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13、比较法


比较法
通过对应用题条件之间的比较,或难解题与易解题的比较,找出它们的联系与区别,研究产生 联系与区别的原因,从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。

在用比较法解应用题时,有些条件可直接比较,有些条件不能直接比较。在条件不能直 接比较时,可借助画图、列表等方法比较,也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小,创造 条件比较。

(一)在同一道题内比较

在同一道题内比较,就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较,不涉及其 他题目。

1.直接比较

例 1 五年级甲班要种一些树。如果每人种 5 棵,则剩下 75 棵;如果每人种 7 棵,则缺 1 5 棵。问这个班有多少人?这批树苗有多少棵?(适于四年级程度)

解:将两种分配方案进行比较,就会发现,第二次比第一次每人多种:

7-5=2(棵)

第二次比第一次多种:

75+15=90(棵)

90 棵中含有多少个 2 棵就是全班的人数:

90÷2=45(人)

这批树苗的棵数是:

5×45+75=300(棵)

或 7×45-15=300(棵)

答略。

*例 2 四季茶庄购进两批茶叶,第一批有 35 箱绿茶和 15 箱红茶,共重 2925 千克。第二 批有 35 箱绿茶和 28 箱红茶,共重 3640 千克。两种茶叶每箱各重多少千克?(适于五年级程 度)

解:将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较,可发现,第二批红茶箱数比 第一批红茶箱数多:

28-15=13(箱)

第二批红茶比第一批红茶多:

3640-2925=715(千克)

因此,可得每一箱红茶重量:

715÷13=55(千克)

每一箱绿茶重量:

(2925-55×15)÷35

=(2925-825)÷35

=2100÷35

=60(千克)

答略。

2.画图比较

有些应用题由于数量关系复杂、抽象,不便于通过直接推理、比较看出数量关系,可借 助画图作比较,就容易看出数量关系。

解:作图 13-1,比较已修过米数与未修过米数的关系。

可看出,这段公路一共分为(7+2)份。

答略。

3.列表比较

有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时,要把题中的条 件摘录下来,尽量按“同事横对,同名竖对”的格式排列成表。这就是说,要尽量使同一件事 情的数量横着对齐,使单位名称相同的数量竖着对齐。

例 赵明准备买 2 千克苹果和 3 千克梨,共带 6.8 元钱。到水果店后,他买了 3 千克苹果 和 2 千克梨,结果缺了 0.4 元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱?(适于五年级程度)

解:摘录已知条件排列成表 13-1。

表 13-1

比较①、②两组数量会看出:由于多买了 1 千克苹果,少买了 1 千克梨,才缺了 0.4 元。

可见 1 千克苹果比 1 千克梨贵 0.4 元。

从买 2 千克苹果、3 千克梨的 6.8 元中去掉买 2 千克苹果多用的钱,便可以把买 2 千克苹 果当成买 2 千克梨,则一共买梨(2+3)千克,用钱:

6.8-0.4×2=6(元)

每千克梨的价钱是:

6÷(2+3)=1.2(元)

每千克苹果的价钱是:

1.2+0.4=1.6(元)

答略。

(二)和容易解的题比较

当一道应用题比较复杂时,可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题,回忆起来 后,可进行比较,找出联系,从而找到解题途径。

1.与常见题比较

例 4 名骑兵轮流骑 3 匹马,行 8 千米远的路程,每人骑马行的路程相等。求每人骑马行 的路程是多少?(适于四年级程度)

小学生对这类题不易理解,如与下面的常见题作比较就容易理解了。

有 3 篮苹果,每篮 8 个,平均分给 4 人,每人得几个?

把这两道题中的条件都摘录下来,一一对应地排列起来:

3 匹马?????????3 篮苹果

每匹马都行 8 千米????每篮都装 8 个苹果

4 人骑马行的路程相等??4 人得到的苹果一样多

解答“苹果”这道题的方法是:

8×3÷4

通过这样的比较,自然会想出解题的方法。

解:8×3÷4=6(千米)

答:每人骑马行的路程是 6 千米。

2.与基本题比较

例 甲、乙两地相距 10.5 千米,某人从甲地到乙地每小时走 5 千米,从乙地到甲地每小 时走 3 千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。(适于五年级程度)

在解答此题时,有的同学可能这样解:(5+3)÷2=4(千米)。这是错误的。

把上题与下面的题作比较,就会发现问题。

甲、乙两地相距 12 千米,某人从甲地到乙地走了 4 小时,他每小时平均走多少千米?

