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流体力学(刘鹤年第二版)1--11章课后答案


《流体力学第二版全章节答案

刘鹤年》

第一章
选择题(单选题) 1.1 按连续介质的概念,流体质点是指: (d) (a)流体的分子; (b)流体内的固体颗粒; (c)几何的点; ( d)几何尺寸同流动空间 相比是极小量,又含有大量分子的微元体。 1.2 1.3 作用于流体的质量力包括: (c) (a)压力; (b)摩擦阻力; (c)重力; (d)表面张力。 单位质量力的国际单位是: (d) (a)N; (b)Pa; (c) N / kg ; (d) m / s 2 。 1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是: (b) (a)剪应力和压强; (b)剪应力和剪应变率; (c)剪应力和剪应变; ( d)剪应力和流 速。 1.5 水的动力黏度μ随温度的升高: (b)

(a)增大; (b)减小; (c)不变; (d)不定。 1.6 流体运动黏度? 的国际单位是: (a) (a) m / s ; (b) N / m ; (c) kg / m ; (d) N ? s / m 。
2 2

2

1.7

无黏性流体的特征是: (c) (a)黏度是常数; (b)不可压缩; (c)无黏性; (d)符合 当水的压强增加 1 个大气压时,水的密度增大约为: (a) (a)1/20000; (b)1/10000; (c)1/4000; (d)1/2000。

p

?

? RT 。

1.8

1.9 水的密度为 1000 kg/m ,2L 水的质量和重量是多少? 解: m ? ?V ? 1000 ? 0.002 ? 2 (kg)

3

G ? mg ? 2 ? 9.807 ? 19.614 (N)
答:2L 水的质量是 2kg ,重量是 19.614N。 1.10 体积为 0.5 m 的油料,重量为 4410N,试求该油料的密度是多少? 解: ? ?
3

m G g 4410 9.807 ? ? ? 899.358 (kg/m3) V V 0.5

答:该油料的密度是 899.358kg/m3 。 1.11 某液体的动力黏度为 0.005 Pa ? s ,其密度为 850 kg / m ,试求其运动黏度。
3

解:? ?

? 0.005 ? ? 5.882 ?10?6 (m2/s) ? 850

答:其运动黏度为 5.882 ?10?6 m2 /s。

1.12

有一底面积为 60cm×40cm 的平板, 质量为 5Kg, 沿一与水平面成 20°角的斜面下滑, 平面与斜面之间的油层厚度为 0.6mm,若下滑速度 0.84 m / s ,求油的动力黏度 ? 。

0.6m m

Fs

T

U
20°

G G

解:平板受力如图。

U s G
沿 s 轴投影,有:

T

N

G ? sin 20 ? T ? 0

T ??
∴? ?

U

?

? A ? G ? sin 20

G ? sin 20 ? ? 5 ? 9.807 ? sin 20 ? 0.6 ?10?3 ? ? 5.0 ?10?2 ( kg m ?s ) U?A 0.6 ? 0.4 ? 0.84
?2

答:油的动力黏度 ? ? 5.0 ?10

kg

m ?s 。

1.13

为了进行绝缘处理, 将导线从充满绝缘涂料的模具中间拉过。 已知导线直径为 0.8mm; 涂料的黏度 ? =0.02 Pa ? s ,模具的直径为 0.9mm,长度为 20mm,导线的牵拉速度为

50 m / s ,试求所需牵拉力。

20mm
0 05mm

τ τ U U

解: ? ? ?

U

?

? 0.02 ?

50 ?1000 ? 20 (kN/m2) ? 0.9 ? 0.8? 2

T ? ? d ? l ?? ? ? ? 0.8 ?10?3 ? 20 ?10?3 ? 20 ? 1.01 (N)
答:所需牵拉力为 1.01N。 1.14 一圆锥体 绕其中 心轴作 等角速 度旋转 ? =16 rad / s ,锥体与固 定壁面 间的距离

? =1mm,用 ? =0.1 Pa ? s 的润滑油充满间隙,锥底半径 R=0.3m,高 H=0.5m。求作用
于圆锥体的阻力矩。

ω

R

解:选择坐标如图,在 z 处半径为 r 的微元力矩为 dM 。

H

δ

z

θ

o x

y

dM ? ? dA ? r ?
其中 r

?

r?

cos ? ? r

?

? 2? rdz

? ??

2? r 3?

?

?

H 2 ? R2 dz H

R

?z

H

H

∴M ?

?
0

H 2 ? R 2 2??? R3 3 ? ? 3 z dz H ? H

?
?

??? 3 ? R H 2 ? R2 2? ? ? 0.1?16 3
2 ?1?10
?3

? 0.3 ? 0.52 ? 0.32

? 39.568 ( N ? m ) 答:作用于圆锥体的阻力矩为 39.568 N ? m 。
1.15 活塞加压,缸体内液体的压强为 0.1Mpa 时,体积为 1000 cm ,压强为 10Mpa 时, 体积为 995 cm ,试求液体的体积弹性模量。 解: ?p ? ?10 ? 0.1? ?10 ? 9.9 (Mpa)
6
3

3

?V ? ? 995 ? 1000 ? ?10?6 ? ?5 ?10?6 (m3)
K ?? ?p 9.9 ?106 ?? ? 1.98 ?109 (pa) ?V V ?5 ?10?6 1000 ?10?6
9

答:液体的体积弹性模量 K ? 1.98 ?10 pa。

1.16

图示为压力表校正器,器内充满压缩系数为 k =4.75×10-10 m / N 的液压油,由手轮 丝杠推进活塞加压,已知活塞直径为 1cm,丝杠螺距为 2mm,加压前油的体积为 200mL,为使油压达到 20Mpa,手轮要摇多少转?

2

d
解:∵ K ? ?

?V V ?p

∴ ?V ? ? KV ?p ? ?4.75 ?10?10 ? 200 ?10?6 ? 20 ?106 ? ?1.9 ?10?6 (m3 ) 设手轮摇动圈数为 n ,则有 n ?

?
4

d 2 ? ?l ? ?V
?6

4 ? ? ?1.9 ?10 ? 4?V n? ? ? 12.10 圈 2 ? d ?l ? ? ?1?10?2 ?2 ? ? ?2 ?10?3 ?
即要摇动 12 圈以上。 答:手轮要摇 12 转以上。 1.17 图示为一水暖系统,为了防止水温升高时,体积膨胀将水管胀裂,在系统顶部设一膨 胀水箱。若系统内水的总体积为 8 m ,加温前后温差为 50℃,在其温度范围内水的 膨胀系数 ? V =0.00051/℃。求膨胀水箱的最小容积。
3

散热器

锅炉

解:∵ ?V ?

?V V ?T

∴ ?V ? ?VV ?T ? 0.00051? 8 ? 50 ? 0.204 (m3 ) 答:膨胀水箱的最小容积 0.204 m3 。 1.18 钢贮罐内装满 10℃的水,密封加热到 75℃,在加热增压的温度和压强范围内,水的 热膨胀系数 ? V =4.1×10-4 /℃,体积弹性模量 k =2×109 N / m ,罐体坚固,假设容积
2

不变,试估算加热后罐壁承受的压强。 解:∵ ?V ?

?V V ?T

∴自由膨胀下有: 又∵ K ? ? ∴ ?p ? ? K

?V ? ?V ?T V

?p ?V V

?V ? K ? ?V ? ?T ? 4.1?10?4 ? 2 ?109 ? ? 75 ? 10 ? ? 53.3 (Mpa) V

加热后,钢罐内的压强为 p ? p0 ? ?p ? 53.3 Mpa。设 p0 ? 0 (表压强) 。 答:加热后罐壁承受的压强是 53.3 Mpa。 1.19 汽车上路时,轮胎内空气的温度为 20℃,绝对压强为 395kPa,行驶后轮胎内空气的 的温度上升到 50℃,试求这时的压强。

395V1 p2V2 pV ?R? ? T 273 ? 20 273 ? 50 323 ? 395 假设 V1 ? V2 ,可解得 p ? p2 ? ? 435.4 (kPa) 293 答:这时的压强为 435.4 kPa。
解:设满足理想气体方程,则有:

第二章习题答案
选择题(单选题) 2.1 静止流体中存在: (a) (a)压应力; (b)压应力和拉应力; (c)压应力和剪应力; ( d)压应力、拉应力和剪 应力。 2.2 相对压强的起算基准是: (c) (a)绝对真空; (b)1 个标准大气压; (c)当地大气压; (d)液面压强。 2.3 金属压力表的读值是: (b) (a)绝对压强; (b)相对压强; (c)绝对压强加当地大气压; ( d)相对压强加当地大 气压。 2.4 某点的真空度为 65000Pa,当地大气压为 0.1MPa, 该点的绝对压强为: (d) (a)65000Pa; (b)55000Pa; (c)35000Pa; (d)165000Pa。 2.5 绝对压强 pabs 与相对压强 p 、真空度 pV 、当地大气压 pa 之间的关系是: (c) (a) pabs = p + pV ; (b) p = pabs + pa ; (c) pV = pa - pabs ; (d) p = pV + pV 。

2.6

在密闭容器上装有 U 形水银测压计,其中 1、2、3 点位于同一水平面上,其压强关系 为: (c )

3

2

1





(a) p1 > p2 > p3 ; (b) p1 = p2 = p3 ; (c) p1 < p2 < p3 ; (d) p2 < p1 < p3 。 2.7 用 U 形水银压差计测量水管内 A、B 两点的压强差,水银面高差 hp=10cm, p A - pB 为: (b)

A

B

(a)13.33kPa; (b)12.35kPa; (c)9.8kPa; (d)6.4kPa。 2.8 露天水池,水深 5 m 处的相对压强为: (b) (a)5kPa; (b)49kPa; (c)147kPa; (d)205kPa。 2.9 垂直放置的矩形平板挡水,水深 3m,静水总压力 P 的作用点到水面的距离 yD 为: (c )

hp
3m yD

(a)1.25m; (b)1.5m; (c)2m; (d)2.5m。 2.10 圆形水桶,顶部及底部用环箍紧,桶内盛满液体,顶箍与底箍所受张力之比为: (a) (a)1/2; (b)1.0; (c)2; (d)3。 2.11 在液体中潜体所受浮力的大小: (b) (a)与潜体的密度成正比; (b)与液体的密度成正比; (c)与潜体淹没的深度成正比; (d)与液体表面的压强成反比。 2.12 正常成人的血压是收缩压 100~120mmHg ,舒张压 60~90mmHg ,用国际单位制表示是 多少 Pa? 解:∵ 1 mm ?

