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吉林省白山市第一中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

高二下学期期末考试数学(文)试题
一.选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求) .... 1. 若复数 1 ? i 、? 2 ? i 、3 ? 2 i 在复平面上的对应点分别为 A 、B 、 BC 的中点 D , C, 则向量 AD 对应的复数是( A.
3 2 ? 3 2 5 2 ? 5 2 i i

) B.
1 2 ? 1 2 3 2 ? 3 2
x

i i

C. ?

D. ?

2 . 已 知 全 集 U=R , 集 合 A ? { y | y ? l o g 3 x , x ? 3} , B ? { y | y ? 3 , x ? 1} , 则
A ? (U B )= (
1 3
1 3



A. { y | 0 ? y ?

}

B. { y | 1 ? y ? 3}

C. { y |

? y ? 1}

D. { y | y ? 1}

3.命题“存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( )
3 2

A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

D.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

4. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (2, , P (? ? c ? 1) ? P (? ? c ? 1) , c ?( 9) 若 则 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 )



5.下边为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为(

A. i ? 20 C. i ?? 20

B. i ? 20 D. i ?? 20
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6.某公司新招聘 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人 员不能分在同一部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门,则不同的分配方 案共有( ) A. 24 种 B. 36 种 C. 38 种 D. 108 种 7.设函数 f ( x ) ? f ( ) lg x ? 1
x 1 10 1

,则 f (1 0 ) 的值为( )

A. 1
2

B. ? 1

C. 1 0

D.

8.若方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是( ) A.a<-1 B.a>1 C.-1<a<1 D.0≤a<1 9.从 1,2,??,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的 概率是( ) A.
5 9
11 21
? 10.二项式 ? ?

B.

4 9
10 21
2 ? a ? ? 3 a ?
30

C.

D.

的展开式的常数项为第( B. 18 D. 20
x
2 2

)项

A. 17 C. 19 11.已知点 P 是双曲线
? y b
2 2

a

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 右支上一点, F 1 , F 2 分别为双曲线的

左、右焦点,I 为 ? PF 1 F 2 的内心, S ? IPF ? S ? IPF ? ? S ? IF F 成立。 ? 的值为( 若 则
1 2 1 2



A.
b a

a ?b
2

2

B.
2

a a ?b
2

2a

C.

D.

a b

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x ) 的大致图象如图所示,则下列结论 一定正确的是

A. f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) C. f ( c ) ? f ( b ) ? fa )

B. f ( b ) ? f ( a ) ? f ( e ) D. f ( c ) ? f ( e ) ? f ( d )

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f ( x ) ? 2 e ? mx
x

(其中 e ? 2 . 718 ? )在区间 ?? 1, 0 ? 上单调递减,

则实数 m 的取值范围为 14. ( a ? x )( 1 ?
x)
5


2

的展开式中 x 项的系数是 15,则 a 的值为



15.执行下边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ? _________.

16. 把数列 ?

? 1 ? ? 的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所示的数表,第 ? 2n ?

k 行有 2

k ?1

个数,第 k 行的第 s 个数(从左数起)记为 ? k , s ? ,则

1 2012

可记为

第 3 页 共 3 页

_________.

三.解答题
* 17(12 分) .已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 ,且 5 a n ? 1 ? 2 a n a n ? 1 ? 3 a n ? 8 ( m ? N )



(Ⅰ)求 a 2 , a 3 , a 4 的值; (Ⅱ)猜想 ?a n ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想。

18(12 分) .在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中, 有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ? ? x ? 2 ? y ? x . ... (Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

19.(12 分) 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°, PA=AB=BC, E 是 PC 的中点。

(1)求证:CD⊥AE; (2)求证:PD⊥面 ABE。

20(12 分) .已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

,并且直线 y ? x ? b

是抛物线 y ? 4 x 的一条切线。
2

(1)求椭圆的方程 (2)过点 S ( 0 , ? ) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在直角坐标平面上是否
3 1

存在一个定点 T ,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在求出 T 的坐标;若不存在, 说明理由。

21(12 分) .已知函数 f ( x ) ? x ln x
4 f (x) x

, g (x) ? x ? 6 x ? 2
2



(Ⅰ)求函数 y ?

? g (x)

的单调递增区间;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?t , t ? 2 ? ( t ? 0 ) 上的最小值;
1 e
x

(Ⅲ)试判断方程 ln x ?

?

2 ex

(其中 e ? 2 . 718 ? )是否有实数解?并说明理由。

四.请在 22,23,24 三题中任选一题作答

22. (10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 四边形 A B C D 内接于 ? O ,A B ? A D , A 点的切线交 C B 的延长线于 E 点。 过 求证: A B 2 ? B E ? C D 。

23. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,极点为 O ,已知曲线 C 1 : ? ? 2 与曲线 C 2 : ? s in (? ? 不同的两点 A , B . (1)求 A B 的值; (2)求过点 C (1, 0 ) 且与直线 A B 平行的直线 l 的极坐标方程.
?
4 )? 2 , 交于

24. (10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)若 | a |? 1, | b |? 1, 比较 | a ? b | ? | a ? b | 与 2 的大小,并说明理由;
a x
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(Ⅱ)设 m 是 | a |, | b | 和 1 中最大的一个,当 | x | ? m 时 , 求证 :|

?

b x
2

|? 2 .

参考答案

16. (10,495) 17. (Ⅰ) a 2
? 5 3

,

a3 ?

9 5

,

a4 ?

13 7

(Ⅱ) a n

?

4n ? 3 2n ? 1

(n ?

N

*

),证明略

18. (Ⅰ)随机变量 ? 的最大值为 3 ,

2 9

(Ⅱ)分布列见解析,数学期望为

14 9

19. (1)要证明线线垂直,则只要根据线面垂直的性质定理可以证明。 (2)对于线面垂直的证明,一般先证明线线垂直,然后结合线面垂直的判定定 理得到,关键是证明 AE⊥PD 和 BA⊥PD。 20. (1)所求椭圆方程为
x
2

? y ?1
2

2

(2)在直角坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件
1 ? t ln t , t ? , ? ? e (x) ? ? ? ? 1 ,0 ? t ? 1 . ? e e ?

21. (Ⅰ) ( 0 ,1) 和 ( 2 , ?? ) (Ⅱ)

f min

(Ⅲ)没有。

22.证明:连接 A C ,
?
EA

切?

O

于A ,

? ?EAB ? ?ACB ,
第 7 页 共 7 页

又 AB

? AD

? ?ACD ? ?ACB ? ?EAB ? ?ACD

又四边形 A B C D 内接于 ?
? ?ABE ? ?D ? ?ABE ∽?CAD ?
AB CD ? BE DA

O



,即 A B ? D A ? B E ? C D ,又 A B

? AD

? AB 2 ? BE ? CD

24. (Ⅰ) | a
? b | ? | a ? b |? 2 .

(Ⅱ)因为 | 又

x | ? m ? | b | 且 | x | ? m ? 1, 所以 | x

2

|? | b | .


a x ? b x
2


? |b | |x|
2

| x | ? m ? | a |, 所以 |

|? |

a x

|? |

b x
2

|?

|a | |x|

?

|x| |x|

?

|x| |x|

2 2

? 2,

故原不等式成立.

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