解此题的方法是:12÷4=3(千米)。这是总路程÷总的时间=平均速度。

前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式,所以是错误的。

解:本题的总路程是:

10.5×2

总时间是:

10.5÷5+10.5÷3

所以他往返的平均速度是:

10.5×2÷(10.5÷5+10.5÷3)=3.75(千米/小时)

答略。

3.把逆向题与顺向题比较

例 王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多

题,不易找出解题方法。

把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下,就可得出解题方法。

答略。

(三)创造条件比较

对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题,应适当变换条件,创造可以 比较的条件,再进行比较。

*例 1 学校食堂第一次买来 2 袋大米和 3 袋面粉,共 275 千克;第二次买来 5 袋大米和 4 袋面粉,共 600 千克。求 1 袋大米和 1 袋面粉各重多少千克?(适于五年级程度)解:摘录题 中条件,列成表 13-2。

表 13-2

从表 13-2 中的条件看,题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。

因为大米袋数 2 和 5 的最小公倍数是 10,所以把第一次买来的袋数 2 乘以 5(把面粉的 袋数 3,重量 275 也要乘以 5),把第二次买来的袋数乘以 2(把面粉的袋数 4,重量 600 也要 乘以 2),得表 13-3。

此时题中条件便可以比较了。

表 13-3

看表 13-3,把两次买来粮食的数量比较一下,大米的袋数相同,面粉第一次比第二次多 买:

15-8=7(袋)

因此,第一次买的粮食比第二次多:

1375-1200=175(千克)

每袋面粉重:

175÷7=25(千克)

每袋大米重:

(275-25×3)÷2

=(275-75)÷2

=100(千克)

答略。

*例 2 1 支铅笔、2 块橡皮、3 把卷笔刀共值 2.35 元;2 支铅笔、3 块橡皮、4 把卷笔刀共 值 3.30 元;3 支铅笔、3 块橡皮、5 把卷笔刀共值 4.05 元。求 1 支铅笔、1 块橡皮、1 把卷笔 刀各值多少钱?(适于五年级程度)

解:摘录题中条件排列成表 13-4。

表 13-4

从表 13-4 看,题中条件不能直接比较。因此,要创造条件比较。

因为橡皮的块数 2、3、3 的最小公倍数是 6,所以①×3,②×2,③×2,得表 13-5。此 时题中条件便可以比较了。

表 13-5

⑥-⑤,得:

2 支铅笔价钱+2 把卷笔刀价钱=1.5(元),即,

1 支铅笔价钱+1 把卷笔刀价钱=0.75(元)??????????⑦

⑥-④,得:

3 支铅笔价钱+1 把卷笔刀价钱=1.05(元)??????????⑧

⑧-⑦,得:

2 支铅笔价钱=0.30(元)

1 支铅笔价钱=0.15(元)

把 1 支铅笔价钱 0.15 元代入⑦,得出 1 把卷笔刀的价钱是:

0.75-0.15=0.60(元)

根据①可求出一块橡皮的价钱数:

(2.35-0.15-0.6×3)÷2

=0.4÷2

=0.2(元)

答略。

*例 3 甲、乙两人共需做 140 个零件,甲做了自己任务的 80%,乙做了自己任务的 75%, 这时甲、乙共剩下 32 个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个零件?(适于六年级程度)

解:已知“甲做了自己任务的 80%,乙做了自己任务的 75%”后共剩下 32 个零件,甲、 乙两人所做零件个数不相等,因此,甲所做零件的 80%与乙所做零件的 75%不可直接比较。 此时就要创造条件比较了。

已知甲做自己任务的 80%,假设乙也做自己任务的 80%,那么甲乙就共剩下零件:

140×(1-80%)=28(个)

这比原来已知的“甲、乙共剩下 32 个零件”少:

32-28=4(个)

这 4 个所对应的分率是:

80%-75%=5%

所以,乙需做的零件是:

4÷5%=80(个)

甲需做的零件是:

140-80=60(个)

答略。


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