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新课程下初高中数学学习的衔接


新课程下初高中数学学习的衔接

第二师华山中学

陈学阳

E-mail:chenxy@bhsedu.net.cn

一个案例:陶哲轩的学习 历程
陶哲轩,澳大利亚的华裔天才数学家, 2006年菲尔兹奖获得者。在陶哲轩5岁时, 澳大利亚的一所公立学校的校长,答应为陶 哲轩提供灵活的教育方案,刚进校和二年级 孩子一起学习大多数课程,数学课则和五年 级的孩子一起上,7岁时开始自学微积分, 于是校长说服一所中学的校长,让陶哲轩每 天去中学听一两堂数学课。10岁,陶哲轩有 三分之一时间在弗林德斯大学度过,修大学 二年级的数学、一年级的物理,余下的时间 在高中学12年级的化学,11年级的地理和拉 丁文,10年级的法语和社会学,墨尔本大学 的卓越数学教育中心主任GarthGaudry教授 每周三的下午都和他会面,讨论数学问题。

一、高中教师如何指导学生做好初高中数学学习 的衔接
首先要了解初中学生的基本情况,包括认知基础、学 习方式、对数学的学习态度和学习习惯,还应了解初中教 师的教学方式、教学要求等各个方面。

(一)、新课改下的高一学生 总体概况 (二)、一份数学学情调查表的分 析 (三)、初高中的衔接教学的一些 尝试与想法 (四)、衔接教学中的难点与困惑

一、新课改下的高一新生总体概况
?综合素质高,组织能力强 ?自信心十足,交往能力强

?探究、合作、实践能力尤为突出
?形象思维优于抽象思维和逻辑思维 ?具有丰富的学科知识,缺乏严谨的知识体系

表31:学生对学习的看法
选答项 区内学校 区外学校 取得好成绩 发展自我 26.40% 26.30% 满足家长和 获得名次 展现自己个性 不知道为什么 老师心愿 、奖励 45.10% 5.70% 2.80% 7.90% 3.30% 40.20% 9.90% 7.80% 9.30% 1.20%

表32:学生在学习中阅读课外书的情况

选答项 小学 中学

经常阅读 44.80% 18.10%

有时阅读 38.00% 46.80%

偶尔阅读 15.50% 32.40%

从不阅读 1.70% 2.70%

表34:学生在学习中帮助其他同学的情况
选答项 区内学校 区外学校 经常帮助 有时帮助 偶尔帮助 22.30% 54.00% 21.20% 19.80% 51.10% 26.00%

从不帮助
2.50% 3.10%

表35:学生在学习中与老师交流的情况

选答项 经常交流 有时交流 偶尔交流 从不交流 区内学校 25.60% 38.60% 31.20% 4.60% 区外学校 16.40% 41.80% 36.20% 5.60%

表36:学生和任课教师之间的关系

选答项 区内学校 区外学校

非常融洽 38.30% 27.60%

比较融洽 35.40% 36.80%

一般 22.20% 31.00%

不太融洽 4.10% 4.60%

表37:学生和同学之间的关系

选答项 区内学校 区外学校

非常融洽 38.30% 27.60%

比较融洽 35.40% 36.80%

一般 22.20% 31.00%

不太融洽 4.10% 4.60%

二、一份数学学情调查表
华山中学高一新生数学学习情况调查表
欢迎你成为华山的一员!为了很好地促进你高中数学的学习,我们设计了一份新生数学学情调查表。调查表以不记名的形式填写,但你的回答对我们的分 析很重要,因此希望你能认真、独立、如实地填写。谢谢合作! 性别:男 □ 女 □ (请在□内打√) 你对自身数学水平的评价:好 □ 一般 □ 差 □ (请在□内打√) 一、单选题 1.你对数学这门课的喜欢程度 ( ) A.很喜欢 B.一般 C.不喜欢 2.学习初中数学,你的预习习惯是 ( ) A.经常自觉预习 B.偶而预习 C.老师要求才预习 D.从不预习 3.在数学课堂上,你参与讨论或回答问题 ( ) A.积极主动 B.视课堂气氛而定 C.视问题难易而定 D.从不参与 4.平时对待数学作业,你的态度是 ( ) A.独立完成 B.常与同学讨论完成 C.偶而抄袭完成 5.你对做错的数学题目,一般会 ( ) A.记录并及时订正 B.不记录,但会及时订正 C.偶而会订正 D.从不订正 6.你对不会做的数学题目,经常是 ( ) A.请教老师 B.问同学 C.找参考书 D.放弃 7.对当天所学数学内容进行及时复习的做法,你会 ( ) A.每天坚持 B.看时间而定 C.看内容而定 D.从不进行 8.每章学完,进行知识梳理、解题方法归纳的做法,你会 ( ) A.常自觉进行 B.在老师指导下进行 C.偶尔进行 D.从不进行 9.在这个暑假里,你对高一数学新课内容的预习情况是 ( ) A.预习过一些 B.预习过高一数学必修1 C.预习过高一数学必修1与2 D.尚未进行预习 二、多选题 10.你对以下列举的初中数学中没有掌握(或未学过)的知识有 ( ) A.一元二次方程的解法 B.十字相乘法 C.韦达定理 D.二次函数的图象与性质 E.分式的加、减、乘、除 F.幂的运算 G.二次根式的运算 H.射影定理 I.分母有理化 J.一元二次不等式的解法 11.你比较擅长的数学方法与数学能力有 ( ) A.配方法 B.换元法 C.公式法 D.待定系数法 E.排除法 F.自学能力 G.解题能力(数学竞赛) H.撰写数学小论文 I.计算机作图能力 J.上网查阅资料的能力 K.数学知识应用能力 L.其他______________________ 三、问答题 12.你所期望的高中数学课堂应该是怎样的?

