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2019年广东省增城市高三毕业班调研测试数学(理)试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

增城市 20xx 届高三毕业班调研测试

数学(理)试题

试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。

共 150 分,考试时间 120 分钟。

注意事项:

1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上;

2.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。

参考公式: S球

?

4?R2 ,V柱

?

Sh,V锥

?

1 3

Sh,V台

?

1 (S? ? 3

S ?S

?

S )h,V球

?

4? 3

R3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P(A ? B) ? P(A) ? P(B) .

如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P(A? B) ? P(A)P(B) .

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
1 . 设 集 合 U ?{x x是小于9的正整数},集合A ?{1, 2,3},集合B={3,4,5,6} 则

Cu A ? Cu B ?

A. {3}

B.

2.复数 5 的共轭复数是 -2+i

A. 2+i

B.

{7,8}
?2 ? i

3.已知函数 f (x) ? x?2 ,则

C.{4,5,6,7,8}
C. ?2 ? i

D.{1,2,7,8}
D. 2 ? i

A. f (x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调增 B. f (x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调



C. f (x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调减

D. f (x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调增

4.函数 f (x) ? log3 x 的定义域是

A. (0,1]

B. [1,??)

C. (3,??)

D. [3,??)

5.已知实数 x 满足 x ? x?1 ? 3, 则 x2 ? x?2 ?

A. 3 5

B. 5

C. ? 3 5

D. ? 5

6.给出三个命题:

(1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行.

(2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行.

(3)若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行.

其中正确命题的个数是

A.0

B. 1

C. 2

D.3

7.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次,每次命中的环数如下:

甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4

乙95787686 77

则下列判断正确的是

A. 甲射击的平均成绩比乙好

B. 乙射击的平均成绩比甲好

C. 甲比乙的射击成绩稳定

D. 乙比甲的射击成绩稳定

8.设 M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点,O 为任意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD ?

A. OM

B. 2OM

C. 3OM

D. 4OM

第 II 卷(非选择题,共 110 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一 题,两题全答的,只计算前一题得分.
(一)必做题(9~13 题)

9.已知非空集合 A ? {x x2 ? a, x ? R},则实数 a 的取值范围是



10.有一问题的算法程序是

i ?1

S ?0

WHILE i ??100

S ?S?i

i ? i ?1

WEND

PRINT S

END

则输出的结果是



11.二项式 (x ? 1 )9 的展开式中 x3 的系数是 x

12.曲线 y2 ? x 与 y ? x2 所围成的图形的面积是

. .

13.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨,

硝酸盐

18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝酸盐 15 吨.现库存磷酸

盐 10 吨,

硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产 1 车皮甲种肥料产生的利润

为 10000

元,生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 5000 元,那么如何安排生产,可产生的最大利







(二)选做题(14、15 题)

14(几何证明选讲选做题)已知圆 O 割线 PAB交圆 O 于 A, B (PA ? PB) 两点,割线 PCD

经 过 圆 心 O (PC ? PD) , 已 知 PA ? 6 , AB ? 7 1 , PO ? 10 ; 则 圆 O 的 半 径 3





15(坐标系与参数方程选做题)曲线

?

? ?

y

x? ?t

t( ?1

t

为参数且

t

?

0 )与曲线

?

? ?

y

x ?

? cos? (? cos2? ?1

为参数)的交点坐标是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16(12 分)已知函数 f (x) ? 2sin x(sin x ? cosx)

(1)求 f (x) 的最小正周期及最大值;

(2)用五点法画出 f (x) 在一个周期上的图像.

17(12 分)某种饮料每箱 6 听,如果其中有两听不合格产品. (1)质检人员从中随机抽出 1 听,检测出不合格的概率多大?;
(2)质检人员从中随机抽出 2 听,设? 为检测出不合格产品的听数,求? 的分布列及

数学期望.

V
18(14 分)如图,在三棱锥V ? ABC 中,VA ? 平面 ABC ,

?ABC ? 90?,且 AC ? 2BC ? 2VA ? 4 .

