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高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.3.1


阶 段 一

阶 段 三

2.3 2.3.1
阶 段 二

向量的坐标表示 平面向量基本定理
学 业 分 层 测 评

1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量的一组基底的含义.(重点) 2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量.(重点) 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 平面向量基本定理 阅读教材 P74~P75 第一自然段的内容,完成下列问题.
不共线 的向量,那么对于这一 1.定理:如果 e1,e2 是同一平面内两个_________
λ1e1+λ2e2 任一 向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=____________. 平面内的______

不共线 的向量 e1, 基底 . 2. 基底: _________ e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_____

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底.( (2)0 能与另外一个向量 a 构成基底.( (3)平面向量的基底不是唯一的.( ) ) )

【解析】

平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底,故 (2) 是错误

的.(1),(3)正确.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√

教材整理 2

平面向量的正交分解

阅读教材 P75 第二自然段的有关内容,完成下列问题.
λ1e1+λ2e2 的形式,我们称它 一个平面向量用一组基底 e1,e2 表示成 a=____________

分解 .当 e1,e2 所在直线互相______ 垂直 时,这种分解也称为向量 a 为向量 a 的______
的正交分解.

→ 3→ 如图 231,在△ABC 中,P 为 BC 边上一点,且BP=2PC.

图 231 → → → (1)用AB,AC为基底表示AP=________; → → → (2)用AB,PC为基底表示AP=________.

→ → → 【解析】 (1)∵AP=AB+BP, → 3→ 3→ → → → BP=2PC=5BC,BC=AC-AB, → → 3 → → 3 → 3→ 2→ 3 → ∴AP=AB+5BC=AB+5AC-5AB=5AB+5AC. → → → → 3→ (2)AP=AB+BP=AB+2PC. 2→ 3→ → 3→ 【答案】 5AB+5AC AB+2PC

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
基底的概念理解

设 e1,e2 是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能 作为基底的是________. ①e1+e2 和 e1-e2;②3e1-4e2 和 6e1-8e2;③e1+2e2 和 2e1+e2;④e1 和 e1 1 1 +e2;⑤2e1-5e2 和 e1-10e2. 【精彩点拨】 验证所给向量是否共线,若共线则不能构成基底.

1 【自主解答】 由题意, 知 e1, e2 不共线, 易知②中, 3e1-4e2=2(6e1-8e2), 即 3e1-4e2 与 6e1-8e2 共线,
? 1 ? 1 ∴②不能作基底.⑤中,2e1-5e2=2?e1-10e2?, ? ?

1 1 ∴2e1-5e2 与 e1-10e2 共线,不能作基底. 【答案】 ②⑤

向量的基底是指平面内不共线的向量,事实上,若 e1,e2 是 基底,则必有 e1≠0,e2≠0,且 e1 与 e2 不共线,如 0 与 e1,e1 与 2e1,e1+e2 与 2(e1+e2)等均不能构成基底.

[ 再练一题] 1.若向量 a,b 不共线,且 c=2a-b,d=3a-2b,试判断 c,d 能否作为 基底.

【解】 设存在实数 λ 使得 c=λd,则 2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ -1)b=0. 由于 a,b 不共线,从而 2-3λ=2λ-1=0,这样的 λ 是不存在的,从而 c, d 不共线,故 c,d 能作为基底.

用基底表示向量

如图 232 所示,设 M,N,P 是△ABC 三边上 → 1→ → 1→ → 1→ → → 的点,且BM=3BC,CN=3CA,AP=3AB,若AB=a,AC= → → → b,试用 a,b 将MN,NP,PM表示出来.
【精彩点拨】 → → → → 以AB,AC为基底表示向量MN,NP,

→ PM,注意三角形法则的应用.

图 232

【自主解答】

2 → → → 1→ 2 → 1 NP=AP-AN=3AB-3AC=3a-3b,

1→ 2→ 1 2 2 1 → → → MN=CN-CM=-3AC-3CB=-3b-3(a-b)=-3a+3b, → → → → 1 PM=-MP=-(MN+NP)=3(a+b).

1.若题目中已给出了基底,求解此类问题时,常利用向量 加法三角形法则或平行四边形法则, 结合数乘运算, 找到所求向 量与基底的关系. 2.若题目中没有给出基底,常结合已知条件先寻找一组从 同一点出发的两不共线向量作为基底,然后用上述方法求解.

[ 再练一题] 2.如图 233 所示,已知?ABCD 的边 BC,CD → → 上的中点分别为 K,L,且AK=e1,AL=e2,试用 e1, → → e2 表示BC,CD. 【导学号:06460051】

图 233

→ → 【解】 设AB=a,AD=b,则 1 ? → → → ? ?e2=b+2a, ?AL=AD+DL, 由? 得? → → → 1 ? ? e1=a+2b, ?AK=AB+BK, ?