101.325 ?10 3 ? 133.3 Pa 760

∴收缩压: 100 120 mmHg ? 13.33 kPa 16.00 kPa 舒张压: 60 90 mmHg ? 8.00 kPa 12.00 kPa 答 : 用 国 际 单位 制 表 示收 缩 压 : 100 120 mmHg ? 13.33 kPa

16.00 kPa ; 舒 张 压 :

60
2.13

mmHg ? 8.00 kPa 12.00 kPa。 90

密闭容器,测压管液面高于容器内液面 h =1.8m,液体的密度为 850kg/m3 ,求液面压 强。
p0

解: p0 ? pa ? ? gh ? pa ? 850 ? 9.807 ?1.8 相对压强为: 15.00 kPa。 绝对压强为: 116.33 kPa。 答:液面相对压强为 15.00 kPa,绝对压强为 116.33 kPa。 2.14 密闭容器, 压力表的示值为 4900N/m2 , 压力表中心比 A 点高 0.4m, A 点在水下 1.5m, , 求水面压强。

h

p0

1.5m 0.4m

A

解: p0 ? pa ? p ? 1.1? g

? pa ? 4900 ? 1.1?1000 ? 9.807
? pa ? 5.888 (kPa)
相对压强为: ?5.888 kPa。 绝对压强为: 95.437 kPa。 答:水面相对压强为 ?5.888 kPa,绝对压强为 95.437 kPa。

2.15

水箱形状如图所示, 底部有 4 个支座, 试求水箱底面上总压力和 4 个支座的支座反力, 并讨论总压力和支座反力不相等的原因。
1m
3m 1m

1m

3m

3m

解: (1)总压力: P Z ? A ? p ? 4 ? g ? 3 ? 3 ? 353.052 (kN) (2)支反力: R ? W总 ? W水 ? W箱 ? W箱 ? ? g ?1?1?1 ? 3 ? 3 ? 3?

? W箱 ? 9807 ? 28 ? 274.596 kN ?W箱
不同之原因:总压力位底面水压力与面积的乘积,为压力体 ?? g 。而支座反力与水体 重量及箱体重力相平衡,而水体重量为水的实际体积 ?? g 。 答:水箱底面上总压力是 353.052 kN,4 个支座的支座反力是 274.596 kN。 2.16 盛满水的容器, 顶口装有活塞 A , 直径 d =0.4m, 容器底的直径 D =1.0m, 高 h =1.8m, 如活塞上加力 2520N(包括活塞自重) ,求容器底的压强和总压力。

G d

A

D
解: (1)容器底的压强:

pD ? p A ? ? gh ? 2520
(2)容器底的总压力:

?
4

d2

? 9807 ?1.8 ? 37.706 (kPa) (相对压强)

PD ? ApD ?

?
4

D 2 ? pD ?

?
4

?12 ? 37.706 ?103 ? 29.614 (kN)

答:容器底的压强为 37.706 kPa,总压力为 29.614 kN。 2.17 用多管水银测压计测压,图中标高的单位为 m,试求水面的压强 p 0 。

h



1.4

1.2


解: p0 ? p4 ? ? 3.0 ? 1.4 ? ? g

? p5 ? ? 2.5 ? 1.4? ?Hg g ? ? 3.0 ? 1.4? ? g

? pa ? ? 2.3 ? 1.2? ?Hg g ? ? 2.5 ? 1.2 ? ? g ? ? 2.5 ? 1.4 ? ?Hg g ? ? 3.0 ? 1.4 ? ? g
? pa ? ? 2.3 ? 2.5 ? 1.2 ? 1.4 ? ?Hg g ? ? 2.5 ? 3.0 ? 1.2 ? 1.4 ? ? g
? pa ? ? ?? 2.3 ? 2.5 ? 1.2 ? 1.4 ? ?13.6 ? ? 2.5 ? 3.0 ? 1.2 ? 1.4 ? ? g ? ? ?g

? pa ? 265.00 (kPa)
答:水面的压强 p 0 ? 265.00 kPa。

2.18

盛有水的密闭容器,水面压强为 p 0 ,当容器自由下落时,求水中压强分部规律。

Δ

Δ

Δ Δ

Δ

p0

3.0 2.5



2.3

p0

g
解:选择坐标系, z 轴铅垂朝上。 由欧拉运动方程: f z ? 其中 f z ? ? g ? g ? 0 ∴

1 ?p ?0 ? ?z

?p ? 0, p ? 0 ?z

即水中压强分布 p ? p0 答:水中压强分部规律为 p ? p0 。 圆柱形容器的半径 R =15cm,高 H =50cm,盛水深 h =30cm,若容器以等角速度 ? 绕

2.19

z 轴旋转,试求 ? 最大为多少时不致使水从容器中溢出。

z ω

D

解:建立随圆柱容器一起转动的坐标系 oxyz , o 点在水面最低点。 则有: ? f x ?

?p ?0 ?x

? fy ?
? fz ?

?p ?0 ?y
?p ?0 ?z

即有: ? f x dx ? ? f y dy ? ? f z dz ? dp
2 2 其中: f z ? ? g ; f x ? r? cos ? ? x? ; f y ? r? sin ? ? y?

h

H
2

2

故有: dp ? ? x? 2 dx ? y? 2 dy ? gdz

?

?

p ? p0 ? ? ? gz ?

?? 2
2

?x

2

? y2 ?

p ? p0 ? ? gz ?

?? 2
2

r2

当在自由面时, p ? p0 ,∴自由面满足 z0 ? ∴ p ? p0 ? ? g ? z0 ? z ? ? p0 ? ? gh

?2
2g

r2

上式说明, 对任意点 ? x, y, z ? ? ? r , z ? 的压强, 依然等于自由面压强 p0 ? 水深 ? ? g 。 ∴等压面为旋转、相互平行的抛物面。 答: ? 最大为 18.67rad/s 时不致使水从容器中溢出。

2.20

装满油的圆柱形容器,直径 D =80cm,油的密度 ? =801 kg / m ,顶盖中心点装有真
3

空表,表的读值为 4900Pa,试求: (1)容器静止时,作用于顶盖上总压力的大小和 方向; (2)容器以角速度 ? =20 r / s 旋转时,真空表的读值不变,作用于顶盖上总压 力的大小和方向。

ρ油

ω
D
解: (1)∵ pv ? pa ? p? ? 4.9 kPa ∴相对压强 p ? p? ? pa ? ?4.9 kPa

P ? pA ? ?4.9 ?

? D2
4

? ?4.9 ?

?
4

? 0.82 ? ?2.46 (kN)

负号说明顶盖所受作用力指向下。 (2)当 ? ? 20 r/s 时,压强分布满足 p ? p0 ? ? gz ?

?? 2
2

?x

2

? y2 ?

坐顶中心为坐标原点,∴ ? x, y, z ? ? ? 0, 0, 0? 时, p0 ? ?4.9 kPa

? ? ?? 2 2 P ? ?? pdA ? ?? ? p0 ? ? gz ? x ? y 2 ?? dA ? 2 ? A A ?
2? D

?

??
0 0

2

? ?? 2 2 ? p ? r ? d? ? rdr ? 0 2 ? ?
2 2 D 2

?pr ?? 4 ? ? 2? ? 0 ? r ? 8 ? 2 ?0

?

? p0
4

D ?
2

?? 2 ?
64

D4

??

? ? 0.82
4

? 4.9 ?

? ? 202
64

? 0.84 ?