(1)求证:平面VBA? 平面VBC ;

(2)求二面角 A ?VC ? B 的平面角的余弦值.

B

A

C

19(14

分)在等比数列{an}中,已知

a3

?

3 2

, S3

?

9 2



(1)求{an}的通项公式;

(2)求和 Sn ? a1 ? 2a2 ? ? nan .

20(14 分)已知点 P 是圆 (x ?1)2 ? y2 ? 16 上的动点,圆心为 B , A(1,0) 是圆内的定点; PA 的中垂线交 BP 于点 Q . (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 交轨迹 C 于 M , N (MN 与 x 轴、y 轴都不平行)两点,G 为 MN 的中点, 求 kMN ? kOG 的值( O 为坐标系原点).

21(14 分)圆 x2 ? y2 ? 1内接等腰梯形 ABCD ,其中 AB 为圆的直径(如图).

(1)设 C(x, y)(x ? 0) ,记梯形 ABCD 的周长为 f (x) ,求 f (x) 的解析式及最大值;

y
D

(2)求梯形 ABCD面积的最大值.

A O

C
B
x

参考答案

选择题:BBCBC BDD
7.填空题:9. [0,??) 10. 5050 11. -84 12. 1 3

13.30000 元

14. 2 5 15. (1,2)

三、解答题:

16.)(1) f (x) ? 2sin2 x ? 2sin x cos x

1分

?1? cos2x ? sin 2x =1? 2(sin 2x cos? ? sin ? cos2x)
44 =1? 2 sin(2x ? ? )
4

3分 4分
5分

? f (x) 的最小正周期是? ,最小值是 2 ?1

7分

6.列表 画图 特征点 坐标系
二、(1)在 6 听中随机抽出 1 听有 6 种方法

9分 10 分 11 分 12 分
1分

在 2 听中随机抽出 1 听有 2 种方法

2分

所以 P ? 2 ? 1 63
答:
(1)? ? 0,1,2

4分 5分
6分

当?

? 0 时, P(?

? 0)

?

C42 C62

?

2 5

7分

当?

? 1时, P(?

? 1)

?

C21 ? C41 C62

?8 15

8分

当?

?

2 时, P(?

? 2)

?

C22 C62

?1 15

9分

分布列为:

10 分

E(? ) ? 0? 2 ?1? 8 ? 2? 1 5 15 15

11 分

2
=

12 分

3

18.(1)?VA ? 平面 ABC?VA ? BC

1分

??ABC ? 90??BC ? AC

2分

? BC ?平面VBA

4分

?平面VBA? 平面VBC

5分

三、

过点 B 作 MB ? VC 于 M ,过点 A 作 AN ? VC 于 N ,

过点 M 作 MD ? VC 交 CA 于 D ,则 MD // NA

7分

??ABC ? 90?, AC ? 2BC ? 2VA ? 4?VA ? VB ? 2

? AB ? 2 3

8分

?VA ? 平面 ABC ?VA ? AC,VA ? AB,?VC ? 2 5,VB ? 4

9分

? BM ? 2 5 ? 8,2 5NA ? 8,? BM ? AN ? 4 5 5

10 分

?CM ? VN ? 4 ? (4 5 )2 ? 2 5 ,?CN ? 2 5 ? 2 5 ? 8 5

5

5

55

? MD ? CM ? CD ? 1 ,? MD ? 5 ,CD ? 1

NA CN CA 4

5

在 ?ABC中,? AC ? 2BC,??CAB ? 30?,??ACB ? 60?

11 分 12 分

? BD ? 4 ?1? 2? 2?1? cos 60? ? 3

在 ?BMD中, cos?BMD ?