2 ? ?a=3?2e1-e2?, ∴? ?b=2?2e2-e1?, 3 ? → → 2 ∴AB=-CD=3(2e1-e2), 4 → 2 ∴CD=3e2-3e1; 2 → → 4 BC=AD=3e2-3e1.

[ 探究共研型]
平面向量基本定理与向量共线 定理的应用
探究 1 平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗? 【提示】 是的. 探究 2 若 e1,e2 不共线,且 λe1+μe2=0,则 λ,μ 满足什么关系? 【提示】 λ=μ=0.

如图 234,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,N 在 AC 上上且 AN =2NC,AM 与 BN 交于点 P,求 AP∶PM 的值.

图 234 → → → → → → → → 【精彩点拨】 选取基底AB, AC→表示AM, BN→设AP=λAM, BP=μBN→

→ → → 由AB=AP+PB求 λ,μ 的值.

【自主解答】

→ → 设AB=a,AC=b,

2 → 1 → 则AM=2(a+b),BN=-a+3b. → → ∵A,P,M 共线,∴设AP=λAM, → λ ∴AP=2(a+b), → → 同理设BP=μBN, 2 → ∴BP=-μa+3μb. → → → ∵AB=AP+PB,

? 2 ? λ ∴a=2(a+b)-?-μa+3μb?, ? ? ? ? ?λ 2 ? λ ∴?1-2-μ?a=?2-3μ?b. ? ? ? ?

?λ ?2+μ=1, ∵a 与 b 不共线,∴? ?λ =2μ, ?2 3 4 3 ∴λ=5,μ=5, → 4 → → 3→ ∴AP=5AM,BP=5BN, ∴AP∶PM=4∶1.

1.充分挖掘题目中的有利条件,本题中两次使用三点共线, 注意方程思想的应用. 2.用基底表示向量也是用向量解决问题的基础,应根据条 件灵活应用,熟练掌握.

[ 再练一题] 3.如图 235,平行四边形 ABCD 中,H 为 CD 的中点,且 AH 与 BD 交于 I,求 AI∶IH 的值.

图 235

【解】

→ → 设AB=a,AD=b,

→ 1 → 则AH=2a+b,DB=a-b. → → → → 设AI =λAH,DI=μDB,
? λ → ?1 ∴AI =λ?2a+b?=2a+λb, ? ?

→ → → 又AI =AD+DI=b+μ(a-b)=μa+(1-μ)b, λ ? ? =μ, 3 2 2 故? ∴2λ=1,∴λ=3. ? ?λ=1-μ, ∴AI∶IH=2∶1.

[ 构建· 体系]

1.对于下列说法中: ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底; ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底; ③零向量不可作为基底中的向量. 其中正确的说法是________.

【解析】 由平面向量基本定理直接就可推知②③正确. 【答案】 ②③

→ 2. 如图 236 所示, △ABC 中, 若 D, E, F 依次是 AB 的四等分点, 则以CB → → =e1,CA=e2 为基底时,CF=________.

图 236

→ → → 【解析】 CB=e1,CA=e2,∴AB=e1-e2. → 3→ → 3 ∵AF= AB,∴AF= (e1-e2), 4 4 3 3 1 → → → ∴CF=CA+AF=e2+ (e1-e2)= e1+ e2. 4 4 4 3 1 【答案】 e+ e 4 1 4 2

3.向量 a 在基底{e1,e2}下可以表示为 a=2e1+3e2,若 a 在基底{e1+e2, e1-e2}下可表示为 a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则 λ=________,μ=________.
【解析】
? ?λ+μ=2, 由条件可知? ? ?λ-μ=3,

? 5 ?λ=2, 解得? ?μ=-1. 2 ?
【答案】 5 2 1 - 2

→ → 4.设一直线上三点 A,B,P 满足AP=mPB(m≠-1),O 是直线所在平面内 → → → 一点,则OP用OA,OB表示为________. 【导学号:06460052】
→ → → → → → 【解析】 由AP=mPB,得OP-OA=m(OB-OP), → → → → → → → OA+mOB ∴OP+mOP=OA+mOB,∴OP= 1+m 1 → m → = OA+ OB. m+1 1+m

1 → m → → 【答案】 OP= OA+ OB m+1 1+m

→ → → 5.已知 G 为△ABC 的重心,设AB=a,AC=b.试用 a,b 表示向量AG.

【解】 连结 AG 并延长,交 BC 于点 D,则 D 为 BC 的中点, → 2→ 2 → → AG= AD= (AB+BD) 3 3
? 2? ?→ 1→? = ?AB+2BC? 3? ?

2→ 1 → = AB+ BC 3 3 2→ 1 → → = AB+ (AC-AB) 3 3 1→ 1 → 1 1 = AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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