查了基本不等式的应用,以及二次函数的性质,同时考查了计算能力, 属于中档题. 三、解答题(共 4 小题,满分 60 分) 19. (15 分)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|, (1)若 a=﹣1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果 x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: (1)当 a=﹣1,原不等式变为:|x﹣1|+|x+1|≥3,下面利用对值几何意义求解,利 用数轴上表示实数﹣ 左侧的点与表示实数 右侧的点与表示实数﹣1 与 1 的点距离之和不 小 3,从而得到不等式解集. (2)欲求当 x∈R,f(x)≥2,a 的取值范围,先对 a 进行分类讨论:a=1;a<1;a>1.对 后两种情形,只须求出 f(x)的最小值,最后“x∈R,f(x)≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2 即可 求得结果. 解答: 解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)=|x﹣1|+|x+1|,由 f(x)≥3 有|x﹣1|+|x+1|≥3 据绝对值几何意义求解,|x﹣1|+|x+1|≥3 几何意义,是数轴上表示实数 x 的点距离实数 1,﹣ 1 表示的点距离之和不小 3, 由于数轴上数﹣ 左侧的点与数 右侧的点与数﹣1 与 1 的距离之和不小 3, 所以所求不等式解集为(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) (2)由绝对值的几何意义知,数轴上到 1 的距离与到 a 的距离之和大于等于 2 恒成立,则 1 与 a 之间的距离必大于等于 2,从而有 a∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) 点评: 本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想. 20. (15 分)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列. (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; (2)证明: .

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列递推式;数学归纳法. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)根据等差中项和等比中项的性质求得 an 和 bn 的关系式,分别求得 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,推测出它们的通项公式.先看当 n=1 时,等式明显成立;进而假设当 n=k 时,结论成立,推断出 ak 和 bk 的表达式,进而看当 n=k+1 时看结论是否成立即可. (2)先 n=1 时,不等式成立,进而看 n≥2 时利用(1)中的{an},{bn}的通项公式,以及裂 项法进行求和,证明题设. 2 解答: 解: (1)由条件得 2bn=an+an+1,an+1 =bnbn+1 由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 2 猜测 an=n(n+1) ,bn=(n+1) . 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. 2 ②假设当 n=k 时,结论成立,即 ak=k(k+1) ,bk=(k+1) , 那么当 n=k+1 时,ak+1=2bk﹣ak=2(k+1) ﹣k(k+1)=(k+1) (k+2) ,bk+1=
2 2

=(k+2)

. 所以当 n=k+1 时,结论也成立. 2 由①②,可知 an=n(n+1) ,bn=(n+1) 对一切正整数都成立. (2)证明: .

n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1) (2n+1)>2(n+1)n. 故 = = 综上,原不等式成立. 点评: 本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合 运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力. 21. (15 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
n+1

+(2﹣λ)2 (n∈N ) ,其中 λ>0.

n

*

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)根据条件构造等差数列,利用等差数列的通项公式即可求数列{an}的通项公 式; (Ⅱ)利用错位相减法即可求数列{an}的前 n 项和 Sn. n+1 n 解答: 解: (Ⅰ)由 an+1=λan+λ +(2﹣λ)2 (n∈N*) ,λ>0, 可得 = +1,

所以[

]﹣[

]=1,故{

}是以

为首项,公差 d=1 的等差数列, 故
n

=n﹣1,
n

则 an=(n﹣1)λ +2 . n n 故数列{an}的通项公式为 an=(n﹣1)λ +2 . 2 3 4 n﹣1 n (Ⅱ)设 Tn=λ +2λ +3λ +…+(n﹣2)λ +(n﹣1)λ ① 3 4 5 n n+1 λTn=λ +2λ +3λ +…+(n﹣2)λ +(n﹣1)λ .② 2 3 n 当 λ≠1 时,①式减去②式,得(1﹣λ)Tn=λ +λ +…+λ ﹣(n﹣1) λ
n+1

=



则 Tn=

=



则数列{an}的前 n 项和 Sn=

+2

n+1

﹣2,
n+1

当 λ=1 时,Tn=

.则数列{an}的前 n 项和 Sn=

.+2

﹣2.

点评: 本题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前 n 项和公式、数列求和, 要求熟练掌握构造法以及错位相减法在求解数列中的应用. 22. (15 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2)…(1+an) ,求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 ,求数列{bn}的前 n 项 Sn,并证明 .
2

考点: 等比关系的确定;数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 2 分析: (1)把点(an,an+1)代入函数式,整理得 an+1+1=(an+1) ,两边取对数整理得 ,进而判断{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列. (2)根据等比数列的通项公式求的数列{lg(1+an)}的通项公式,进而求的 an 代入到 Tn= (1+a1) (1+a2) (1+an)求的 Tn.

(3)把(2)求的 an 代入到

,用裂项法求和求得项

,又

,原式得证. 解答: 解: (Ⅰ)由已知 an+1=an +2an, 2 ∴an+1+1=(an+1) ∵a1=2 ∴an+1>1,两边取对数得 lg(1+an+1)=2lg(1+an) , 即 ∴{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1+an)=2 ∴ ∴ ∴Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)= (Ⅲ)∵an+1=an +2an ∴an+1=an(an+2) ∴
2 n﹣1 2

?lg(1+a1)=

=3

1+2+22

+…+2

n﹣1

=



又 ∴ ∴Sn=b1+b2+…+bn= ∵ ∴ =

又 ∴ .

点评: 本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题. 考查了学生对数列知识的综合 掌握.


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