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江西省宜春市奉新一中2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版(含解析)

2015-2016 学年江西省宜春市奉新一中高二(下)期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|x<1},N={x|2x>1},则 M∩N=( ) A.? B.{x|x<0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} 2.下列说法错误的是( ) A.命题“若 x2﹣5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0” B.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 C.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥ ”的充要条件

D.若命题 p:? x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:? x∈R,x2+x+1≥0 3. 4) =P(ξ>a+2) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3, , 若P (ξ<2a﹣3) , 则 a 的值为 ( A. B. C.5 D.3



4.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如表: x y 0 2.2 1 4.3 =0.95x+2.6,则 t=( 2 t ) 3 4.8 4 6.7

且回归方程是

A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.5 5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a、 b、c∈(0,1) ) ,已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况) ,则 ab 的最大 值为( A. ) B. C. D.

6.一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02.设发病 的牛的头数为 ξ,则 Dξ 等于( ) A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 7.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,若 g (2)=a,则 f(2)=( ) A.2 B. C. D.a2

8. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会, 若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有( ) A.140 种 B.120 种 C.35 种 D.34 种 9.从 0,1,2,3,4,5 共 6 个数中任取三个组成的无重复数字的三位数,其中能被 5 整除 的有( ) A.40 个B.36 个 C.28 个 D.60 个

10.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(单位

长度相同) . 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .若点 P 在曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,则满足这样条件的点 P 的个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.函数 f(x)= A.M﹣N=4 B.M+N=4 12.函数 f(x)=|ex+ 的最大值为 M,最小值为 N,则( C.M﹣N=2 D.M+N=2 |(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则 a 的取值范围是( D.a∈[﹣ ,e] ) )

A.a∈[﹣1,1] B.a∈[﹣1,0] C.a∈[0,1]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案涂在答题卡上) 13.在二项式 的展开式中,含 x5 的项的系数是 (用数字作答)

14.有 5 名数学实习老师,现将他们分配到高二年级的三个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) . 15.已知 a>b,且 ab=1,则 的最小值是 .

16.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3,设 a>﹣1,且当 x∈[﹣ , ]时,f (x)≤g(x) ,则 a 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知幂函数 f(x)=(m﹣1)2x 在(0,+∞)上单调递增,函数 g(x)=2x

﹣k. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)当 x∈[1,2]时,记 f(x) ,g(x)的值域分别为集合 A,B,若 A∪B=A,求实数 k 的取值范围. 18.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知 曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

19.已知函数 f(x)=k﹣|x﹣3|,k∈R,且 f(x+3)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a、b、c 是正实数,且 ,求证: .

20.袋中装有大小相同标号不同的白球 4 个,黑球 5 个,从中任取 3 个球. (1)共有多少种不同结果? (2)取出的 3 球中有 2 个白球,1 个黑球的结果有几个? (3)取出的 3 球中至少有 2 个白球的结果有几个? (4)计算第(2) 、 (3)小题表示的事件的概率. 21.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题各 一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学 8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟,乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (3) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 X X EX 乙两女生被抽到的人数为 ,求 的分布列及数学期望 . 附表及公式 P(k2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= .

22.已知函数 f(x)=( )x, (1)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 的最小值 g(a) ; 2 (2)是否存在实数 m>n>3,使得 g(x)的定义域为[n,m],值域为[n ,m2]?若存在, 求出 m、n 的值;若不存在,请说明理由.

