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深圳市2009年高三年级第二次调研考试(文数)


绝密★启用前

试卷类型:A

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂的, 答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错 涂、多涂的答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:

1 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ? Sh ; 3 若圆锥底面半径为 r ,母线长为 l ,则圆锥的侧面积为 S ? πrl .

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6? ,集合 A ? ?1, 2,5? , CU B ? {4,5,6} ,则集合 A ? B ? A. { 5 } B. {1, 2} C. {1, 2, 3} D. {3, 4, 6} 2.“ x( x ? 3) ? 0 ”是“ x ? 1 ? 2 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,过点 M (?4, ?2,3) 作直线 OM 的 垂线 l ,则直线 l 与平面 Oxy 的交点 P( x, y,0) 的坐标满足条件 A. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 B. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0
正视图 左视图

1

俯视图

第 4 题图

C. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 D. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 4.如右图,一个空间几何体的主(正)视图、侧(左)视图都是周长为 8、一个内角为 60° 的菱 形及其一条对角线,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为 A. 5π C. 3π
2 2

B. 4π D. 2π

x y ? ? 1 ,其右焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点重合,则 e 的值为 2 a 7 4 23 23 3 4 A. B. C. D. 23 4 4 3 f ( x) 6.若奇函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数,又 f ( ?3) =0,则不等式 ? 0 的解集为 x
5.已知离心率为 e 的曲线 A. (?3,0) ? (3, ??) C. (??, ?3) ? (3, ??) 和,则 A. S6 ? S5 C. S4 ? S5 B. S6 ? S5 D. S4 ? S5
n=2

B. (?3, 0) ? (0,3) D.(??, ?3) ? (0,3)
开始

7.设数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? ?6, a8 ? 6, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项
输入 f1(x)

8.已知直线 x ? 2 、 x ? 4 与函数 y ? log 4 x 图像的交点分别为 A 、 B , 与函数 y ? ln x 图像的交点分别为 C 、 D ,则直线 AB 与 CD A.相交,且交点在第一象限 B.相交,且交点在第二象限 C.相交,且交点在第四象限 D.相交,且交点在坐标原点 9.在右程序框图中,当 n ?N ? (n>1)时,函数 f n( x)表示函数 f n-1( x)的 导函数.若输入函数 f1( x)? sinx ? cos x ,则输出的函数 f n( x)可化为 π π A. 2 sin( x ? ) B. ? 2 sin( x ? ) 4 4 π π C. 2 sin( x ? ) D. ? 2 sin( x ? ) 4 4
否 n??009? 是 输出 fn(x) n=n+1 fn(x)=f' (x) n-1

结束 第 9 题图

10.某宾馆有 n(n ? N ? ) 间标准相同的客房,客房的定价将影响入住率.经调查分析,得出 每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表: 每间客房的定价 每天的住房率 220 元 50℅ 200 元 60℅ 180 元 70℅ 160 元 75℅

对每间客房,若有客住,则成本为 80 元;若空闲,则成本为 40 元.要使此宾馆每天的 住房利润最高,则每间客房的定价大致应为 A.220 元 B.200 元 C.180 元 D.160 元

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和
2

选做题两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题(第 13 题前一空 2 分,后一空 3 分) , 每道试题考生都必须做答
? ? ? 11.已知向量 a ? (?3,4) ,向量 b 与 a 方向相反,且 ? ? ? b ? ? a, b ? 1 ,则实数 ? ? .
0.039 0.028 0.018 0.010 0.005
时速 30 40 50 60 70 80 km / h

频率 组距

12.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直 方图如图所示,则时速不低于 60km/h 的汽车数 量为 辆.

第 12 题图

13.数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ,?, , ,?, ,? 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n

则 a15 ?

,若存在正整数 k ,使 Sk ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ?



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算第一题的得分.
? x ? 4 cos θ 14. (坐标系与参数方程选做题)已知点 P 是曲线 C : ? (θ 为参数, 0 ? θ ? π ) 上一 ? y ? 3 sin θ 点,O 为原点.若直线 OP 的倾斜角为 π ,则点 P 的直角坐标 4 D 为 .
A

15. (几何证明选讲选做题)如右图, A 、 B 是两圆的交点, AC 是 小圆的直径,D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点, 已知 AC ? 4, BE ? 10 ,且 BC ? AD,则 DE = . 第 15 题图
C B E

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字 说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知复数 z ? x ? yi ( x, y ? R) 在复平面上对应的点为 M .