801 1000

? 3.98 (kN)
总压力指向上方。 答: (1)容器静止时,作用于顶盖上总压力的大小为 2.46 kN,方向向下; (2)容器以角速 度 ? =20 r / s 旋转时,真空表的读值不变,作用于顶盖上总压力为 3.98 kN,方向指向 上方。 绘制题图中 AB 面上的压强分布图。

2.21

A h1 h2 h2 h1 B B

A

A

h

B

解:

A
ρgh1 ρgh1 ρgh1

ρgh2

B

A
ρg(h2-h1)

ρg(h2-h1)

B
A

B
ρgh
2.22 河水深 H =12m,沉箱高 h =1.8m,试求: (1 )使河床处不漏水,向工作室 A 送压缩 空气的压强是多少?(2)画出垂直壁 BC 上的压强分布图。

H
B A

C

解: (1)当 A 室内 C 处的压强大于等于水压时,不会发生漏水现象。 ∴ p ? pC ? 12 ? ? g ? 117.684 kPa (2)BC 压强分布图为:

B

17.653

C
2.23

0

答:使河床处不漏水,向工作室 A 送压缩空气的压强是 117.684 kPa。 输水管道试压时,压力表的读值为 8.5at,管道直径 d =1m,试求作用在管端法兰堵 头上的静水总压力。

h

d
?
4

解: P ? p ? A ?

4 答:作用在管端法兰堵头上的静水总压力为 654.7 kN。
2.24

D 2 ? p ? 8.5 ? 98.07 ?1000 ?

?

?12 ? 654.7 (kN)

矩形平板闸门 AB ,一侧挡水,已知长 l =2m,宽 b =1m,形心点水深 hc =2m,倾角

? = 45? ,闸门上缘 A 处设有转轴,忽略闸门自重及门轴摩擦力,试求开启闸门所需
拉力 T 。

T

hc

A

b
B α
解: (1)解析法。

P ? pC ? A ? hC ? g ? bl ? 1000 ? 9.807 ? 2 ?1? 2 ? 39.228 (kN)

l

bl 3 I h 2 22 2 yD ? yC ? C ? C ? 12 ? ? ?2 2? ? 2.946(m) hC 12 ? 2 yC A sin ? sin 45 12 ? bl sin 45 sin ?
对 A 点取矩,当开启闸门时,拉力 T 满足:

P ? yD ? y A ? ? T ? l cos? ? 0
? ? hC l2 l ?? ? hC ? P ? ?? ? ? ? sin ? 12 ? hC ? sin ? 2 ? ? P ? ? yD ? y A ? ? ? sin ? ? T? ? ? l cos ? l ? cos ? ? ? l2 l? ? P ? ? 2? 2 ?1 ? 12 ? hC ? sin ? ? ? 12 ? ? 3.9228 ? l ? cos ? 2 ? cos 45

? 31.007 (kN) 当 T ? 31.007 kN 时,可以开启闸门。
(2)图解法。 压强分布如图所示:

T P2 P1 A

D1 D2 B
l ? pA ? ? hC ? sin 45 2 ? ? ? ? g ? 12.68 (kPa) ?

l ? ? pB ? ? hC ? sin 45 ? ? g ? 26.55 (kPa) 2 ? ?

P ? ? pA ? pB ? ?

lb ?12.68 ? 26.55? ? 2 ?1 ? ? 39.23 (kN) 2 2

对 A 点取矩,有 P 1 ? AD 1?P 2 ? AD2 ? T ? AB ? cos 45 ? 0

l 1 2 p A ? l ? b ? ? ? pB ? p A ? ? l ? ? b ? l 2 2 3 ∴T ? l ? cos 45 ? 12.68 ?1?1 ? ? 26.55 ? 12.68 ? ?1? cos 45 2 3

? 31.009 (kN) 答:开启闸门所需拉力 T ? 31.009 kN。
2.25 矩形闸门高 h =3m,宽 b =2m,上游水深 h1 =6m,下游水深 h2 =4.5m,试求: (1)作 用在闸门上的静水总压力; (2)压力中心的位置。

h1

解: (1)图解法。 压强分布如图所示:

h1 h2

h

p

h2

∵ p?? ?? h1 ? h ? ? ? h2 ? h ?? ? ?g

? ? h1 ? h2 ? ? g

? ? 6 ? 4.5? ?1000 ? 9.807

? 14.71 (kPa)
P ? p ? h ? b ? 14.71? 3 ? 2 ? 88.263 (kN)
合力作用位置:在闸门的几何中心,即距地面 (1.5m, ) 处。 (2)解析法。

b 2

P 1 ? p1 A ? ? g ? h 1 ? 1.5? ? hb ? ? 6 ? 1.5? ? 9807 ? 3 ? 2 ? 264.789 (kN)
bh3 I 1 ? 2 h2 ? yD1 ? yC 2 ? C ? 4.5 ? 12 ? ? 4.5 ? ? yC 2 A 4.5 ? bh 4.5 ? 12 ?
? 1 ? ? 20.25 ? 0.75? ? 4.667 (m) 4.5

P2 ? p2 A ? ? g ? h2 ? 1.5? ? hb ? 3 ? 9.807 ? 3 ? 2 ? 176.526 (kN)
yD 2 ? yC1 ? IC 1 ? 2 IC ? 1 2 ? ? yC1 ? ? ? ? 3 ? 0.75? ? 3.25 (m) yC1 A yC1 ? A? 3

合力: P ? P 1?P 2 ? 88.263 (kN) 合力作用位置(对闸门与渠底接触点取矩) :

yD P ? P 1 ?h 1 ? yD1 ? ? P 2 ? h2 ? yD 2 ?
yD ? P 1 ?h 1 ? yD1 ? ? P 2 ? h2 ? yD 2 ? P 264.789 ? ? 6 ? 4.667 ? ? 176.526 ? ? 4.5 ? 3.25? 88.263

?

? 1.499 (m)
答: (1)作用在闸门上的静水总压力 88.263 kN; (2)压力中心的位置在闸门的几何中心, 即距地面 (1.5m, ) 处。

b 2

2.26

矩形平板闸门一侧挡水,门高 h =1m,宽 b =0.8m,要求挡水深 h1 超过 2m 时,闸门 即可自动开启,试求转轴应设的位置 y 。

h1

h
解:当挡水深达到 h1 时,水压力作用位置应作用在转轴上,当水深大于 h1 时,水压力作用 位置应作用于转轴上,使闸门开启。

h? ? P ? ? h1 ? ? ? g ? hb ? 1.5 ?1000 ? 9.807 ?1? 0.8 ? 11.7684 (kPa) 2? ?

h? h2 12 ? yD ? ? h1 ? ? ? ? 1.5 ? ? 1.556 (m) h? 2? ? 1.5 ?12 ? ? h1 ? ? ?12 2? ?
∴转轴位置距渠底的距离为: 2 ? 1.556 ? 0.444 (m) 可行性判定:当 h1 增大时 yC ? ? h1 ?

? ?

IC h? ? 增大,则 y A 减小,即压力作用位置距闸门 2? C

形越近,即作用力距渠底的距离将大于 0.444 米。 答:转轴应设的位置 y ? 0.444 m。 2.27 折板 ABC 一侧挡水,板宽 b =1m,高度 h1 = h2 =2m,倾角 ? = 45? ,试求作用在折板 上的静水总压力。

y

A

h1

B

h2

α
解:水平分力:

? 2 ? 2? ?1000 ? 9.807 ?1 ? 78.456 (kN) h ?h (→) Px ? 1 2 ? ? g ? ? h1 ? h2 ? b ? 2 2
2

竖直分力:

1 ? ? Pz ? V ? ? g ? ? g ? h1h2 cot ? ? h1h2 cot ? ? b 2 ? ?
3 ? ? g ? h1h2 ? b 2 3 ? 1000 ? 9.807 ? ? 2 ? 2 ?1 2 ? 58.842 (kN) (↓)

P ? Px2 ? Py2 ? 98.07 (kN)
tan ? ? Pz P ? 0.75 , ? ? tan ?1 z ? 36.87 Px Px

答:作用在折板上的静水总压力 P ? 98.07 kN。 2.28 金属矩形平板闸门,门高 h =3m,宽 b =1m,由两根工字钢横梁支撑,挡水面与闸门 顶边齐平,如要求两横梁所受的力相等,两横梁的位置 y1 、 y 2 应为多少?

y1


h

y2



2 3h

y1 R1 y2

P R2

h 32 P ? ? ? g ? hb ? ?1000 ? 9.807 ? 1 ? 44.132 (kN) 静水总压力: 2 2
总压力作用位置:距渠底 h ? 1 (m) 对总压力作用点取矩,∵ R1 ? R2 ∴

1 3

2 4 2 h ? y1 ? y2 ? h , y1 ? y2 ? h 3 3 3

h12 h2 P ? gb ? ? gb 设水压力合力为 ,对应的水深为 h1 ; 2 4 2

∴ h1 ? ∴ y1 ?

2 h ? 2.1213 (m) 2

2 h1 ? 1.414 (m) 3 4 y2 ? h ? y1 ? 4 ? 1.414 ? 2.586 (m) 3

答:两横梁的位置 y1 ? 1.414 m、 y 2 ? 2.586 m。 一弧形闸门,宽 2m,圆心角 ? = 30? ,半径 R =3m,闸门转轴与水平齐平,试求作用 在闸门上的静水总压力的大小和方向。

2.29

A

R α

h

B
? R sin ? ? ? g ? b ? ? 3 ? sin 30 ? 解: (1)水平压力: Px ?
2 2

2

2

? 2 ? 9.807

? 22.066 (kN) (→)
(2)垂向压力: Pz ? V ? g ? ? g ? ? R 2 ?