13.你喜欢怎样的高中数学教师?

1.你对数学这门课的喜欢程度 A.很喜欢 B.一般 C.不喜欢





很喜欢的占37.2%,不喜欢的占3.2%。成绩差的 同学很喜欢数学的占4.3%,不喜欢数学的占4.6%, 成绩好的同学很喜欢数学的占73.1%,不喜欢数学的 占0%。女生中成绩差的同学不喜欢数学的占34.3%, 男生中成绩差的同学不喜欢数学的占14.7%。

2.初中数学学习中,你预习情况是(
A.经常自觉预习 C.老师要求才预习 B.偶而预习 D.从不预习



经常自觉预习的占16.8%,从不预习的占 8.7%,偶尔预习的占51.6%,在老师要求下才预 习的占22.2%;成绩差的学生中经常自觉预习的 占5.8%,从不预习的占18.8%,在老师要求下才 预习的占24.6%;成绩好的学生中经常自觉预习 的占24.2%,从不预习的占10.7%,在老师要求下 才预习的占16.1%;女生中成绩好的同学经常自 觉预习的占31.4%,男生中成绩差的同学经常自 觉预习的占0%,从不预习的占20.6%。

3.在数学课堂上,你参与讨论或回答问题
A.积极主动 C.视问题难易而定





B.视课堂气氛而定 D.从不参与

积极主动的占17.3%,从不参与的占6.3%,视课堂气氛而定 的占42.8%,视问题难易而定的占33.5%,成绩差的学生中积极 主动的占5.8%,从不参与的占20.3%,视课堂气氛而定的占29%, 视问题难易而定的占43.5%;成绩一般的同学中积极主动的占 15.5%,从不参与的占5.3%,视课堂气氛而定的占44.6%,视问 题难易而定的占34.6%;成绩好的同学中积极主动的占30.2%, 从不参与的占4.0%,视课堂气氛而定的占41.6%,视问题难易而 定的占24.2%;女生中成绩好的积极主动的占27.5%,从不参与 的占0%;女生中成绩差同学中积极主动的占0%,从不参与的占 20%。男生参与度略高于女生参与度 。

4.平时对待数学作业,你的态度是 A.独立完成





B.常与同学讨论完成 C.偶而抄袭完成

独立完成的占68.9%,偶尔抄袭的占5.6%。成 绩差的同学中独立完成的占36.2%,偶尔抄袭的占 17.4%;成绩好的同学中独立完成的占87.9%。成绩 差的男生中偶尔抄袭的占29.4%,大大超过女生的 比例。

5.你对做错的数学题目,一般会 A.记录并及时订正 C.偶而会订正





B.不记录,但会及时订正 D.从不订正

能 及 时 订 正 的 占 93.9% , 但 记 录 并 订 正 的 为 13.2%,从不订正的占0.6%。成绩差的同学中能及时 订正的占85.5%,从不订正的占1.4%;成绩一般和成 绩差的女生中从不订正的占0%;成绩差的男生中从 不订正的占2.9%。

6.你对不会做的数学题目,经常是
A.请教老师 B.问同学




D.放弃

C.找参考书

主动解决的占96.6%,其中问老师的占31%,问 同学的占60.5%,找参考书的占5.1%,放弃的占 3.4%。成绩差的学生中采取放弃的占11.6%,问同 学的占69.6%,成绩好的学生中采取问老师的占 42.3%。成绩好的男生采取问老师的比例要高于相 应女生的比例。成绩差的男生中采取放弃的比例达 14.7%。

