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高中数学新人教版选修2-2课件第一章 导数及其应用1.1.3导数的几何意义 Word版含解析_图文

章 §1.1变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义 学习 目标 1.理解曲线的切线的含义. 2.理解导数的几何意义. 3.会求曲线在某点处的切线方程. 4.理解导函数的定义,会用定义法求简单函数的导函数. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 曲线的切线 如图所示,当点Pn沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P时,割线PPn趋近于 确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的 切线 . (1)曲线y=f(x)在某点处的切线与该点的位置有关; (2)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可 以有无穷多个. 答案 思考 有同学认为曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)只 有一个交点,你认为正确吗? 答案 不正确.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)的交点 个数不一定只有一个,如图所示. 答案 知识点二 导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处切线的 斜率 . 答案 思考 (1)曲线的割线与切线有什么关系? 答案 曲线的切线是由割线绕一点转动,当割线与曲线的另一交点无 限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点. (2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系? 答案 函数 f(x)在x0处有导数,则在该点处函数 f(x)表示的曲线必有切线, 且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数 f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0)) 处有切线,但函数 f(x)在该点处不一定可导,如 f(x)= 3 x 在x=0处有切线, 但不可导. 答案 知识点三 导函数的概念 对于函数y=f(x),当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,这样,当x变化 时,f′(x)便是关于x的一个函数,称它为函数 y=f(x)的 导函数 ,简称 导数,也可记作y′,即 f′(x)=y′=lim Δx→0 ΔΔyx=Δlixm→0 f?x+Δx?-f?x? Δx . 函数y=f(x)在x=x0处的导数 y ' |x ? x0 就是函数y=f(x)在开区间(a,b)(x∈(a, b))上的导数f′(x)在x=x0处的函数值,即 y ' |x ?=x0 f′(x0),所以函数y=f(x) 在x=x0处的导数也记作f′(x0). 答案 思考 如何正确理解“函数f(x)在x=x0处的导数”“导函数”“导数” 三者之间的区别与联系? 答案 “函数y=f(x)在x=x0处的导数”是一个数值,是针对x0而言的, 与给定的函数及x0的位置有关,而与Δx无关; “导函数”简称为“导数”,是一个函数,导函数是对一个区间而言 的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与x,Δx无关. 答案 返回 题型探究 题型一 求曲线的切线方程 1.求曲线在某点处的切线方程 例1 求曲线y=f(x)=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程. 解 因为点(1,3)在曲线上,过点(1,3)的切线的斜率为 ?1+Δx?3-?1+Δx?+3-?1-1+3? f′(1)= lim Δx→0 Δx = lim Δx→0 ?Δx?3+3?Δx?2+2Δx Δx = lim [ Δx→0 (Δx)2+3Δx+2] =2, 故所求切线方程为y-3=2(x-1), 即2x-y+1=0. 重点突破 反思与感悟 解析答案 解析答案 (2)曲线y=f(x)=x3在点P处切线斜率为3,则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1). 解析 设点P的坐标为(x0,x30),则有 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx = lim Δx→0 3x20Δx+3x0?Δx?2+?Δx?3 Δx =Δlixm→0[3x20+3x0Δx+(Δx)2]=3x20. ∴3x20=3,解得 x0=±1. ∴点P的坐标是(1,1)或(-1,-1). 解析答案 2.求曲线过某点的切线方程 例2 求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 解析答案 题型二 求导函数 例 3 求函数 f(x)= x2+1的导函数. 解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x) = ?x+Δx?2+1- x2+1= 2xΔx+?Δx?2 ?x+Δx?2+1+ x2+1, ∴ΔΔyx= 2x+Δx ?x+Δx?2+1+ x2+1, ∴f′(x)= lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 2x+Δx ?x+Δx?2+1+ x2+1= x x2+1. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-1,求f′(x)及f′(-1). 解 因Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)2-1-(x2-1) =2Δx·x+(Δx)2, 故 lim Δx→0 ΔΔyx=Δlixm→0 2Δx·x+?Δx?2 Δx =2x, 得f′(x)=2x,f′(-1)=-2. 解析答案 题型三 导数几何意义的综合应用 例4 设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的 切线与直线12x+y=6平行,求a的值. 解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)3+a(x+Δx)2-9(x+Δx)-1-(x3+ax2-9x-1) =(3x2+2ax-9)Δx+(3x+a)(Δx)2+(Δx)3, ∴ΔΔyx=3x2+2ax-9+(3x+a)Δx+(Δx)2, ∴f′(x)= lim Δx→0 ΔΔyx=3x2+2ax-9=3(x+a3)2-9-a32≥-9-a32. 由题意知f

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