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高中数学22向量的分解与向量的坐标运算223用平面向量坐标表示向量共线条件课后导练新人教B版4!

2.2.3

用平面向量坐标表示向量共线条件
课后导练

基础达标 1.下列各组向量中,不能作为表示平面内所有向量基底的一组是( ) A.a=(-1,2),b=(0,5) B.a=(1,2),b=(2,1) C.a=(2,-1),b=(3,4) D.a=(-2,1),b=(4,-2) 解析:我们把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.D 中两个向量共 线,故不能作为一组基底. 答案:D 2.以下命题错误的是( ) A.若 i、j 分别是与平面直角坐标系中 x 轴、y 轴同向的单位向量,则|i+j|=|i-j| B.若 a∥b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则必有

x1 x 2 ? y1 y 2

C.零向量的坐标表示为(0,0) D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 解析:对 B 选项,两个向量中,若有与坐标轴共线的向量或零向量,则坐标不应写成比例式. 答案:B 3.已知 a=(1,2) ,b=(x,1).若(a+2b)∥(2a-b) ,则 x 的值是( ) A.2 B.1 C.

1 2

D. ?

1 2

解析:a+2b=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4) ,2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3). ∵(a+2b)∥(2a-b), ∴3(1+2x)-4(2-x)=0. 解得 x= 答案:C 4.如右图, AC =-3 CB ,且 OA =a, OB =b, OC =c,则下列等式成立的是( )

1 . 2

A.c=-

1 3 a+ b 2 2

B.c=-a+2b C.c=-b+2a D.c=

3 1 a+ b 2 2

解析:由 OC = OA + AC = OA -3 CB ,
1

即 c=a-3(b-c),c=a-3b+3c. ∴c= ?

1 3 a+ b. 2 2
)

答案:A 5.下列所给向量共线的有( A.(1,5),(5,-5) B.(2,-3),(

1 3 ,? ) 2 4
1 ) 2

C.(1,0),(0,1) D.(1,-3),(8,

解析:本题考查平面向量共线的条件,只需将所给坐标代入公式,看“x1y2-x2y1=0”是否成立 即可. 答案:B 6.与 a=(12,5)平行的单位向量为( )

12 5 ,? ) 13 13 12 5 B.( ? ,? ) 13 13 12 5 12 5 C.( , )或( ? ,? ) 13 13 13 13 12 5 D.(± ,± ) 13 13
A.( 解析:利用平行与单位向量两个条件即可求得. 答案:C 7.已知 A、 B、 C 三点共线,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点横坐标为 6,则 C 点的纵坐标为( A.-13 B.9 C.-9 D.13 解析:设 C(6,y),则 AB ∥ AC . 又 AB =(-8,8), AC =(3,y+6), ∴-8(y+6)-3×8=0.∴y=-9. 答案:C 8.已知 a=(3,2) ,b=(2,-1) ,若 λ a+b 与 a+λ b(λ ∈R)平行,则 λ =_________. 解析:λ a+b=λ (3,2)+(2,-1)=(3λ +2,2λ -1), a+λ b=(3,2)+λ (2,-1)=(3+2λ ,2-λ ), ∵(λ a+b)∥(a+λ b), 2 ∴(3λ +2)(2-λ )-(3+2λ )(2λ -1)=0,即 7λ =7. ∴λ =1 或-1. 答案:1 或-1 综合运用 9.(2006 全国高考卷Ⅱ,1) 已知向量 a=(4,2),向量 b=(x,3),且 a∥b,则 x 等于( ) A.9 B.6 C.5 D.3

)

2

解析:∵a∥b ?

x 3 = ? x=6,∴选 B. 4 2

答案:B 10.(2006 辽宁高考 ,9) △ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c. 设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若 p∥q,则角 C 的大小为( ) A.

解析:p∥q,∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0 ? c -a =b -ab,则 a +b -c =ab,
2 2 2 2 2 2

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? 则 cosC= = , 2ab 2ab 2
又∵C∈(0,π ), ∴C=

? . 3

故选 B. 答案:B 11.向量 PA =(k,12), PB =(4,5), PC =(10,k),当 k 为何值时,A、B、C 三点共线? 解: BA = PA - PB =(k,12)-(4,5)=(k-4,7),

CA = PA - PC =(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k).
∵A、B、C 共线, ∴ BA ∥ CA ,即(k-4)(12-k)-7(k-10)=0. 整理得 k -9k-22=0, ∴k=-2 或 k=11. ∴当 k=-2 或 11 时,A、B、C 三点共线. 拓展探究 12.如图,已知 ABCD 是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求证: AF=AE.
2

证明:以正方形 ABCD 的边 DC 所在的直线为 x 轴,以点 C 为坐标原点建立直角坐标系,设正 方形的边长为 1,则点 A、B 的坐标分别为 A(-1,1) 、B(0,1).又设点 E 的坐标为(x,y), 则 BE =(x,y-1), AC =(1,-1). ∵ BE ∥ AC , ∴x(-1)-1·(y-1)=0, 即 x+y=1.①

3

又 CE=AC, 2 2 ∴x +y =2.② ∵点 E 在 y 轴右侧, ∴由①②得点 E 的坐标为(

1? 3 1? 3 ). , 2 2

∴|AE|= (

1? 3 1? 3 ? 1) 2 ? ( ? 1) 2 ? 3 ? 1. 2 2

再设点 F 的坐标为(x′,1),则 CF =(x′,1). 又 CE =(

1? 3 1? 3 )且 CF ∥ CE , , 2 2



1? 3 1? 3 x′·1=0. 2 2

∴x′=-2- 3 . ∴F(-2- 3 ,1). 从而|AF|=|-1-(-2- 3 )|= 3 +1. ∴AF=AE.

4


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