(Ⅰ) 设集合 P ? ??4, ?3, ?2,0? , Q ? ?0,1,2? , 从集合 P 中随机取一个数作为 x , 从集合 Q 中随机取一个数作为 y ,求复数 z 为纯虚数的概率; ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? (Ⅱ)设 x ??0,3? , y ??0,4? ,求点 M 落在不等式组: ? x ? 0 所表示的平面区域 ?y ? 0 ? 内的概率.

3

17. (本小题满分 12 分) 如图,已知 点 A(3, 4), C (2,0), 点 O 为坐标原点,点 B 在 第二象限 , 且 OB ? 3 , 记
?AOC ? ? .

y

(Ⅰ)求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若 AB ? 7 ,求 ?BOC 的面积.

A

B
O

?
C

x

第 17 题图

18. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AD ? 平面 A1 BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上. (Ⅰ )求证: BC ? A1B ; (Ⅱ )若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求三棱锥 P ? A1BC 的体积.
A1 C1

B1

D A

P

C

B
第 18 题图

19. (本题满分 14 分) 1 a ?1 2 已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? bx ? a(a, b ?R) ,且其导函数 f ?( x) 的图像过原点. 3 2 (Ⅰ )当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (Ⅱ )若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (Ⅲ )当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数.

4

20. (本题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a1 与 a 4 的一等比中项为 4 2 ,a 2 与 a3 的等差中项为 6. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? Sn ? 3 ? (?1)n ?1 an 2 (n ? N? ) ,请比较 bn 与 bn ?1 的 大小; (Ⅲ )数列 ?an ? 中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在,则求出这三项;若不 存在,则加以证明.

21. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的 上 顶 点 为 A , 右 焦 点 为 F , 直 线 AF 与 圆 a2

M : x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

??? ???? ? (Ⅱ)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ ? 0, 求证:直线 l
过定点,并求出该定点 N 的坐标.

y A
Q
O
l

F

x

P 第 21 题图

5

参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

A

C

B

C

B

D

D

C

C

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 13 题第一空 2 分,第二空 3 分;第 14、15 两小题中选做 一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. ?

1 5 5 ? 12 12 ? . 12.76. 13. , . 14. ? , ? . 5 6 7 ?5 5?

15. 6 3 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知复数 z ? x ? yi ( x, y ? R) 在复平面上对应的点为 M . (Ⅰ)设集合 P ? ??4, ?3, ?2,0? , Q ? ?0,1,2? ,从集合 P 中随机取一个数作为 x ,从集合 Q 中随机取一个数作为 y ,求复数 z 为纯虚数的概率;

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? (Ⅱ)设 x ??0,3? , y ??0,4? ,求点 M 落在不等式组: ? x ? 0 所表示的平面区内的 ?y ? 0 ?
概率. 解:(1)记 “复数 z 为纯虚数”为事件 A ∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个: ?4, ?4 ? i, ?4 ? 2i , ?3, ?3 ? i, ?3 ? 2i , ?2, ?2 ? i, ?2 ? 2i , 0,i, 2i ,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型. ……2 分 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个: i, 2i. ………4 分 ∴ 所求事件的概率为 P( A) ?
2 1 ? ………………6 分 12 6

y C
?0 ? x ? 3 ? ? 内, ?0 ? y ? 4 ?

B

(2)依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域 ?( x, y ) | ?

? ?

D O A x

属于几何概型. 该平面区域的图形为右图中矩形 OABC 围成的区域, 面积为 ……8 分 S ? 3 ?4 ?1 2 .
6

? ? x ? 2 y ? 3 ? 0? ? ? ? 所 求 事 件 构 成 的 平 面 区 域 为 ? ( x, y ) ? x ? 0 ? ,其图形如下图中的三角 ? ? ? ?y ? 0 ? ?
第 16 题图 形 OAD (阴影部分)

3 又直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A(3,0), D(0, ) , 2
1 3 9 所以三角形 OAD 的面积为 S1 ? ? 3 ? ? . ……10 分 2 2 4

9 S1 4 3 ∴ 所求事件的概率为 P ? ? ? . ………………12 分 S 12 16
17. (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 点 A(3, 4), C (2,0), 点 B 在 第 二 象 限 , 且 OB ? 3 , O 为 坐 标 原 点 , 记
?AOC ? ? .
高.考.资.源. 网

(Ⅰ)求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若 AB ? 7 ,求 ?BOC 的面积.
高.考.资.源.网 学科

解:(1) ? A 点的坐标为 (3, 4) ,

y

A

?OA ? 32 ? 42 ? 5
4 3 ?sin ? ? ,cos? ? ………………3 分 5 5 sin 2? ? 2sin ? cos? ? 24 25
……………6 分

B O

?
C x
第 17 题图

(2)(解法一)在 ?OAB 中, OA ? 5, OB ? 3, AB ? 7 ,

52 ? 32 ? 72 1 ?? , 2 ? 5? 3 2 ? 0 ? ? O B ?1 8 0, A ? ?c o s A O B ? ?
1 3 ? sin ?AOB ? 1 ? (? ) 2 ? 2 2
∴sin ?BOC ? sin ?AOB ? ?) ?AOBcos? ? cos?AOBsin? = ( =sin

3 3 1 4 3 3-4 ? ? ? = 2 5 2 5 10

………10 分
? ?BOC 的面积 S ?