2015-2016 学年江西省宜春市奉新一中高二(下)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|x<1},N={x|2x>1},则 M∩N=( ) A.? B.{x|x<0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} 【考点】交集及其运算. 【分析】利用指数函数的单调性求出集合 N 中的解集;利用交集的定义求出 M∩N. 【解答】解:N={x|2x>1}={x|x>0} ∵M={x|x<1}, ∴M∩N={X|0<X<1} 故选 D 2.下列说法错误的是( ) A.命题“若 x2﹣5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0” B.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 C.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥ ”的充要条件

D.若命题 p:? x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:? x∈R,x2+x+1≥0 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】由四种命题及关系判断 A;根据复合命题 p∨q 的真假,可判断 B;由充分必要条 件的定义来判断 C;由存在性命题的否定是全称性命题,可判断 D. 【解答】解:A.由“若 p 则 q”的逆否命题是“若¬q 则¬p”,得 A 正确; B.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题,若 p∨q 为真命题,则 p,q 中至少一个为真命题,故 B 不正确; C.若 x,y∈R,则“x=y”.可推出“xy≥ ≤0”即“(x﹣y)2≤0”即“x=y”,故 C 正确; D.由命题的否定方法得 D 正确. 故选:B. 3. 4) =P(ξ>a+2) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3, , 若P (ξ<2a﹣3) , 则 a 的值为 ( A. B. C.5 D.3 ) ”,又“xy≥ ”可推出“x2+y2﹣2xy

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于 x=3 对称,得到两个概率相等的 区间关于 x=3 对称,得到关于 a 的方程,解方程即可. 【解答】解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) , ∵P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) ,

∴2a﹣3 与 a+2 关于 x=3 对称, ∴2a﹣3+a+2=6, ∴3a=7, ∴a= , 故选 A. 4.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如表: x y 0 2.2 1 4.3 =0.95x+2.6,则 t=( C.4.5 D.5.5 2 t ) 3 4.8 4 6.7

且回归方程是 A.2.5 B.3.5

【考点】线性回归方程. 【分析】根据表中数据,求出 、 ,代人回归直线方程,即可求出结果. 【解答】解:根据表中数据,得; = ×(0+1+2+3+4)=2, = ×(2.2+4.3+t+4.8+6.7)= 又样本中心点在回归直线 所以 =0.95×2+2.6, ,

=0.95x+2.6 上,

解得 t=4.5. 故选:C. 5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a、 b、c∈(0,1) ) ,已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况) ,则 ab 的最大 值为( A. ) B. C. D.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;基本不等式. 【分析】利用数学期望的概念,建立等式,再利用基本不等式,即可求得 ab 的最大值 【解答】解:由题意,投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c (a、b、c∈(0,1) ) , ∴3a+2b=2, ∴2≥2 ∴ab≤ (当且仅当 a= ,b= 时取等号) ∴ab 的最大值为 故选 D.

6.一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02.设发病 的牛的头数为 ξ,则 Dξ 等于( ) A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【分析】把每个牛是否得病作为一个实验,牛发病的概率是 0.02,且牛是否发病相互之间没 有影响,得到发病的牛的头数为 ξ 服从二项分布,根据方差的公式 Dξ=npq,得到结果. 【解答】解:∵由题意知该病的发病率为 0.02,且每次实验结果都是相互独立的, ∴ξ~B(10,0.02) , ∴由二项分布的方差公式得到 Dξ=10×0.02×0.98=0.196. 故选 C 7.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,若 g (2)=a,则 f(2)=( ) A.2 B. C. D.a2

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,由条件 f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2, 构建方程组,然后求解即可. 【解答】解:∵f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,g(2)=a, ∴f(2)+g(2)=a2﹣a﹣2+2.①, ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴当 x=﹣2 时,f(﹣2)+g(﹣2)=a﹣2﹣a2+2 ② 即﹣f(2)+g(2)=a﹣2﹣a2+2,③ ①+③得:2g(2)=4,即 g(2)=2, 又 g(2)=a,∴a=2. 代入①得:f(2)+2=22﹣2﹣2+2, ∴f(2)=22﹣2﹣2=4﹣ = 故选:B. 8. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会, 若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有( ) A.140 种 B.120 种 C.35 种 D.34 种 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】从 7 个人中选 4 人共 C74 种选法,本题不可能只有女生这种情况,去掉不合题意的 只有男生的选法 C44 就可得有既有男生,又有女生的选法. 【解答】解:∵7 人中任选 4 人共 C74 种选法, 去掉只有男生的选法 C44, 就可得有既有男生,又有女生的选法 C74﹣C44=34. 故选 D. 9.从 0,1,2,3,4,5 共 6 个数中任取三个组成的无重复数字的三位数,其中能被 5 整除 的有( ) .