? ?

1 1 ? ? R sin ? ? R cos ? ? 12 2 ?

? ? ? 32 32 ? 9.807 ? ? ? sin 30 cos 30 2 ? 12

? ??2 ?

? 7.996 (kN) (↑)
合力: P ?

Px2 ? Pz2 ? 22.0662 ? 7.9962 ? 23.470 (kN)
Pz ? 19.92 Px

? ? arctan

A

θ

P B
答:作用在闸门上的静水总压力 P ? 23.470 kN, ? ? 19.92 。 挡水建筑物一侧挡水,该建筑物为二向曲面(柱面) , z = ?x ,? 为常数,试求单位
2

2.30

宽度曲面上静水总压力的水平分力 Px 和铅垂分力 Pz 。

z

h

x
解: (1)水平压力: Px ?

h 1 ? ? ? g ? h ?1 ? ? gh 2 (→) 2 2
h

(2)铅垂分力: Pz ? ? g ?1?

? ? h ? z ?dx
0
h a

a

a ? ? ? ? g ? ? hx ? x3 ? 3 ?0 ?

? ?g

h? a h? ?h? ? ? a? 3 a?

?

2 h ? gh (↓) 3 a 2 h 1 。 ? gh2 ,铅垂分力 Pz ? ? gh 3 a 2

答:单位宽度曲面上静水总压力的水平分力 Px ?

2.31

半径为 R , 具有铅垂轴的半球壳内盛满液体, 求作用在被两个互相正交的垂直平面切 出的 1/4 球面上的总压力和作用点 D 的位置。

O D y
?
0 R

x

z
?
0 R 2 2 u ? R2 ? z 2 du ??2 zdz

? 解: (1) Px ? ? g zxdz ? ? g z R ? z dz ????
1 ? gR3 Px 3? 3 ? ? 形心坐标 zC ? 2 ?R ? gA 4R ?g ? 4 1 3 (2)同理,可求得 Py ? ? gR (↙) 3
(3) Pz ? V ? g ?

?g R

1 1 2 u du ? ? gR3 (→) ? 2 0 3

2

1 ?g 8 ? 0

? 2? R

?
0

? 1 R3 2 r sin ? ? d ? d ? dr ? ? g ? 4 ? ? ? ? cos? ? 0 2 ? 8 3 0

1 4 ? ? ? g ? ? R3 ? ? gR3 (↓) 8 3 6

P ? Px2 ? Py2 ? Pz2 ? 0.7045? gR3
在 xoy 平 行 平 面 的 合 力 为

2 ? gR3 , 在 与 x, y 轴 成 45 铅 垂 面 内 , 3

arctan

Pz ? 6 2? ? arctan ? arctan ? 48.00 Pxy 4 2 3

∴D 点的位置为: zD ? R sin 48.00 ? 0.743R

xD ? yD ? R cos 48.00 ?

2 ? 0.473R 2

答:作用在被两个互相正交的垂直平面切出的 1/4 球面上的总压力 P ? 0.7045? gR3 ,作用 点 D 的位置 xD ? yD ? 0.473R , zD ? 0.743R 。 2.32 在水箱的竖直壁面上,装置一均匀的圆柱体,该圆柱体可无摩擦地绕水平轴旋转,其 左半部淹没在水下,试问圆柱体能否在上浮力作用下绕水平轴旋转,并加以论证。

答:不能。因总水压力作用线通过转轴 o ,对圆柱之矩恒为零。 证明:设转轴处水深为 h0 ,圆柱半径为 R ,圆柱长为 b 。 则有 Px ? h0 ? ? g ? 2R ? b ? 2? gh0 Rb (→)

yDx ? h0 ?

I IC ,到转轴 o 的作用距离为 C 。 h0 A h0 A
3

即 yDo

b ? 2R ? R2 12 ? ? h0 ? 2 R ? b 3h0

Pz ? V ? g ?

? R2
2

? b ? ? g (↑)

到 o 轴的作用距离为

4R 3?

两力对 o 轴的矩为: Px ? yDx ? Pz ?

4R 3?

R2 ? R2 4R ? 2 ? gh0 Rb ? ? ? gb ? 3h0 2 3?
2 ?2 ? ? ? g ? R3b ? R3b ? 3 ?3 ?

?0
2.33 密闭盛水容器,水深 h1 =60cm, h2 =100cm,水银测压计读值 ?h =25cm,试求半径

R =0.5m 的半球形盖 AB 所受总压力的水平分力和铅垂分力。

h1

A

R

B

解: (1)确定水面压强 p0 。

? Hg ? ? p0 ? ?h ? ? Hg ? g ? ? g ? ?h ? ? h1 ? ? ? ?
? 1000 ? 9.807 ? ? 0.25 ?13.6 ? 0.6 ?

? 27.460 (kPa)
(2)计算水平分量 Px 。

Px ? pC ? A ? ? p0 ? h2 ? g ? ? ? R2
? ? 27.460 ? 1.0 ? 9.807 ? ? 0.52 ?

? 29.269 (kN)

h2

Δh

(3)计算铅垂分力 Pz 。

Pz ? V ? g ?

4? R3 1 4 ? ? ? 0.53 ? ? ?g ? ? 9.807 ? 2.567 (kN) 3 2 6

答:半球形盖 AB 所受总压力的水平分力为 29.269 kN,铅垂分力为 2.567 kN。 2.34 球形密闭容器内 部充满水, 已知测压管 水面标高 ?1 =8.5m ,球外自由水 面标高 (1)作用于半球连接螺栓上的总压 ? 2 =3.5m,球直径 D =2m,球壁重量不计,试求: 力; (2)作用于垂直柱上的水平力和竖向力。
Δ
1

解: (1)取上半球为研究对象,受力如图所示。

1

2

Pz
∵ Pz ? V ? g ?

T

? D2
4

? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? g

?

? ? 22
4

? ? 8.5 ? 3.5? ?1000 ? 9.807

Δ

2

Δ

Δ

? 154.048 (kN)
∴ T ? Pz ? 154.048 (kN) (2)取下半球为研究对象,受力如图。

Fx
2 2

?D ? ?2 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? g ? ? ?8.5 ? 3.5? ?1000 ? 9.807 ? 154.048 (kN) ∵ Pz? ? 4 4
Fz ? Pz? ? T ? ? 0
Fx ? Fy ? 0
答: (1)作用于半球连接螺栓上的总压力为 154.048 kN; (2)作用于垂直柱上的水平力和竖 向力 Fx ? Fy ? 0 。

2.35

极地附近的海面上露出冰山的一角,已知冰山的密度为 920 kg / m ,海水的密度为 1025 kg / m ,试求露出海面的冰山体积与海面下的体积之比。
3

Δ

Δ

1

2

T' Pz' Fy Fz

3

解:设冰山的露出体积为 V1 ,在水上体积为 V2 。 则有 ?V1 ? V2 ? ?冰 ? g ? V2 ?海水 ? g ∴ ?1 ?

?

?

V1 ? ?海水 ?? V2 ? ?冰

V1 ?海水 1025 ? ?1 ? ? 1 ? 0.114 V2 ?冰 920
答:露出海面的冰山体积与海面下的体积之比为 0.114 。

第三章习题答案
选择题(单选题) 3.1 用欧拉法表示流体质点的加速度 a 等于: (d)

(a) 3.2

d2r ?u ?u ; (b) ; (c) (u ??)u ; (d) + (u ??)u 。 2 dt ?t ?t

恒定流是: (b) (a)流动随时间按一定规律变化; (b)各空间点上的流动参数不随时间变化; (c)各 过流断面的速度分布相同; (d)迁移加速度为零。

3.3

一维流动限于: (c) (a)流线是直线; (b)速度分布按直线变化; (c)流动参数是一个空间坐标和时间变 量的函数; (d)流动参数不随时间变化的流动。

3.4

均匀流是: (b) (a)当地加速度为零; (b)迁移加速度为零; (c)向心加速度为零; ( d)合加速度为 零。

3.5

无旋流动限于: (c) (a)流线是直线的流动; (b)迹线是直线的流动; (c)微团无旋转的流动; (d)恒定 流动。

3.6

变直径管,直径 d1 =320mm, d 2 =160mm, 流速 v1 =1.5m/s。 v2 为: (c ) (a)3m/s; (b)4m/s; (c)6m/s; (d)9m/s。

2.36

已知速度场 u x =2 t +2 x +2 y , u y = t - y + z , u z = t + x - z 。试求点(2,2,1)在 t =3 时的加速度。

解: ax ?

?ux ?u ?u ?u ? ux x ? u y x ? uz x ?t ?x ?y ?z

? 2 ? ? 2t ? 2 x ? 2 y ? ? 2 ? ? t ? y ? z ? ? 2 ? 0
? 2 ? 6t ? 4 x ? 2 y ? 2 z

? 2 ? 3t ? 2 x ? y ? z ? 1?
ay ? ?u y ?t ? ux ?u y ?x ? uy ?u y ?y ? uz ?u y ?z

? 1 ? 0 ? ? t ? y ? z ? ? ? t ? x ? z ? ?1
? 1 ? x ? y ? 2z

az ?