7.对当天所学数学内容进行及时复习的做法,你会 ( A.每天坚持 C.看内容而定 B.看时间而定 D.从不进行



每天坚持的占6.4%,从不进行的占9.6%。成 绩差的学生中从不进行的占15.9%,此项调查发现 男生从不进行的所占的比例远远高于女生的比例。

8.每章学完,进行知识梳理、解题方法归纳的做法,你会( ) A.常自觉进行 C.偶尔进行 B.在老师指导下进行 D.从不进行

常自觉进行的占12.1%,在教师指导下进行的占 47.8%,从不进行的占10.3%。成绩差的学生中从不 进行的占20.3%(其中女生占25.7%)。在老师指导 下进行知识梳理的比远远高于自觉进行的比例。

9.在这个暑假里,你对高一数学新课内容的预习情况是(
A.预习过一些 B.预习完高一数学必修1 D.尚未进行预习



C.预习完高一数学必修1与2

预习过一些内容的占64.3%,预习完一册的占 16.3%,预习完两册的占3.6%,尚未预习的占15.7%。 成绩差的学生中预习过一些内容的占66.7%,预习完 一册的占5.8%,尚未预习的占21.7%。成绩好中预习 过一些内容的占59.1%,预习完一册的占24.2%,尚未 预习的占15.4%。成绩好的女生预习情况不如成绩一 般和成绩差的女生,比例分别为58.8%、70.6%、 77.1%。成绩差的男生尚未预习的比例最高,达26.5%。

10.你对以下列举的初中数学中没有掌握(或未学过)的知识 有 ( )
A.一元二次方程的解法 B.十字相乘法 C.韦达定理 D.二次函数的图象与性质 E.分式的加、减、乘、除 F.幂的运算 G.二次根式的运算 H.射影定理 I.分母有理化 J.一元二次不等式的解法

“一元二次方程的解法”占2.8%,“十字相乘法” 占42.3%,“韦达定理”占34.4%,“二次函数的图 象与性质”占12%,“分式的加、减、乘、除”占 3.6%,“幂的运算”占32.1%,“二次根式的运算” 占39.3%,“射影定理”占62.9%,“分母有理化” 占41.7%,“一元二次不等式的解法”占8.9%。

11.你比较擅长的数学方法与数学能力有 (



A.配方法 B.换元法 C.公式法 D.待定系数法 E.排除法 F.自学能力 G.解题能力(数学竞赛) H.撰写数学小论文 I.计算机作图能力 J.上网查阅资料的能力 K.数学知识应用能力

“配方法”占70.3%,“换元法”占39.9%,“公 式法”占67.4%,“待定系数法”占14%,“排除法” 占56%,“自学能力”占29.2%。“解题能力”占 12.8%,“撰写数学小论文”占1.5%,“计算机作图 能力”占2.7%,“上网查阅资料的能力”占22.5%, “数学知识应用能力”占18.7%。

初中毕业生数学学科学习情况的评价

◆对数学学习有热情,但总体缺少激情。 ◆具有独立完成作业、及时解决问题等良好习惯。 ◆男生的自信心高于女生,女生的习惯好于男生。 ◆计算能力、书面表达能力比较薄弱。 ◆学习途径不够丰富。 ◆初中数学教学要求不一致,学生对知识的了解参

差不齐。
◆教师的指导作用不容忽视。

◆良好的课堂教学氛围有利于数学教学的有效实施。

三、对初高中衔接教学的一些尝试与想法

?做好教学前期准备工作

?做好三个衔接教学

做好教学前期准备工作 ?研读初高中的数学课程标准,形成新理念

学习初中课标,观摩初中课堂,了解教材知 识体系,做好初高中数学课程标准要求的衔接
?编写衔接课程资料和导学案,做好学法引导
?《华山中学20**级新高一数学衔接课程》 ?《华山中学20**级新高一数学导学案》 ?《华山中学20**级新高一数学学法讲座》

华山中学《衔接课程》案例 第二讲 【典例示范】已知 x =
3? 2 3? 2

根式化简与有理化
3 ? 2 ,求代数式 3x 2 3? 2

y=

? 5 xy ? 3 y 2 的值.