A.40 个B.36 个 C.28 个 D.60 个 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】由题意知能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5.当末位是 0 时,没有问题,但当末 位是 5 时,注意 0 不能放在第一位,所以要分类解决,①末位为 0 的三位数其首次两位从 1~5 的 5 个数中任取 2 个排列②末位为 5 的三位数,首位从非 0,5 的 4 个数中选 1 个, 再挑十位,相加得到结果. 【解答】解:其中能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5. ①末位为 0 的三位数其首次两位从 1~5 的 5 个数中任取 2 个排列而成方法数为 A52=20, ②末位为 5 的三位数,首位从非 0,5 的 4 个数中选 1 个,有 C41 种挑法,再挑十位,还有 C41 种挑法, ∴合要求的数有 C41?C41=16 种. ∴共有 20+16=36 个合要求的数, 故选:B. 10.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(单位

长度相同) . 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .若点 P 在曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,则满足这样条件的点 P 的个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程,利用点到直线的距离公 式求出圆心到直线的距离即可判断出结论. 【解答】解:曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,即 ρ2=4ρcosθ,化为 x2+y2=4x,化为(x﹣2) 2 2 +y =4,可得圆心 C(2,0) ,半径 r=2.

直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .化为

﹣4=0.

则圆心 C 到直线 l 的距离 d=

=1.

∴若点 P 在曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,则满足这样条件的点 P 的个数为 3. 故选:C.

11.函数 f(x)= A.M﹣N=4 B.M+N=4

的最大值为 M,最小值为 N,则( C.M﹣N=2 D.M+N=2



【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】利用分式函数的性质进行分解,结合奇函数的对称性即可得到结论.

【解答】解:f(x)=

=

=

+1,

设 g(x)=

,则 g(﹣x)=﹣g(x) ,即 g(x)是奇函数,则 gmax(x)+gmin(x)

=0, ∴M=gmax(x)+1,N=gmin(x)+1, ∴M+N=gmax(x)+gmin(x)+2=2, 故选:D. 12.函数 f(x)=|ex+

|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则 a 的取值范围是( D.a∈[﹣ ,e]



A.a∈[﹣1,1] B.a∈[﹣1,0] C.a∈[0,1] 【考点】函数单调性的性质. 【分析】为去绝对值,先将 f(x)变成 f(x)=

,所以 a≥﹣1 时,可去掉绝对值,

f(x)=

,f′(x)=

,所以﹣1≤a≤1 时便有 f′(x)≥0,即此时 f(x)在[0,

1]上单调递增,所以 a 的取值范围便是[﹣1,1]. 【解答】解:f(x)= ∵x∈[0,1]; ∴a≥﹣1 时,f(x)= , ; ;

∴a≤1 时,f′(x)≥0; 即﹣1≤a≤1 时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增; 即 a 的取值范围是[﹣1,1]. 故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案涂在答题卡上) 13.在二项式 的展开式中,含 x5 的项的系数是 28 (用数字作答)

【考点】二项式定理. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令通项中的 x 的指数为 5,列出方 程求出 r 的值,将 r 的值代入通项,求出展开式中,含 x5 的项的系数. 【解答】解: 展开式的通项为



得 r=2

∴展开式中,含 x5 的项的系数是 C82=28 故答案为:28. 14.有 5 名数学实习老师,现将他们分配到高二年级的三个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有 90 种(用数字作答) . 【考点】计数原理的应用. 【分析】根据题意,先把 5 名实习老师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,计算其分组 的方法种数,进而将三个组分到 3 个班,即进行全排列,计算可得答案. 【解答】解:把 5 名实习老师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有 =15 种方法,

再将 3 组分到 3 个班,共有 故答案为:90.