?uz ?u ?u ?u ? ux z ? u y z ? uz z ?t ?x ?y ?z

? 1 ? ? 2t ? 2 x ? 2 y ? ? 0 ? ? t ? x ? z ?
? 1? t ? x ? 2 y ? z

ax ? 3, 2, 2,1? ? 2 ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1? ? 34 (m/s2) ay ? 3, 2, 2,1? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 (m/s2)

az ? 3, 2, 2,1? ? 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 1 ? 11 (m/s2)
2 2 a ? ax ? ay ? az2 ? 342 ? 32 ? 112 ? 35.86 (m/s2)

答:点(2,2,1)在 t =3 时的加速度 a ? 35.86 m/s2 。

3.8 已知速度场 u x = xy , u y =–

2

1 3 y , u z = xy 。试求: (1)点(1,2,3)的加速度; (2) 3

是几维流动; (3)是恒定流还是非恒定流; (4)是均匀流还是非均匀流。 解: (1) ax ?

?ux ?u ?u ?u 2 1 ? ux x ? u y x ? uz x ? xy 4 ? xy 4 ? 0 ? xy 4 ?t ?x ?y ?z 3 3

ay ?
az ?

?u y ?t

? ux

?u y ?x

? uy

?u y ?y

? uz

?u y

1 1 ? 0 ? 0 ? y5 ? 0 ? y5 ?z 3 3

?uz ?u ?u ?u 1 2 ? ux z ? u y z ? uz z ? 0 ? xy 3 ? xy 3 ? xy 3 ?t ?x ?y ?z 3 3

1 16 ax ?1, 2,3? ? ?1? 24 ? (m/s2) 3 3 1 5 32 (m/s2 ) a y ?1, 2,3? ? ? 2 ? 3 3 2 16 ax ?1, 2,3? ? ?1? 23 ? (m/s2) 3 3
2 2 a ? ax ? ay ? az2 ? 13.06 (m/s2)

(2)二维运动,空间点的运动仅与 x 、 y 坐标有关; (3)为恒定流动,运动要素与 t 无关; (4)非均匀流动。 3.9 管道收缩段长 l =60cm,直径 D =20cm, d =10cm,通过流量 Q =0.2 m / s ,现逐渐关闭 调节阀门,使流量成线性减小,在 20s 内流量减为零,试求在关闭阀门的第 10s 时,管轴线 上 A 点的加速度(假设断面上速度均匀分布) 。
3

D

l

l

解:解法一 流量函数: Q ? t ? ? 0.2 ? 直径函数: d ? x ? ? D1 ? ∴流速方程 ? 0

0.2 t ? 0.2 ?1 ? 0.05t ? 20

x x x? ? D1 ? d2 ? ? d2 ? ? ?1 ? ? D1 2l 2l ? 2l ?
4Q ? t ? ? d 2 ? x?

2l ? : u ? x, t ? ?
?u ?u ?u ?t ?x

加速度: a ? x, t ? ?

?

?Q 4Q ? ? 1 ? ? u ? ? ? d 2 ? x ? ?t ? ?x ? d 2 ? x ? ? 4

?

4

?d

2

? x?

? ? ?0.01? ? u

4Q

?

? ? ?1?

?d d ? x ? ?x 2
3

?

? 4Q 2 ? d 2 D1 ? ? ? 0.01 ? ? ?? ? ? d 2 ? x? ? ? d 3 ? x? ? l ?? ? l 4

? 4Q 2 ?10 ? ? D1 ? d 2 ? ? 对 A 点: a A ? a ? l ,10 ? ? ? ?0.01 ? ?? ? d 2 ?l ? ? ? d 3 ?l ? ? ? l ?? 4
d ?l ? ? d 2 ? D1 0.2 ? 0.1 ? ? 0.15 (m) 2 2

Q ?10 ? ? 0.1 (m3/s)
代入得: a A ?

4 ? ? 0.152

? 4 ? 0.12 ? 0.2 ? 0.1 ? ? ? 0.01 ? ? ? ? ? 35.01 (m/s2) ? ? ? 0.153 ? ? 0.6 ? ? ?

d

A

解法二近似解法

a?

?u ?u ?u ?t ?x ?u u2 ? u1 ? ?x 2l
(m)

在 t ? 10 (s)时, Q ? 0.1 (m3 /s) , d ?1 5 0 .



?u 4 ? 0.2 ? ?4 ? 0.01 1.78 ? ? ? ?? ?? 2 ? 2 ?t ? d ? 20 ? ?d ?
0.1? 4 40 ? ? ? 0.12 ? 0.1? 4 10 u1 ? ? ? ? 0.22 ? 0.1? 4 17.78 u? ? 2 ? ? 0.15 ? u2 ?

∴ aA ? ?

1.78 17.78 ? 40 ? 10 ? ? ? ? ? 44.47 (m/s2) ? ? 2l

答:在关闭阀门的第 10s 时,管轴线上 A 点的加速度为 35.01 m/s2 。 3.10 已知平面流动的速度场为 u x = a ,u y = b , a 、b 为常数,试求流线方程并画出若干条上 半平面( y >0)的流线。 解:∵

dx dy ? ux u y
∴ bdx ? ady ? 0

bx ? ay ? c



y?

b x ? c? 为线性方程 a

答:流线方程为 bx ? ay ? c 。

3.11 已知平面流动的速度场为 u x =– 程并画出若干条流线。 解: ∵

cy cx ,uy = 2 ,其中 c 为常数。试求流线方 2 x ?y x ? y2
2

dx dy ? ux u y

∴ cxdx ? cydy ? 0

x 2 ? y 2 ? c?2 为圆心在 ? 0, 0 ? 的圆族。

答:流线方程为 x 2 ? y 2 ? c?2 ,为圆心在 ? 0, 0 ? 的圆族。

3.12 已知平面流动的速度场为 u = (4 y ? 6 x)t i ? (6 y ? 9 x)t j 。求 t =1 时的流线方程,并画 出 1≤ x ≤4 区间穿过 x 轴的 4 条流线图形。 解:

?

?

?

dx dy ? ? 4 y ? 6x? t ?6 y ? 9x? t
当 t ? 1 秒时, ? 6 y ? 9 x ? dx ? ? 4 y ? 6 x ? ?y

3 ? 2 y ? 3x ? dx ? 2 ? 2 y ? 3x ? ?y ? 0
3dx ? 2dy ? 0
∴ 3x ? 2 y ? c 过 ?1, 0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 3 过 ? 2, 0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 6 过 ? 3, 0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 9 过 ? 4, 0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 12 答: t =1 时的流线方程为 3x ? 2 y ? c 。

3.13 不可压缩流体,下面的运动能否出现(是否满足连续性条件)? (1) u x =2 x ? y ; u y = x ? x( y ? 2 y)
2 2
3 2 2 (2) u x = xt ? 2 y ; u y = xt ? yt

(3) u x = y ? 2 xz ; u y = ? 2 yz ? x yz ; u z =
2
2

1 2 2 x z ? x3 y 4 2

解: (1)∵

?ux ?u y ? ? 4 x ? x ? 2 y ? 2? ? 0 ?x ?y
?ux ?u y ? ? t ?t ? 0 ?x ?y

∴不能出现。 (2)∵

∴能出现。

(3)∵

?ux ?u y ?uz ? ? ? 2z ? 2z ? x2 z ? x2 z ? 0 ?x ?y ?z
2

∴不能出现。 3.14 已知不可压缩流体平面流动, 在 y 方向的速度分量为 u y = y -2 x +2 y 。 试求速度在 x 方 向的分量 u x 。 解:∵

?ux ?u y ? ?0 ?x ?y


?ux ? ??2 ? 2y? ?x

∴ ux ? ? ? 2 ? 2 y ? x ? c ? y ? ? ?2 x ? 2 xy ? c ? y ? 答:速度在 x 方向的分量 ux ? ?2 x ? 2 xy ? c ? y ? 。 3.15 在送风道的壁上有一面积为 0.4 m 的风口,试求风口出流的平均速度 v 。
2

4m3/s
孔口

2.5m3/s 30° v

解:

∵ Q1 ? Q2 ? Q3

其中: Q1 ? 4 m3 /s, Q2 ? 2.5 m3 /s

∴ Q3 ? 4 ? 2.5 ? 1.5 (m3 /s)

1 Q3 ? A ? v ? sin 30 ? 0.4 ? ? v 2 1.5 ? 7.5 (m/s) ∴v ? 0.2 答:风口出流的平均速度 v ? 7.5 m/s。

? y? 3.16 求两平行平板间,流体的单宽流量,已知速度分布为 u = u max [1 ? ? ? ] 。式中 y =0 ?b?
为中心线, y = ? b 为平板所在位置, u max 为常数。
?b

2

解:单宽流量为: q ? 1.0 udy
?b

?

?b ? ? y ?2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? umax dy 0 ? ? ?b? ? ?

? 1 ? ? 2umax ?b ? b ? ? 3 ?

4 ? bumax 3
答:两平行平板间,流体的单宽流量为

4 bumax 。 3

3.17 下列两个流动,哪个有旋?哪个无旋?哪个有角变形?哪个无角变形? (1) u x =– ay , u y = ax ; u z =0 (2) u x =–

cy cx ,uy = 2 , u z =0 2 x ?y x ? y2
2

式中 a 、 c 是常数。 解: (1) ?t ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ? ? a ? a ? ? a 有旋。 2 ? ?x ?y ? 2
1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ? a ? a ? ? 0 无角变形。 2 ? ?x ?y ? 2

? yx ? ? xy ? ?
(2) ?t ?