分析:首先利用分母有理化的方法,将 x, y 进行化简,化去分母中的根号:
2 ( 3 ? 2) 5?2 6 x? ? ? 5?2 6 , ( 3 ? 2)( 3 ? 2) 3 ? 2

同理 y = 5 ? 2 6 . ∴x + y = 10 , xy = 1, 解:原式= 3 x ? y ) ? 5 xy ? 3( x ? y ) ? 11 xy ? 3 ? 10 ? 11 ? 1 ? 289 . (
2 2 2 2

【典例示范】计算

2? 2 1? 2 ? 3 ? 6

解:原式=

( 2 ?1 2 ) 2 ( 3 ?1 2 ) ? ? ? 3 ?1 ( ? 2) ( ? 2) ( ? 2)( ? 3) 1 ? 3 1 ? 31 1 1
=

( 2 ?1 2 )

6? 2 2

【想一想】上述两例采用了什么技巧能将公母的二次根式化简为整式? 【练习】 1.已知: y ? 1 ? 8 x ? 8 x ? 1 ?

1 x y , 求代数式 ? ?2? 2 y x

x y ? ? 2的值. y x

( ) ( )( ? 2 2 ; 5 ) 2.计算:(1) 5 ? 2 2 ? 5 ? 2 2
2

( (2) 5 ? 2) (2 ? 5)
2005

2006

(3)

2? 6 2? 3
2 2

2 3.已知 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 ,求 4 x ? 12 x ? 9 ? 1 ? 4 x ? 4 x 的值.

4.已知 x ( x ? 2 y ) ?

y (6 x ? 5 y ), 求 :

x ? xy ? y 2 x ? xy ? 3 y

的值

华山中学衔接课程检测案例 1.若二次函数 y ? ax 2 ? bx ? 1 的图象与平行于 x 轴的直线交于两点,这两点的横坐标分别 为 m, n ,则当 x ? m ? n 时, y 等于 A.2 B.2 C.-1 D.0 ( )

2.为了调查某一路口某时段的汽车流量,记录了 15 天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中 有 2 天是 142 辆,2 天是 145 辆.6 天是 156 辆,5 天是 157 辆,那么这 15 天在该时段通过该路 口的汽车平均辆数为 ( ) A.146 B.150 C.153 D.600 ; ; 3.已知抛物线的解析式为 y ? 2( x ? 1)2 ? 3 ,则这条抛物线的顶点坐标为 4.写出四个既是轴对称图形,又是中心对称图形的几何图形名称: ① ② ;③ ;④ ; 5.函数 y ?

x ?1 中, 自变量 x 的取值范围是 2? x

;

6.某建筑物 BC 直立于水平地面上, AC=12 米,∠A=30°, 要建造阶梯 AB, 使每个台阶高不超 过 20 厘米,则此阶梯最少要建 计算; 3 取 1.732). 7.先化简再求值: ( 个台阶(最后一个台阶不足 20 厘米时,按一个台阶

1 2 1 ? 2 ) ? (1 ? ) ,其中 x ? ?3.5 x x x
D, 过

8.如图:以 RtΔ ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O,与斜边 AC 交于点 点 D 作⊙O 的切线交 BC 边于点 E. (I)求证:EB=EC=ED; (II)试问在线段 DC 上是否存在点 F,满足 BC =4DF·DC.若存在,作出点 F,并予以证明; 若不存在,请说明理由.
2

《华山中学高一导学案》案例 第一节 集合的概念 【课标知识要点解读】 1.理解集合的概念,明确元素和集合的关系,会正确使用” ? ”与”? ” 2.掌握集合的表示方法,理解有限集、无限集和空集的概念. 3.掌握常用数集的字母表示,理解集合元素的三大特征:确定性、互异 性和无序性. 【课前预习练一练】 1.下列各组的对象能构成集合的是 (1)所有好人; (2)所有大于 0 的负数; (3)所有余高高一的新生; (4)所有正偶数; (5)方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 在实数集内的解.
2

2.方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集可表示为
2

.

方程组 ?

?2 x ? 3 y ? 13 的解集可表示为 ?3x ? 2 y ? 0

.

3.用列举法表示集合 A ? {x | x ?

p , p ? q ? 5, p ? N , q ? N * } . q
y xy x z xyz ? ? ? ? 的所有 x y z xy xyz

4.设 x, y, z 都是非零实数,试将

可能的值构成的集合用列举法表示出来.

【课堂辨析想一想】 5.已知 A ? {a ? 2,2a ? 5a,12} ,且 ? 3 ? A ,则 a ? ?1 或 a ? ?
2

3 ,对 2

不对?为什么?