?A33=90 种不同的分配方案,

15.已知 a>b,且 ab=1,则

的最小值是 2



【考点】基本不等式. 【分析】变形利用基本不等式即可得出. 【解答】解:∵a>b,且 ab=1, ∴ = =(a﹣b)+ =2 .

当且仅当

,即



时取等号.

∴ 故答案为:

的最小值是 .



16.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3,设 a>﹣1,且当 x∈[﹣ , ]时,f (x)≤g(x) ,则 a 的取值范围是 (﹣1, ] . 【考点】分段函数的应用. 【分析】由 x 的范围,化简 f(x)=1+a,由恒成立思想可得 a≤x+2 的最小值,运用一次函 数的单调性,可得最小值,解不等式即可得到 a 的范围. 【解答】解:当 x∈[﹣ , ]时,f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|=1﹣2x+2x+a=1+a,

由 a>﹣1,当 x∈[﹣ , ]时,f(x)≤g(x) , 即为 1+a≤x+3,即 a≤x+2, 由 x∈[﹣ , ],可得 x+2∈[2﹣ , ], 即有 a≤2﹣ ,解得﹣1<a≤ . 则 a 的取值范围是(﹣1, ]. 故答案为: (﹣1, ].

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知幂函数 f(x)=(m﹣1)2x 在(0,+∞)上单调递增,函数 g(x)=2x

﹣k. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)当 x∈[1,2]时,记 f(x) ,g(x)的值域分别为集合 A,B,若 A∪B=A,求实数 k 的取值范围. 【考点】幂函数的性质. 【分析】 (Ⅰ)根据幂函数的定义和性质即可求出 m 的值, (Ⅱ)先求出 f(x) ,g(x)的值域,再根据若 A∪B? A,得到关于 k 的不等式组,解的即 可. 【解答】解: (Ⅰ)依题意得: (m﹣1)2=1, 解得 m=0 或 m=2 当 m=2 时,f(x)=x﹣2 在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去 ∴m=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=x2,当 x∈[1,2]时,f(x) ,g(x)单调递增, ∴A=[1,4],B=[2﹣k,4﹣k], ∵A∪B? A, ∴ 解得,0≤k≤1 故实数 K 的取值范围为[0,1] 18.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知 曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (Ⅰ)曲线 C1: C2: (Ⅱ)当 t= (t 为参数) ,利用 sin2t+cos2t=1 即可化为普通方程;

(θ 为参数) ,利用 cos2θ+sin2θ=1 化为普通方程. 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性 即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1: ∴C1 为圆心是(﹣4,3) ,半径是 1 的圆. C2: (θ 为参数) ,化为 . (t 为参数) ,化为(x+4)2+(y﹣3)2=1,

C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ)当 t= 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7, M 到 C3 的距离 d= 从而当 cossinθ= ,sinθ=﹣ 时,d 取得最小值 = |5sin(θ+φ)+13|, .

19.已知函数 f(x)=k﹣|x﹣3|,k∈R,且 f(x+3)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a、b、c 是正实数,且 ,求证: .

【考点】绝对值不等式的解法;二维形式的柯西不等式. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得|x|≤k 的解集为[﹣1,1], (k>0) ,由绝对值不等式的解法,即 可求得 k=1; (Ⅱ)将 k=1 代入,再由乘 1 法,可得 a+2b+3c=(a+2b+3c) ( + 不等式即可得证. 【解答】 (Ⅰ)解:f(x+3)≥0 的解集为[﹣1,1],即为 |x|≤k 的解集为[﹣1,1], (k>0) , 即有[﹣k,k]=[﹣1,1], 解得 k=1; (Ⅱ)证明:将 k=1 代入可得, + + =1(a,b,c>0) , + ) ,展开运用基本

则 a+2b+3c=(a+2b+3c) ( + ≥3+2 +2 +2

+

)=3+(

+

)+(

+

)+(

+



=3+2+2+2=9,

当且仅当 a=2b=3c,上式取得等号. 则有 .