1 ? ?u y ?ux ? ? ? ? 2 ? ?x ?y ?

2 2 2 2 2 2? ? 1 ? c ? x ? y ? ? 2cx ?c ? x ? y ? ? 2cy ? ? ? 2 2 2 2 2? x ? y ? ? ? x2 ? y 2 ? ? ? ?
2 2 2 2 1 2c ? x ? y ? ? 2c ? x ? y ? ? 2 2 ? x2 ? y 2 ?

? 0 无旋(不包括奇点 (0, 0) ) 。

2 2 2 2 1 ? ?u y ?ux ? 1 2c ? y ? x ? c ? y ? x ? ? yx ? ? xy ? ? ? ? ? 0 存在角变形运动。 ?? 2 2 ? ?x ?y ? 2 ? x 2 ? y 2 ?2 ? x2 ? y 2 ?

3.18 已知有旋流动的速度场 u x =2 y +3 z , u y =2 z +3 x , u z =2 x +3 y 。试求旋转角速度和 角变形速度。 解: ?x ?

1 ? ?uz ?u y ? 1 1 ? ? ? ? ?3 ? 2? ? 2 ? ?y ?z ? 2 2
1 ? ?u ?u ? 1 1

?y ? ? x ? z ? ? ?3 ? 2? ? 2 ? ?z ?x ? 2 2

?z ? ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 1 ? ? ? ?3 ? 2? ? 2 ? ?x ?y ? 2 2
3 2

2 ? ? ?x2 ? ? y ? ?z2 ?

? yx ? ? xy ? ?

1 ? ?u y ?ux ? 5 ? ?? 2 ? ?x ?y ? 2
?u ? 5

? zx ? ? xz ? ? z ? x ? ? 2 ? ?x ?z ? 2

1 ? ?u

? zy ? ? yz ? ?

1 ? ?uz ?u y ? 5 ? ?? 2 ? ?y ?z ? 2
5 1 ,角变形速度 ? yx ? ? zx ? ? yz ? 。 2 2

答:旋转角速度 ?x ? ? y ? ?z ?

第四章习题答案
选择题(单选题) 4.1 等直径水管,A-A 为过流断面,B-B 为水平面,1、2、3、4 为面上各点,各点的流动参 数有以下关系: (c)

A
1

B

4 3 2

B

A

(a) p1 = p2 ; (b) p3 = p4 ; (c) z1 +

p p p p1 = z2 + 2 ; (d) z3 + 3 = z4 + 4 。 ?g ?g ?g ?g

4.2 伯努利方程中 z +

p ? v2 + 表示: (a ) ? g 2g

(a)单位重量流体具有的机械能; (b)单位质量流体具有的机械能; (c)单位体积流体具 有的机械能; (d)通过过流断面流体的总机械能。 4.3 水平放置的渐扩管,如忽略水头损失,断面形心点的压强,有以下关系: (c)

1

2

p1
1
(a) p1 > p2 ; (b) p1 = p2 ; (c) p1 < p2 ; (d)不定。

p2
2

4.4 黏性流体总水头线沿程的变化是: (a) (a)沿程下降; (b)沿程上升; (c)保持水平; (d)前三种情况都有可能。 4.5 黏性流体测压管水头线的沿程变化是: (d) (a)沿程下降; (b)沿程上升; (c)保持水平; (d)前三种情况都有可能。 4.6 平面流动具有流函数的条件是: (d) 无黏性流体; (b)无旋流动; (c)具有速度势; (d)满足连续性。

d B =0.4m, 4.7 一变直径的管段 AB , 直径 d A =0.2m, 高差 ?h =1.5m, 今测得 p A =30 kN / m ,
2

p B =40 kN / m 2 , B 处断面平均流速 v B =1.5 m / s . 。试判断水在管中的流动方向。


Δh

× A

解:以过 A 的水平面为基准面,则 A、B 点单位重量断面平均总机械能为:

H A ? zA ?

2 p A ? Av A 30 ?103 1.0 ?1.52 ? 0.4 ? ? ? 0? ? ?? ? ? 4.89 (m) ? g 2g 1000 ? 9.807 2 ? 9.807 ? 0.2 ?

4

2 pB ? B vB 40 ?103 1.0 ?1.52 H B ? zB ? ? ? 1.5 ? ? ? 5.69 (m) ? g 2g 1000 ? 9.807 2 ? 9.807

∴水流从 B 点向 A 点流动。 答:水流从 B 点向 A 点流动。 4.8 利用皮托管原理,测量水管中的点速度 v 。如读值 ?h =60mm,求该点流速。



u

Δh



解: u ?

2 ? ?p

?

?

2 g ? ? Hg ? ? ? ?h

?

? 2 ? 9.807 ? 12.6 ? 60 ? 10?3 ? 3.85 (m/s)

答:该点流速 u ? 3.85 m/s。 4.9 水管直径 50mm,末端阀门关闭时,压力表读值为 21 kN / m 。阀门打开后读值降至
2

5.5 kN / m ,如不计水头损失,求通过的流量。

2

p 21?103 解: (1)水箱水位 H ? z ? ? 0? ? 2.14 (m) ?g 1000 ? 9.807
(2)阀门开启后,从水箱液面到仪表处列伯努利方程,可得: H ?

p v2 ? ? g 2g

∴v ?

? ? p ? 5.5 ?103 ? 2g ? H ? ? 2 ? 9.807 ? 2.14 ? ? ? ? 5.57 (m/s) ?g ? 1000 ? 9.807 ? ? ? ?

Q ? vA ? 5.57 ?

? ? 0.052
4

? 0.011 (m3/s)

答:通过的流量 Q ? 0.011 m3 /s。

4.10 水在变直径竖管中流动,已知粗管直径 d 1 =300mm,流速 v1 =6 m / s 。为使两断面的压 力表读值相同,试求细管直径(水头损失不计) 。

d1

3m

d2

解:以过下压力表处的水平面为基准面,列伯努利方程如下:

z1 ?

p1 ?1v12 p ? v2 ? ? z2 ? 2 ? 2 2 ? hw1?2 ? g 2g ? g 2g

∵ hw1?2 ? 0 , z1 ? 3 m, z2 ? 0 取 ?1 ? ? 2 ,当 p1 ? p2 时,有:
2 v2 ? 2 gz1 ? v12 ? 2 ? 9.807 ? 3 ? 62 ? 94.842

v2 ? 9.74 (m/s)
由连续性方程 v2 A2 ? v1 A1 ∴ d 2 ? d1

v1 6 ? 300 ? ? 235.5 (mm) v2 9.74

答:细管直径为 235.5 mm。 4.11 为了测量石油管道的流量,安装文丘里流量计,管道直径 d 1 =200mm,流量计喉管直径

d 2 =100mm,石油密度 ? =850 kg / m 3 ,流量计流量系数 ? =0.95。现测得水银压差计读书
h p =150mm,问此时管中流量 Q 是多少。

d1

d2

hp

解: Q ? ? K ? ?

? ? Hg ? ?油

? ? 1? ? hp ?

? d12

其中: ? ? 0.95 ; K ? 4 ? 4 ? d1 ? ? ? ?1 ? d2 ?

? 2g

? ? 0.22
4

? 2 ? 9.807
4

? 0.2 ? ? ? ?1 ? 0.1 ?

? 0.0359

hp ? 0.15 (m)

? ? Hg ? Q ? ?K ? ? ? ? 1? ? hp ? ? K ? 油 ?

? ? Hg ?水 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? hp ? 水 油 ?

1000 ? ? ? 0.95 ? 0.0359 ? ?13.6 ? ? 1? ? 0.15 850 ? ?

? 0.0511575 (m3/s) ? 51.2 (l/s)
答:此时管中流量 Q ? 51.2 l/s。

4.12 水箱中的水从一扩散短管流到大气中,直径 d 1 =100mm,该处绝对压强 直径 d 2 =150mm,试求水头 H ,水头损失忽略不计。

p1 =0.5 大气压,

H

解: (1)以出水管轴线为基准面,列管径 d1 与 d 2 处的伯努利方程,可得:
2 p1 ?1v12 p2 ? 2v2 ? ? ? ? g 2g ? g 2g

取 ?1 ? ? 2 ? 1.0 , p2 ? 0 , p1 ? ?0.5 ?101.325 ? ?50.663 kPa
2 ∵ v12 ? v2 ??

2 p1

?

?? d ?4 ? 2 ? 50.663 ?103 ? 101.325 ∴ v ?? 2 ? ? 1? ? d1 ? ? ? ? ? ? ?
2 2

? ? ? ? 101.325 ? ? v2 ? ? ? 0.15 ?4 ? ?? ? ? 1? ? ? 0.1 ? ?

1

2

? 4.994 (m/s)

(2)从液面到短管出口列能量(伯努利)方程。

H?

