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空间向量及其加减运算PPT课件_图文

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 生命之灯因热情而点燃,生命之舟因 拼搏而前行. 织金育才学校 引入 复习平面向量 ⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量. 几何表示法: 用有向线段表示. 字母表示法: 用字母a,b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB 表示. 相等的向量: 长度相等且方向相同的向量. B D A C ⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法: a?b b a 平行四边形法则 a?b b a 三角形法则(首尾相连) ⑵向量的减法 三角形法则 减向量 b a?b a 被减向量 减向量终点指向被减向量终点 看下面建筑 这个建筑钢架 中有很多向量,但 它们有些并不在同 一平面内——这就 是我们今天要学习 的空间向量. 探究点1 概念 1. 空间向量 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量(space vector ). 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus). 2. 空间向量的表示 向量 a 的起点是 A,终点是B,则向量 a 也可以记作AB,其 模记为|a |或|AB| B a A 提升总结 (1)我们规定,长度为0的向量叫做零向量 (zero vector),记为 0 .当有向线段的起点A与 终点B重合时,AB = 0 . (2)模为1的向量称为单位向量(unit vector). (3)两个向量不能比较大小,因为决定向量的两 个因素是大小和方向,其中方向不能比较大小. 3. 相反向量 与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量,记为 – a . 4. 相等向量(equal vector) 方向相同且模相等的向量称为相等向量. 提升总结 (1)空间的一个平移就是一个向量. (2)向量一般用有向线段表示,同向等长的 有向线段表示同一或相等的向量 . (3)空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示. b a B b O aA 结论:空间任意两个向量都是共面向量, 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示. 探究点2 空间向量的加减运算 1. 空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间,所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同. A a o B b C B o a A 加法: OB=OA+AB=a+b, 减法:CA=OA-OC=a-b. 你能证明 下列性质吗? 2. 空间向量的加法运算律 (1)加法交换律 a+b=b+a (2)加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) SUCCESS THANK YOU 2019/8/16 证明加法结合律: O a A C bBc 因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c), 所以 (a + b) + c = a + (b + c). 3.对空间向量的加减法的说明 (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然 成立. (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量 相加. 4.扩展 (1)首尾相接的若干向量之和,等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的量. 即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? An?1 An ? A1 An (2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? An A1 ? 0 例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量. (1)AB ? BC . ? AC (2)AB ? AD ? AA' . ? AC ? AA'  ? A C ? C C ' ? AC' D' A' D A C' B' C B 提升总结 始点相同的三个不共面向量之和,等于 以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的体对角线所表示的向量. (2)AB ? AD ? AA' . ? AC ? AA'  ? A C ? C C ' ? AC' D' A' D A C' B' C B 1.给出以下命题: (1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同. (2)若空间向量 a,b 满足 | a |?| b | ,则 a ? b . (3)在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,必有 AC = A1C1 . (4)若空间向量 m,n,p 满足 m = n,n = p , 则 m? p . (5)空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.给出以下几种说法: ①若| a |=| b |,则a , b 的长度相同,方 向相同或相反; ②若向量a 是向量 b 的相反向量,则|a |=|b |; ③空间向量的减法满足结合律; ④在四边形 ABCD 中,一定有A→B+A→D=A→C. 其中正确说法的序号是___②_______. 3.(2013·福建高二检测)空间两向量 a, b 互为 相反向量,已知向量| b |? 3 ,则下列结论正确的 是( D ) A. a ? b B. a ? b 为实数 0 C. a 与b 方向相同 D.| a |? 3 提升总结 1.两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向 不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件. 2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满 足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键. 一、回顾本节课你有什么收获? 1.空间向量的概念. 在空间,具有大小和方向的量. 2.空间向量的加减运算. 空间向量的加减运算:三角形法则和平行

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