1 9 3-12 OB ? OC ? sin ?BOC ? . 2 20

………………12 分

(解法二)设 B( x, y ) ,由 OB ? 3 , AB ? 7 得

? x2 ? y 2 ? 9 ? , ? 2 2 ?( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 49 ?
7

………8 分

解得: y ? ?

9 3 ? 12 9 3 ? 12 ,或 y ? 10 10 9 3 ? 12 . 10
………10 分 ………12 分

又点 B 在第二象限,故 y ?
? ?BOC 的面积 S ?

1 9 3-12 OC ? y ? . 2 20

18. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (Ⅰ )求证: BC ? A1 B ; (Ⅱ AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求三棱锥 P ? A1 BC 的体积. )若 (Ⅰ )证明:? 三棱柱 ABC? A1 B1C1 为直三棱柱,

A1

C1

? A1 A ? 平面 ABC ,
又 BC ? 平面 ABC ,

B1

? A1 A ? BC ------------------------------------------------------2 分 ? AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC ,
? AD ? BC .


D A

P C

AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,

B
第 18 题图

? BC ? 平面 A1 AB ,----------------------------5 分
又 A1 B ? 平面 A1 BC ,

? BC ? A1 B -----------------------------------7 分
(2)在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, A1 A ? AB .

? AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1B 上,

?

AD ? A1 B .
AD 3 0 ? , ?ABD ? 60 AB 2

在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , sin ?ABD ?
0

在 Rt??ABA1 中, AA ? AB ? tan 60 ? 2 3 --------------------------------9 分 1 由(1)知 BC ? 平面 A AB , AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB 1

8

S ?ABC ? ?

1 1 AB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2

? P 为 AC 的中点, S ?BCP ?

1 S ?ABC ? 1 -----------------------11 分 2
1 3 2 3 ---------------------14 分 3

? VP? A BC ? VA ?BCP ? S?BCP ? A1 A ? ?1? 2 3 ?
1
1

1 3

19.(本题满分 14 分)

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,且其导函数 f ?( x ) 的图像过原点. 3 2 (Ⅰ a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; )当 (Ⅱ )若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (Ⅲ a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数. )当 1 a ?1 2 解: f ( x) ? x3 ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? b 3 2 由 f ?(0) ? 0 得 b ? 0 , f ?( x) ? x( x ? a ? 1) .---------------------2 分 1 (Ⅰ) 当 a ? 1 时, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 3 所 以 函 数 f ( x) 的 图 像 在 x ? 3 处 的 切 线 方 程 为 y ? 1 ? 3( x ? 3) , 即 3x ? y ? 8 ? 0 --------------------4 分 (Ⅱ) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ?1) ? ?9 ,
已知函数 f ( x) ?

9 ?a ?1 ? ? ? x x

( x) ? ?

9 (? ?) x

9 ? 2 (x ?) (? ? , a? ?7 , ? ) 6 x
-----------------9 分

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 所以 a 的最大值为 ?7 . (Ⅲ) 当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, 0)

0

(??, a ? 1)

a ?1

(a ? 1, ??)

?
?
f ( x)


0
极大值

?
?


0
极小值

?
?
0 f ( x)
的 极 ---11 分 小 值

f ( x)





f(

? a ?) 0



1 1? 1 1? f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? )2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?
又 f (?2) ? ? a ?

14 3 1 ? 3 ? ? 0, f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a , f ( (a ? 1)) ? a ? 0 . 3 2 3 ? 2 ?
9

所以函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1, ( a ? 1)) 内各有一个零点, 故函数 f ( x) 共有三个零点。--------------------14 分 注:①证明 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? 设

3 2

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) 也可这样进行: 6
, 则

1 1 g (a) ? a ? (a ? 1)3 ? ? (a 3 ? 3a 2 ? 6a ? 1) 6 6 1 1 g ?(a) ? ? (3a 2 ? 6a ? 6) ? ? (a ? 3)(a ? 1) 6 2

当 0 ? a ? 1 时, g ?(a) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ?(a) ? 0 ,函数 g (a ) 在区间 ? 0,1? 上是增函数,在区 间 ?1, ?? ? 上 是 减 函 数 , 故 函 数 g (a ) 在 区 间

? 0, ???