16 ? 1 ? 3 55

?1

2? 4 5 ? 5 4

55

13 分

所以所求二面角的平面角的余弦值是 1 4
或解:过点 B 作 BB? ? 平面 ABC,建立直角坐标系如图
则 B(0,0,0), A(0,2 3,0), C(2,0,0),V (0,2 3,2)

14 分 6分 7分

?AV ? (0,0,2), AC ? (2,?2 3,0),BC ? (2,0,0),BV ? (0,2 3,2)

8分

设 m ? (2, x, y),m ? AC, m ? AV

9分



?4 ? ?

?2 2y

3x ? ?0

0?

???x ??

? y

2 ?

3
3 0

?

m

?

(2,

2

3 3

,0)



同理设 n ? (t,2, s),n ? BC, n ? BV



? ??4

2t ? 0 3 ? 2s ?

0????s

t ?

?0 ?2

?n 3

?

(0,2,?2

3)

10
11 分 12 分

设 m 与 n 的夹角为? ,则

cos? ? m ? n ? mn

43

3

?1

4 ? 4 ? 4 ?12 4

3

所以所求二面角的平面角的余弦值是 1 4

19.(1)解:由条件得:

a1q 2

?

3 2

a1

?

a1q

?

a1q 2

?

9 2

1? q ? q2 ? 2

?q ?1或 q ? ? 1 2

当q

? 1时, a1

?

3 2

, an

?

3 2



q

?

?

1 2

时,

a1

?

6, an

?

6(?

1 )n?1 2

所以

或解:当 q ? 1时由条件得:

13 分
14 分 1分 2分 3分 4分
5分 6分 7分

? ??

a1q 2

?

3 2

? ?

a1

(1

?

q3)

?

9

2分

?? 1? q 2

1? q3 q2 (1? q)

?

3

,即 2q3

?

3q 2

?1

?

0

3分

?(2q ?1)(1? q)2 ? 0 ?q ? ? 1

4分

2

?a1 ? 6

5分



q

? 1 时,

a1

?

3 2

符合条件

所以

(2)当 q

? 1时, Sn

?

3 2

(1 ?

2 ???

n)

? 3n(n ?1) 4

当q

?

?

1 2

时, Sn

?

6[(?

1)0 2

?

2 ? (?

1) 2

? 3?(?

1)2 2

?? ?

n(?

1 )n?1] 2

??

1 2

Sn

?

6[(?

1) 2

?

2 ? (?

1)2 2

?

3? (?

1 )3 2

?? ?

n(?

1 )n ] 2

?

3 2

Sn

?

6[1?

(?

1) 2

?

(?

1)2 2

?? ?

(?

1 )n?1 2

?

n(?

1 )n ] 2

?3 2

Sn

?

1? (? 1)n

6[

2 1? 1

? n(?

1 )n ] 2

2

? Sn

?

8 3

?

4 3

(3n

?

2)(?

1)n 2

6分 7分 8分 9分 10 分 11 分 12 分
13 分
14 分

一、(1)解:由条件知: QA ? QP

1分

?QB ? QP ? 4

2分

?QB ? QA ? 4

3分

? AB ? 2 ? 4

4分

所以点 Q 的轨迹是以 B, A 为焦点的椭圆

5分

? 2a ? 4,2c ? 2?b2 ? 3

6分

所以点 Q 的轨迹 C 的方程是 x2 ? y2 ? 1 43

(2)解:设

M

( x1 ,

y1),

N (x2,

y2 )( x1

?

x2 ,

y1

?

y2 )

,则 G(

x1

? 2

x2

,

y1

? 2

y2

)

? x12 ? y12 ? 1, x22 ? y22 ? 1 43 43

?

1 4

( x12

?

x22

)

?

1 3

(

y12

?

y22 )

?

0

?

y 12 x12

? y22 ? x22

??3 4

7分 8分 9分 10 分 11 分

? kMN

?

y1 ? y2 x1 ? x2

, kOG

?

y1 ? y2 x1 ? x2

13 分

?kMN ? kOG

?

y12 x12

? y22 ? x22

??3 4

14 分

或解:设 M (x1, y1), N (x2, y2 )( x1 ? x2, y1 ? y2 ) ,直线 MN 的方程为 y ? kx? b(k ? 0)

则 G( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

8分

2

2

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k(x1 ? x2 ) ? 2b

9分

? kOG

?

y1 ? y2 x1 ? x2

?k?