2 v2 4.9942 ? ? 1.27 (m) 2 g 2 ? 9.807

答:水头 H ? 1.27 m。 4.13 离心式通风机用集流器 A 从大气中吸入空气,直径 d =200mm 处接一根细玻璃管,已 知管中的水上升 H =150mm,求进气流量(空气的密度 ? =1.29 kg / m ) 。
3

d1

d2

A

d

H

解: 以集流器轴线的水平面为基准面, 从距进口一定距离的水平处列到测管处的伯努利方程, 可得:

pa pH ? v 2 不计损失,取 ? ? 1.0 ? ? ? g ? g 2g
∴v ?

2 ? pa ? pH ?

?

其中 pa ? 0 ,则 pH ? ? H ? ?水 g ∴v ?

2 Hg ?水

?

? 2 ? 0.15 ? 9.807 ?

1000 ? 47.76 (m/s) 1.29

Q ? vA ? 47.76 ?

?
4

? 0.22 ? 1.5 (m3/s)

答:进气流量 Q ? 1.5 m3 /s。 4.14 一吹风装置,进排风口都直通大气,风扇前、后断面直径 d 1 = d 2 =1m ,排风口直径

d 3 =0.5m,已知排风口风速 v3 =40 m / s ,空气的密度 ? =1.29 kg / m 3 ,不计压强损失,试
求风扇前、后断面的压强

p1 和 p 2 。

d2

解:以过轴线的水平面为基准面,以 d 2 及 d 3 截面列伯努利方程:
2 p ? v2 p2 ? 2v2 ? ? 3 ? 3 3 ? g 2g ? g 2g

d32 其中 p3 ? 0 , v3 ? 40 (m/s) , ? 2 ? ?3 ? 1.0 , v2 ? v3 ? 2 d2

?d ? ?1 ? ? 3 ? ∴ p2 ? ? v ? v ? ? 2 2 ? ? d2 ? ?

?

2 3

2 2

2 ? ? v3

4

? 1.29 ? ? 0.5 ?4 ? ?? ? 402 ? ?1 ? ? ? ? ? 967.5 (Pa) 2 1.0 ? ? ? ? ? ? ? ?

从大气到 d1 断面,列伯努利方程:

0?

pa p ? v2 ? 0? 1 ? 1 1 ?g ? g 2g

d32 其中 ?1 ? 1.0 , pa ? 0 (相对压强) , v1 ? v2 ? v3 ? 2 d2
1.29 ? 0.5 ? ∴ p1 ? ? v ? ? ? 402 ? ? ? ? ?64.5 (Pa) 2 2 ? 1.0 ?
2 1

?

4

答:风扇前、后断面的压强 p1 ? ?64.5 Pa,

p 2 ? 967.5 Pa。 f ?t ? 。

4.15 两端开口的等直径 U 形管,管内液柱长度为 L ,使液面离开平衡位置而造成液 柱振荡,水头损失忽略不计,求液柱的振荡方程 z =

d3

d1

2 0 z 1 1

2 z 0

解:取 0-0 断面为基准面,由非恒定流的伯努利方程:
2 p1 u12 p2 u2 1 ?u z1 ? ? ? z2 ? ? ? ? dl ? g 2g ? g 2 g g 0 ?t L

∵ z1 ? ? z , z2 ? z , p1 ? p2 ? 0 , u1 ? u2 ∴ ?2 z ?

1 ?u L ?u dl ? ? g ?t 0 g ?t

L



?u ?2 gz ? ?t L

∵ u ? z, t ? ? u ? t ?

u ?t ? ?

dz dt

d 2z 2g z ∴ 2 ?? dt L
令 z ? c cos ?t ,则 ? ?

2g L

z ? z0 cos

? 2g ? ? 2g t ? z0 sin ? ? L t? 2? ? L ? ? ? 2g ? ? 2g t ? z0 sin ? ? L t? 2? ?。 L ? ?

答:液柱的振荡方程 z ? z0 cos

4.16 水力采煤用水枪在高压下喷射强力水柱冲击煤层,喷嘴出口直径 d =30mm,出口水流 速度 v =54 m / s ,求水流对煤层的冲击力。

解:取控制体如图,受力如图。

v2

v Pa Pa

F

v1

?Q ? v2 ? v ? ? ? F
∴ F ? ? Qv ? ?

?d2
4

? v2 ?

? ? 0.032
4

?1000 ? 542 ? 2.061 (kN)

水流对煤层的作用力与 F 构成作用力与反作用力,大小为 2.061 kN,方向向右。 答:水流对煤层的冲击力 F ? 2.061 kN,方向向右。 4.17 水由喷嘴射出,已知流量 Q =0.4 m / s ,主管直径 D =0.4 m / s ,喷口直径 d =0.1m, 水头损失不计,求水流作用在喷嘴上的力。
3

d

解: (1)取过轴线的水平面为基准面,列螺栓断面与出口断面的伯努利方程:

D

p1 ?1v12 ? v2 ? ? 0? 2 2 ? g 2g 2g
?d ? ?1 ? ? 1 ? ∴ p1 ? ? v ? v ? ? 2 2 ? ? d2 ? ?

?

2 2

2 1

2 ? ? v2

4

? ? ? ?

?

1000 ? ? 50.932 ? 3.182 ? ? 1291.854 (kPa) 2

v1 ?

Q 0.4 ? 4 ? ? 3.18 (m/s) A1 ? ? 0.42 Q 0.4 ? 4 ? ? 50.93 (m/s) A2 ? ? 0.12

v2 ?

(2)取控制体如图所示,列动量方程。

p1 v1 F
?Q ? v2 ? v1 ? ? p1 A1 ? F
∴ F ? p1 A1 ? ?Q ? v2 ? v1 ?

p2

v2

? 1291.854 ?

? ? 0.42
4

? 1? 0.4 ? ? 50.93 ? 3.18? ? 143.239 (kN)

答:水流作用在喷嘴上的力为 143.239 kN。 4.18 闸下出流, 平板闸门宽 b =2m, 闸前水深 h1 =4m, 闸后水深 h2 =0.5m, 出流量 Q =8 m / s , 不计摩擦阻力,试求水流对闸门的作用力,并与按静水压强分布规律计算的结果相比较。
3

h1

解: (1)由连续方程 Q ? h1 ? b ? v1 ? h2 ? b ? v2 ∴ v1 ?

Q 8 ? ? 1 (m/s) h1b 2 ? 4

v2 ?

Q 8 ? ? 8 (m/s) h2b 2 ? 0.5

(2)由动量方程,取控制体如图。

h2
P1 v1 F P2 v2
?Q ? v2 ? v1 ? ? p1 A1 ? p2 A2 ? F

∴F ?

h1 h ? g ? h1b ? 2 ? g ? h2b ? ?Q ? v2 ? v1 ? 2 2

? h2 h2 ? ? ? 1 ? 2 ? ? gb ? ? Q ? v2 ? v1 ? ? 2 2?
? 42 0.52 ? ? 1000 ? 9.807 ? 2 ? ? ? ? ? 1000 ? 8 ? ?8 ? 1? 2 ? ? 2

? 98.46 (kN) 1 1 2 F静 ? ? 4 ? 0.5? ? ? g ? b ? ?1000 ? 9.807 ? 3.52 ? 2 ? 120.14 (kN) 2 2
答:水流对闸门的作用力 F ? 98.46 kN,按静水压强分布规律计算的结果 F静 ? 120.14 kN。

4.19 矩形断面的平底渠道,其宽度 B 为 2.7m,渠底在某断面处抬高 0.5m,该断面上 游的水深为 2m,下游水面降低 0.15m,如忽略边壁和渠底阻力,试求: (1)渠道的 流量; (2)水流对底坎的冲力。

2.0m

解: (1)以上游渠底为基准面,列上、下游过水断面的能力方程:

z1 ?

p1 ?1v12 p ? v2 ? ? z2 ? 2 ? 2 2 ? g 2g ? g 2g

其中: p1 ? p2 ? pa ? 0 , z1 ? 2.0 m, z2 ? 2.0 ? 0.15 ? 1.85 m

v1 ?

Q Q Q Q ? ? , v2 ? A1 Bh1 A2 Bh2

h1 ? 2.0 m, h2 ? 2.0 ? 0.15 ? 0.5 ? 1.35 m

0.5m

0.15m

∴ v2 ? v1 ? Q ?
2 2 2

? 1 1 ? ? 2 2 ? ? ? z1 ? z2 ? ? 2 g 2 2 ? B h2 B h1 ?
? ? ? ? ? ?
1 2

? ? 2g ? z ? z ? 1 2 Q?? 1 1 ? ? 2 2 2 2 ? ? B h2 B h1

? ? 2 ? 2g ? z ? z ? ? 1 2 ? ? Bh2 ?? 2 ? 1 ? ? h2 ? ? ? ? ? ? ? h1 ? ? ?
1 2

1

? ? 2 ? 9.807 ? 0.15 ? ? ? 2.7 ?1.35 ? ? 2 ? 1 ? 1.35 ? ? 2 ? ? ? 8.47 (m3/s)

?

?

v1 ?

Q Q 8.47 ? ? ? 1.57 (m/s) A1 Bh1 2.7 ? 2 Q Q 8.47 ? ? ? 2.32 (m/s) A2 Bh2 2.7 ?1.35

v2 ?

(2)取控制体如图,列动量方程.