上 的 最 大 值 为

1 1 1 g (1) ? 1 ? (1 ? 1)3 ? ? ? 0 ,从而 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) . 6 3 6
②证明函数 f ( x) 共有三个零点。也可这样进行: 的 极 大 值 , f ( x) f ( ? a ?) 0

0 f ( x)









1 1? 1 1? f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? )2 ? ? ? 0 , 6 6? 2 4?
当 x 无限减小时, f ( x) 无限趋于 ??; 当 x 无限增大时, f ( x) 无限趋于 ??. 故函数 f ( x) 在区间 ? ??,0? ,(0, a ?1),(a ?1, ??) 内各有一个零点, 故函数 f ( x) 共有三个零点。--------------------14 分 20. (本题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a1 与 a4 的一等比中项为 4 2 , a2 与 a3 的等差中项 为6 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? Sn?3 ? (?1) 设 的大小; (Ⅲ )数列 ?an ? 中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在,则求出这三项;若不 存在,则加以证明.
n ?1

an 2 (n ? N ? ) ,请比较 bn 与 bn ?1

?a2 a3 ? a1 ? a4 ? (4 2) 2 ? 32 ?a2 ? 4 ?a2 ? 8 ? 解: (I)由题意得 ? ,解得 ? 或? ---------------2 ?a2 ? a3 ? 2 ? 6 ? 12 ?a3 ? 8 ?a3 ? 4 ?
分 由公比 q ? 1 ,可得 a2 ? 4, a3 ? 8, q ?

a3 ? 2 .--------------------3 分 a2

10

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? a2 qn?2 ? 2n.--------------------5 分 (Ⅱ) a1 ? 2, Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2 ,--------------------6 分 1? 2

bn ? Sn?3 ? (?1)n an2 ? (2n?4 ? 2) ? (?1)n?1 22n , bn?1 ? (2n?5 ? 2) ? (?1)n 22( n?1) ,
bn ?1 ? bn ? 2n ?16 ? 5(?1) n 2 n ? .--------------------8 分 ? ?
当 n ? 1 或为正偶数时, bn?1 ? bn ? 0, bn?1 ? bn ; --------------------9 分 当

n









n?3



,

bn ?1 ? bn ? 2n ?16 ? 5 ? 2n ? ? 2n ?16 ? 5 ? 23 ? ? 0, bn ?1 ? bn . ---------10 分
(Ⅲ)假设数列 ?an ? 中存在三项 ak , am , an (k ? m ? n) 成等差数列, ---------11 分 则 ak ? an ? 2am ,即 2 ? 2 ? 2 ,1 ? 2
k n m n ?k

? 2m?k ,---------12 分

n?k m?k 由 k ? m ? n 知 1 ? 2 为奇数, 2 为偶数,从而某奇数 ? 某偶数, 产生矛盾. -------13

分 所以数列 ?an ? 中不存在三项,按原顺序成等差数列. --------14 分 21. (本小题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的 上 顶 点 为 A , 右 焦 点 为 F , 直 线 AF 与 圆 2 a

M : x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0
相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1 上的点,点 B 是定点,斜率为 k 且过点 N 的直线 l 与椭圆 C 3 ??? ???? ? 相交于 P 、 Q 两点,若 AP ? AQ 是与 k 无关的值,求点 N 、 B 的坐标.
(Ⅱ)设 N 是圆 x ? y ?
2 2

2 2 解 : ( Ⅰ ) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 ,
圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径 r ? 3 . --------------------1 分

x 由 A(0,1) , F (c,0)(c ? a 2 ? 1) 得直线 AF : ? y ? 1 , c

y A Q O F x l

11

P

即 x ? cy ? c ? 0 ,--------------------2 分

由直线 AF 与圆 M 相切,得

3? c ?c c2 ? 1

? 3,
第 21 题图

c ? 2 或 c ? ? 2 (舍去). -------------------4 分
当c ?

2 时, a 2 ? c 2 ? 1 ? 3 , 故椭圆 C 的方程为 C :
1 3

x2 ? y 2 ? 1. -------------------5 分 3 x2 ? y 2 ? 1并 3

(Ⅱ) N ( m, n)(m ? n ? ) ,直线 l : y ? k ( x ? m) ? n ,代入椭圆 C 的方程 设
2 2

整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k (n ? km) x ? 3(n ? km)2 ? 3 ? 0 ,

-------6 分

设 P( x1 , kx1 ? n ? mk ) 、 Q( x2 , kx2 ? n ? mk ) ,则 x1 , x2 是上述关于 x 的方程两个不相 等的实数解,

6mk 3(m2 ? 1) x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

-------8 分

(Ⅱ)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ ? 0, 求证:直线 l 过 定点,并求出该定点 N 的坐标.
2 2 解 : ( Ⅰ ) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程

??? ???? ?