2b x1 ? x2

10 分

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得: (4k 2 ? 3)x2 ? 8kbx? 4b2 ?12 ? 0

? x1

?

x2

?

?

8kb 4k 2 ? 3

?kOG ? k ?

2b ? 8kb

? k ? 4k 2 ? 3 ? ? 3

4k

4k

4k 2 ? 3

所以

kMN

? kOG

?

k

? (?

3 4k

)

?

?

3 4

21.解:(1)过点 C 作 CE ? AB 于 E

14 分

则 OE ? x(0 ? x ?1)

?EB ?1? x

11 分 12 分 13 分
1分

? x2 ? y2 ? 1,?CB ? y2 ? (1? x)2

2分

? 2? 2x

3分

? f (x) ? 2 ? 2x ? 2 2 ? 2x (0 ? x ? 1)

4分

令 2 ? 2x ? t ,则 2x ? 2 ?t2(0 ? t ? 2)

5分

? f (x) ? 4 ? t 2 ? 2t ? ?(t ?1)2 ? 5 ? 5
当 t ? 1,即 x ? 1 时 f (x) 有最大值 5 2
11.设 C(x, y)(x ? 0) ,则 S(x) ? 1 ( AB ? DC ) y 2 ? 1 (2 ? 2x) y ? (x ?1) 1? x2 (0 ? x ? 1) 2
? S?(x) ? 1? x2 ? (x ?1) ? 1 ? ? 2x 2 1? x2

6分 7分 8分 9分 10 分

? 2x2 ? x ?1

?

=0

1? x2

?2x2 ? x ?1 ? 0, (2x ?1)(x ?1) ? 0,? x ? 1 2

且当 0 ? x ? 1 时, S?(x) ? 0 ,当 1 ? x ? 1时, S?(x) ? 0

2

2

所以当 x ? 1 时, S (x) 有最大值 3 3 ,即

2

4

11 分 12 分 13 分 14 分

或解:设 ?BAC ? ? (0 ? ? ? 90?),过点 C 作 CE ? AB 于 E
? AB是直径,??ACB ? 90? ? AC ? 2cos? ? AE ? AC ? c o ?s ? 2 c o 2s?,CE ? AC ?s i n? ? 2s i n? c o ?s
?OE ? 2s i n? c o ?s ?1 S(? ) ? 1 (2 ? 4s i n? c o ?s ? 2)2s i n? c o ?s ? 4s i n3 ? c o ?s
2 ? S?(? ) ? 4? 3s i n2 ? c o ?s c o ?s ? 4s i n3 ? (? s i n? )

8分 9分 10 分 11 分

? 4sin2 ? (3cos2 ? ? sin2 ? ) ? 4sin2 ? cos2 ? (3 ? tan2 ? ) ? 0 12 分

? tan? ? 3,?? ? 60?

13 分

当 0 ? ? ? 60? 时, S?(?) ? 0 ,当 60? ? ? ? 90? 时, S?(?) ? 0

所以当? ? 60? 时 S (? ) 有最大值 3 3 4

14 分

或解:设 C(x, y)(x ? 0) ,则 S(x) ? 1 ( AB ? DC ) y 2
8分
? 1 (2 ? 2x) y ? (x ?1) 1? x2 (0 ? x ? 1) 2
? (x ?1)3(1? x)
? 1 (x ?1)( x ?1)( x ?1)(3 ? 3x) 3
? 1 (6)4 ? 3 3 32 4
当且仅当 x ?1 ? 3x ?3 ,即 x ? 1 时等号成立 2
所以

9分 10 分 11 分
12 分 13 分 14 分


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