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2018高中数学人教a版选修4-1创新应用教学案:第二讲 知识归纳与达标验收 含答案

[对应学生用书 P35] 近两年高考中,主要考查圆的切线定理,切割线定理,相交弦定理,圆周角 定理以及圆内接四边形的判定与性质等.题目难度不大,以容易题为主.对于与 圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相 似三角形的判定和性质等; 弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁,它在解决圆内 有关等角问题中可以大显身手; 证明四点共圆也是常见的考查题型,常见的证明 方法有:①到某定点的距离都相等;②如果某两点在一条线段的同侧时,可证明 这两点对该线段的张角相等;③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内 对角)等. 1.(湖南高考)如图,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= 3,BC =2 2,则⊙O 的半径等于________. 解析:设 AO,BC 的交点为 D,由已知可得 D 为 BC 的中点,则在直角三角形 ABD 中,AD= AB2-BD2=1,设圆的半径为 r,延长 AO 交圆 O 于点 E,由圆的相交弦 3 定理可知 BD· CD=AD· DE,即( 2)2=2r-1,解得 r= . 2 答案: 3 2 2.(新课标全国卷Ⅱ)如图, P 是⊙O 外一点, PA 是切线, A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2. 证明:(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD =∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB, ? =? 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE EC . 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2. 3.(新课标全国卷Ⅱ)如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC· AE=DC· AF,B,E,F,C 四 点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的 比值. 解:(1)证明:因为 CD 为△ ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知 BC DC = , FA EA 故△ CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90° . 所以∠CBA= 90° ,因此 CA 是△ ABC 外接圆的直径. (2)连接 CE,因为∠CBE=90° , 所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE. 由 BD=BE,有 CE=DC. 又 BC2=DB· BA=2DB2, 所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而 DC2=DB· DA=3DB2, 1 故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值为 . 2 [对应学生用书 P35] 圆内接四边形的判定 与性质 圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一, 近几年各地的高考选做题中 常涉及圆内接四边形的判定和性质. [例 1] 交于 E、F. 求证:C、D、E、F 四点共圆. [证明] 连接 EF, 已知四边形 ABCD 为平行四边形,过点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以∠B+∠C=180° . 因为四边形 ABFE 内接于圆, 所以∠B+∠AEF=180° . 所以∠AEF=∠C. 所以 C、D、E、F 四点共圆. [例 2] 如图,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长 BC 到 E, ) 已知∠BCD∶∠ECD=3∶2,那么∠BOD 等于( A.120° C.144° [解析] B.136° D.150° 由圆内接四边形性质知∠A=∠DCE, 而∠BCD∶∠ECD=3∶2, 且∠BCD+∠ECD=180° ,∠ECD=72° . 又由圆周角定理知∠BOD=2∠A=144° . [答案] C 直线与圆 相切 直线与圆有三种位置关系,即相交、相切、相离;其中直线与圆相切的位置 关系非常重要, 结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等 问题是高考选做题热点之一,解题时要特别注意. [例 3] 如图,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,∠ABC=90° ,点 P 是圆外一点,PA 切⊙O 于点 A,且 PA=PB. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)已知 PA= 3,BC=1,求⊙O 的半径. [解] (1)证明:如图,连接 OB. ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA. ∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA. ∴∠OAB+∠PAB= ∠OBA+∠PBA, 即∠PAO=∠PBO. 又∵PA 是⊙O 的切线,∴∠PAO=90° . ∴∠PBO=90° .∴OB⊥PB. 又 OB 是⊙O 半径,∴PB 是⊙O 的切线. (2)连接 OP,交 AB 于点 D.如图. ∵PA=PB,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. ∵OA=OB,∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线上. ∴OP 垂直平分线段 AB. ∴∠PAO=∠PDA=90° . 又∵∠APO=∠OPA,∴△APO∽△DPA. ∴ AP PO = .∴AP2=PO· DP. DP PA 1 1 又∵OD= BC= ,∴PO(PO-OD)=AP2. 2 2 1 即 PO2- PO=( 3)2,解得 PO=2. 2 在 Rt△APO 中,OA= PO2-PA2=1, 即⊙O 的半径为 1. 与圆有关的比 例线段 圆的切线、 割线、 相交弦可以构成许多相似三角形, 结合相似三角形的性质, 又可以得到一些比例式、乘积式

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