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 ,
圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径 r ? 3 . --------------------1 分 由

A(0,1)

,

F (c,0)(c ? a2 ?1)





线

AF :

x ? y ?1 c

,



x ? cy ? c ? 0 ,--------------------2 分
由直线 AF 与圆 M 相切,得

3? c ?c c2 ? 1

? 3,

c ? 2 或 c ? ? 2 (舍去). -------------------4 分
x2 ? y 2 ? 1. -------------------5 分 当 c ? 2 时, a ? c ? 1 ? 3 , 故椭圆 C 的方程为 C : 3
2 2

(Ⅱ)(解法一)由 AP ? AQ ? 0, 知 AP ? AQ ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直, --------------6

??? ???? ?

12



1 由 A(0,1) 可 设 直 线 AP 的 方 程 为 y ? k ?x , 直 线 AQ 的 方 程 为
y?? 1 x ? 1(k ? 0) ----------------7 分 k

将 y ? kx ? 1 代入椭圆 C 的方程

x2 ? y 2 ? 1并整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kx ? 0 , 3

6k 6k 6k 2 ,? ? 1) , 即 解 得 x?0 或 x?? , 因 此 P 的 坐 标 为 (? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

(?

6k 1 ? 3k 2 , ) ---------9 分 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
1 6k k 2 ? 3 , ) .------------------10 分 ,得 Q ( 2 k k ? 3 k2 ? 3

将上式中的 k 换成 ?

k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 6k k2 ?3 直线 l 的方程为 y ? k ? 3 1 ? 3k ( x ? 2 ------------------11 分 )? 6k 6k k ? 3 k2 ? 3 ? k 2 ? 3 1 ? 3k 2
化简得直线 l 的方程为 y ?

4k 2 ? 1 1 x ? ,------------------13 分 4k 2

因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .------------------14 分 ( 解 法 二 ) 1? 若 直 线 l 存 在 斜 率 , 则 可 设 直 线 l 的 方 程 为 :

1 2

y ? kx ? m( ? A(0,1) ? l ,? m ? 1) , -------1 分

x2 ? y 2 ? 1 并整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6mkx ? 3(m2 ?1) ? 0 , 代入椭圆 C 的方程 3


-------6

由 l 与椭圆 C 相交于 P( x1 , kx1 ? m) 、 Q( x2 , kx2 ? m) 两点,则 x1 , x2 是上述关于 x 的方程两 个不相等的实数解,从而 ? ? (6mk ) ? 4(1 ? 3k ) ? 3(m ?1) ? 12(3k ? 1 ? m ) ? 0
2 2 2 2 2

x1 ? x2 ? ?


6mk 3(m2 ? 1) , x1 x2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

-------8 分

??? ???? ? AP ? AQ ? 0,



x1x2 ? (kx1 ? m ?1)(kx2 ? m ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,

13

(1 ? k 2 ) ?

3(m2 ? 1) 6mk ? k (m ? 1) ? (? ) ? (m ? 1) 2 ? 0 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
1 . 2

整理得: 2m2 ? m ? 1 ? 0, (2m ? 1)(m ? 1) ? 0, 由 m ? 1 知 m ? ? 此时 ? ? 9(4k 2 ? 1) ? 0 , 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .-------12 分

1 2

2? 若直线 l 不存在斜率,则可设直线 l 的方程为: x ? m (? A(0,1) ? l ,? m ? 0) ,

将 x ? m 代入椭圆 C 的方程
2

x2 m2 2 2 ? y ? 1并整理得: y ? 1 ? , 3 3

当 m ? 3 时, y 2 ? 0 ,直线 l 与椭圆 C 不相交于两点,这与直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两 点产生矛盾! 当 0 ? m ? 3 时, 直线 l 与椭圆 C 相交于 P(m, y1 ) 、Q(m, y2 ) 两点, y1 , y2 是关于 y 的方程
2

m2 m2 y ? 1? ? 1. 的两个不相等实数解,从而 y1 ? y2 ? 0, y1 y2 ? 3 3 ??? ???? ? ??? ???? ? 4 2 2 但 AP ? AQ ? m ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? m ? 0 ,这与 AP ? AQ ? 0 产生矛盾! ------13 分 3 1 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .-------14 分 2 注:对直线 l 不存在斜率的情形,可不做证明.
2

14


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