做好三个衔接教学

?遵循学生认知规律,做好知识衔接
?从学习习惯养成入手,做好学法衔接

?以新课程改革为指向,做好教法衔接

遵循学生认知规律,做好知识衔接 ?强调“三点一线” ?突出重点 ?突破难点

?做好衔接点
?梳理知识主线 ?策略——充分利用导学案,发挥学生探究 能力强的优势,在学生原有知识基础之上主 动建构新的知识体系。

从学习习惯养成入手,做好学法衔接

一、高一新生军训期间,利用晚自习进行住校 生良好学习方法和学习习惯的养成教育。
二、做好“二本三习” ?“二本”——作业本与错题本

?“三习”——预习、练习、复习

指导学生做章节梳理的案例: 1.本章节之前你已有的知识是: 2.本章节你新学知识是: 3.我认为的难点是: 4.典型例题:

?知识结点:
?解题方法: ?变式拓展: 5.知识结构图(思维导图): 6.收获与感悟:

章节复习案例:
集合交集、并集主干知识梳理: 1 集合 A 和集合 B 中 2. A ? B 3. 4. A ? B 的集合叫 A 与 B 的 ,其符号表示为 A ? B . . . .

B ? A (填 ?, ? ), A ? A ?

, A ?? ?

所组成的集合叫集合 A 与 B 的并集,记作:

B ? A (填 ?, ? ), A ? A ?
交集: A ? B ? { 并集: A ? B ? {

, A ?? ?

5.根据预习情况,口述下列图表填空: } }

集合运算 补集: CU A ? { 运算性质 }

以高中新课程改革为指向,做好教法衔接
——以新课程改革为契机促进高中数学教学创新

?从注重学生的外在变化转向注重学生的内在发展; ?从强调学生学习的结果转向强调学习的过程;

总体目标:努力营造民主、高效、 和谐、平等、对话的课堂学习氛 围

?从单纯的教师的教转向师生共同活动且以学生探究
为主的学; ?从封闭的教学组织形式转向开放的教学组织形式。

四、衔接教学中的难点与困惑
?高中教师教学观念与教学方式的转变 ?有效教学时间的高效利用 ?初、高中如何最优衔接教学

二、对初中教师的一些不成熟的建议
初中学生升入高中将面临三大跨度: ?知识台阶的跨度 ?学习方法与思维方式的跨度 ?教学要求与教学方式的跨度 1、有机会听一听高中数学课

2、研究实验班招生试卷,浏览高一期中期末试题
3、对高中数学学习重要的内容予以足够的重视。

案例
一、(实验班招生试题)问题情境:已知矩形的面积为(为常数,)当 该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?

数学模型:设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系为y=2(x+a/x) (x>0)
请你探索研究:(1)先探索上述函数简单的情形,探索函数y=x+1/x (x>0)的图像性质,填写下表,并画出函数的图像。

(2)在求二次函数的最大(小)值时,除了通过图像观察,还可以通过 配方得到,请你通过配方求函数y=x+1/x (x>0)的最小值。
(3)由此,请你用上述方法解决“问题情境”中的问题。 二、(高一期中试题)探究函数y=x+4/x(x>0)的最小值,并确定取得最 小值时x的值.列表如下:

x… 0.5 1 1.5 1.7 1.9
y… 8.5

2

2.1 4.005

2.2

2.3

3

4

5

7…

5 4.17 4.05 4.005 4

4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57…

(1)根据上表判断函数y=x+4/x在区间(0,2)上的单调性并给出证明;
(2)函数y=x+4/x在区间上(2,+

∞)单调性如何?(不需证明)

求出函数y=x+4/x(x>0)的最小值及相应x的值

案例
(高一期中试题)x1 , x2 是关于
2

x

的一元二次方程
2

x 2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0
的两个实根,又

y ? x1 ? x2

(1)、求函数 y ? f (m) 的解析式 (2)、求 y ? f (m) 函数的最小值

初高中衔接较好的内容:统计和概率、 探索规律、视图与投影、解直角三角 形,一次函数与一元一次方程(不等 式),二次函数的图像 衔接一般需加强的内容:代数中根式 的化简、繁分式的运算及变形、因式 分解(十字相乘、分组分解、立方和 (差)公式等)、韦达定理、不等式 的性质。几何中三角形的五心(重心 垂心外心内心旁心)、平行线分线段 成比例定理、角平分线定理、圆幂定





?初高中衔接教学并不是新课程下所带来的新问题, 是针对学生跨跃不同学习阶段的一个必然的教学环节。 ?借义务教育阶段课改的不断深入,推进高中新课程 的改革。 ?课堂因注重课程衔接而变得更 精彩。



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