20.袋中装有大小相同标号不同的白球 4 个,黑球 5 个,从中任取 3 个球. (1)共有多少种不同结果? (2)取出的 3 球中有 2 个白球,1 个黑球的结果有几个? (3)取出的 3 球中至少有 2 个白球的结果有几个? (4)计算第(2) 、 (3)小题表示的事件的概率. 【考点】计数原理的应用. 【分析】 (1)本题是从 9 个元素中任取 3 个,利用组合数表示出结果,写出组合数表示的结 果数. (2)取出的 3 球中有 2 个白球,1 个黑球的结果,可以用分步计数原理来表示,先从 4 个 白球中选 2 个,再从 5 个黑球中选 1 个,相乘得到结果. (3)取出的 3 球中至少有 2 个白球包含 2 白 1 黑和 3 个白球,先分步写出,再分类相加, 得到结果. (4)从 4 个白球,5 个黑球中,任取 3 个球的所有结果的出现可能性都相同,这是一个等 可能事件的概率,结合前三问做出的结果,利用概率公式得到结论. 【解答】解: (1)设从 4 个白球,5 个黑球中任取 3 个的所有结果有 C93. ∴共有 C93=84 个不同结果. (2)设事件:“取出 3 球中有 2 个白球,1 个黑球”的所有结果组成的集合为 A、 ∴A 所包含的事件数 C42C51. ∴共有 C42C51=30 种不同的结果. (3)设事件:“取出 3 球中至少有 2 个白球”的所有结果组成集合为 B、 ∴事件 B 包含的结果数是 C43+C42C51. ∴共有 C43+C42C51=34 种不同的结果. (4)∵从 4 个白球,5 个黑球中,任取 3 个球的所有结果的出现可能性都相同, ∴第(2)小题的事件发生的概率为 第(3)小题的事件发生的概率为 = = , .

21.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题各 一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学 8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟,乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (3) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX. 附表及公式 P(k2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= .

【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做出 观测值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到结论; (2)利用面积比,求出乙比甲先解答完的概率; (3)确定 X 的可能值有 0,1,2.依次求出相应的概率求分布列,再求期望即可. 【解答】解: (1)由表中数据得 K2 的观测值 , 所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关;

y 分钟, (2) 设甲、 乙解答一道几何题的时间分别为 x、 则基本事件满足的区域为 (如图所示)

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为 x>y, ∴由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为 ;

(3)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 甲、乙两人没有一个人被抽到有 被抽到有 种, , , 种;恰有一人被抽到有

种,其中 种;两人都

∴X 可能取值为 0,1,2, X 的分布列为:

X P ∴

0

1

2



22.已知函数 f(x)=( )x, (1)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 的最小值 g(a) ; 2 (2)是否存在实数 m>n>3,使得 g(x)的定义域为[n,m],值域为[n ,m2]?若存在, 求出 m、n 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】 (1)由 x 的范围和指数函数的单调性,求出 f(x)的值域,利用配方法化简 y=[f (x)]2﹣2af(x)+3,根据一元二次函数的性质对 a 进行分类讨论,由单调性求出最小值 即可; (2)假设存在满足题意的 m、n,由一次函数的单调性和题意列出方程组,化简后由 m>n >3 判断出结论不成立. 【解答】解: (1)∵x∈[﹣1,1],∴f(x)=( )x∈[ ,3],… y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[( )x]2﹣2a( )x+3 =[( )x﹣a]2+3﹣a2,… 由一元二次函数的性质分三种情况: 当 a< 时,ymin=g(a)= ﹣ ;…

当 ≤a≤3 时,ymin=g(a)=3﹣a2;… 当 a>3 时,ymin=g(a)=12﹣6a…

∴g(a)=



(2)假设存在满足题意的 m、n, ∵m>n>3,且 g(x)=12﹣6x 在 (3,+∞)上是减函数… 又 g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]. ∴ …

两式相减得:6(m﹣n)=(m+n) (m﹣n) , ∵m>n>3,∴m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾… ∴满足题意的 m、n 不存在…. 2016 年 8 月 12 日


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