P1 v1 F
?Q ? v2 ? v1 ? ? p1 A1 ? p2 A2 ? F
∴ F ? p1 A1 ? p2 A2 ? ?Q ? v2 ? v1 ?

P2 v2

?

h12 h2 ? gB ? 2 ? gB ? ?Q ? v2 ? v1 ? 2 2

2 ? h2 ? h2 ? ? ? gB ? 1 ? ? ? Q ? v2 ? v1 ? ? 2 ?

? 22 ? 1.352 ? ? 1000 ? 9.807 ? 2.7 ? ? ? ? 1000 ? 8.47 ? ? 2.32 ? 1.57 ? 2 ? ?

? 22.48 (kN)
答: (1)渠道的流量 Q ? 8.47 m3 /s; (2)水流对底坎的冲力 F ? 22.48 kN。

4.20 下列不可压缩流体、平面流动的速度场分别为: (1) u x = y ; u y = ? x (2) u x = x ? y ; u y = x ? y (3) u x = x 2 ? y 2 ? x ; u y = ?(2 xy ? y) 试判断是否满足流函数? 和流速势 ? 的存在条件,并求? 、 ? 。 解: (1)∵

?ux ?u y ? ? 0 ,满足连续方程,流速数? 存在。 ?x ?y
1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? 1? ? ?1 ,有旋,故 ? 不存在。 2 ? ?x ?y ? 2

又∵ ?z ?



?? ?? ? ?u y ? x ? ux ? y , ?x ?y

d? ?

?? ?? dx ? dy ? xdx ? ydy ?x ?y
1 2 x ? y2 ? ? c ? 2

∴流速数? ?

(2)∵

?ux ?u y ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ,流动不存在。 ?x ?y
?ux ?u y ? ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ? 0 ,故流速数存在。 ?x ?y
1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ? ? ?2 y ? 2 y ? ? 0 ,有旋,故存在势函数 ? 。 2 ? ?x ?y ? 2

(3)∵

又∵ ?z ?

流函数? 与势函数 ? 满足:

? ?? ?? 2 2 ? ?x ? ?y ? u x ? x ? y ? x ? ? ? ?? ? ? ?? ? u ? ? ? 2 xy ? y ? y ? ?x ? ?y
解得: ? ? x, y ? ?

1 3 1 x ? xy 2 ? x 2 ? c ? y ? 3 2

?? dc ? ?2 xy ? ? ?2 xy ? y ?y dy
∴ c? y? ? ?

1 2 y ? c0 2

? ? x3 ? xy 2 ?
又可解得:? ? x 2 y ? ∵

1 3

x2 ? y 2 ? c0 2

?? dc? ? ?u y ? 2 xy ? y ? 2 xy ? y ? ?x dx dc? ∴ ? 0 , c? ? c1 dx 1 ∴? ? x 2 y ? y 3 ? xy ? c1 3
4.21 已知平面流动的速度为直线分布, 若 y0 =4m,u0 =80 m / s , 试求: (1) 流函数 ? ; (2) 流动是否为有势流动。

1 3 y ? xy ? c? ? x ? 3

y u0

y0

o
解:已知 ux ? cy ,当 y ? y0 ? 4 m, ux ? 80 m/s。 ∴ c ? 20 (s-1 ) , ux ? 20 y 由连续性条件: ∴ uy ? 0

x

?u y ?ux ?u y ?0 ? ? 0 ,∴ ?y ?x ?y

d? ?

?? ?? dx ? dy ? ?u y dx ? ux dy ? 0dx ? 20 ydy ?x ?y

∴? ? 10 y 2 ? c ,当 y ? 0 时,? ? 0 。 ∴? ? 10 y 2 ∵ ?z ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 -1 ? ? ? ? ? 0 ? 20 ? ? ?10 (s ) 2 ? ?x ?y ? 2

∴流动有旋。 答: (1)流函数? ? 10 y 2 ; (2)流动有旋。

4.22

已知平面无旋流动的速度为速度势 ? ?

2x ,试求流函数和速度场。 x ? y2
2

解:∵

?? ?? ?? ?? ; ?? ? ?y ?x ?y ?x

2 2 2 2 ? x2 ? y 2 ? ?? 2 ? x ? y ? ? 4 x ∴ ? ?? 2 2 ?y ? x2 ? y 2 ? ? x2 ? y 2 ?

?? 4 xy ?? 2 ?x ? x2 ? y 2 ?

2 ? x2 ? y 2 ? ?? ?? 4 xy ux ? ?? ; uy ? ?? 2 2 ?x ?y ? x2 ? y 2 ? ? x2 ? y 2 ?
4 xydx ? 2 ? x 2 ? y 2 ? dy ?? ?? d? ? dx ? dy ? ? 2 ?x ?y ? x2 ? y 2 ?

??
∴? ?

?x

4 xy
2

? y2 ?

2

dx ?

2 ? x2 ? y 2 ?

?x

2

? y2 ?
2

2

dy

y ? const

?

?

?x

4 xy
2

? y2 ?
?

2

dx ?
?

x ? const

?

x 2 ? 2 xy ? y 2 ? x 2 ? 2 xy ? y 2

? x ? y? ? x ? y?
1
2 2

2

dy

?

2y x ? y2
2

y ? const

x ? const

? ? ? x ? y ? ? ? x ? y? ? ?

1

? ?dy ? ?

?

2y 2y ? 2 2 x ?y x ? y2
2

2 ? x2 ? y 2 ? ?? ?? 4 xy 答:流函数? ? 0 ;速度场 u x ? , uy ? 。 ?? ?? 2 2 2 2 ?x ?y ?x ? y ? ? x2 ? y 2 ?
已知平面无旋流动的流函数? ? xy ? 2 x ? 3 y ? 10 ,试求速度势和速度场。

?0

4.23

解: u x ? ∵

?? ?? ? ?y ? 2 ? x ? 3 , uy ? ? ?x ?y

1 ?? ? ux ? x ? 3 ,∴ ? ? x 2 ? 3x ? c ? y ? 2 ?x

?? dc ?1 ? ? ? ? ? y ? 2 ? ,∴ c ? y ? ? ? ? y 2 ? 2 y ? ?y dy ?2 ?
∴ ? ? x, y ? ? 答: ? ?

1 2 1 1 x ? 3 x ? y 2 ? 2 y ? ? x 2 ? y 2 ? ? 3x ? 2 y 2 2 2

1 2 x ? y 2 ? ? 3x ? 2 y ; ux ? x ? 3 , u y ? ? y ? 2 。 ? 2

4.24

已知平面无旋流动的速度势 ? ? arctan ?

? y? ? ,试求速度场。 ?x?

?? 解: u x ? ? ?x

y x2 ? ? y 2 x2 ? y 2 ? y? 1? ? ? ?x? ?

1 ?? x x uy ? ? ? 2 2 ?y x ? y2 ? y? 1? ? ? ?x?
无穷远处有一速度为 u0 的均匀直线来流,坐标原点处有一强度为 ?q 的汇流,试求两 个流动叠加后的流函数,驻点位置以及流体流入和流过汇流的分界线方程。 解:无穷远均匀直线流的速度势为:在 x 方向的流速为 U 0 , y 方向为零。

4.25

?1 ? U 0 x ,? 1 ? U 0 y
在原点的汇流为: ?2 ? ?

q q ln x 2 ? y 2 ,? 2 ? ? ? 2? 2?

q ln ? x 2 ? y 2 ? 4? q q y ? ? U0 y ? ? ? U0 y ? arctan 2? 2? x q y 零流线方程: U 0 y ? arctan ? 0 2? x ? ? 1 ? ? ?? q x ? ? ? U0 ? ?0 驻点位置: 2 ?y y ?0, x ? xs ? 2? ? y? ? 1? ? ? ? ? ? x ? ? y ?0, x ? x ?
∴ ? ? ?1 ? ?2 ? U 0 x ?
s

U0 ?

xs q q ? 0 ? xs ? 2 2 2? xs ? y 2? U 0

∴过 ? xs , 0 ? 的流线方程为? ? 0 即 U0 y ?

q y arctan ? 0 2? x

答:流函数? ? U 0 y ? 方程 U 0 y ?

q y q ,流体流入和流过汇流的分界线 arctan ,驻点位置 xs ? 2? x 2? U 0

q y arctan ? 0 。 2? x

第五章习题答案
选择题(单选题) 5.1 速度 v ,长度 l ,重力加速度 g 的无量纲集合是: (b)

(a) 5.2

v2 lv v l ; (b) ; (c ) ; (d) 。 gl gv gl g

速度 v ,密度 ? ,压强 p 的无量纲集合是: (d) (a)

?p
v

; (b)

pv 2 ?v p ; (c ) ; (d) 。 ? ?v2 p

5.3

速度 v ,长度 l ,时间 t 的无量纲集合是: (d) (a)

v t l l ; (b) ; (c ) 2 ; (d) 。 vt vl vt lt

5.4

压强差 p ,密度 ? ,长度 l ,流量 Q 的无量纲集合是: (d)

(a)

?Q
pl
2

; (b)

?l
pQ
2

; (c )

plQ

?

; (d)

? Q
p l2



5.5

进行水力模型实验,要实现明渠水流的动力相似,应选的相似准则是: (b) (a)雷诺准则; (b)弗劳德准则; (c)欧拉准则; (d)其他。

5.6

进行水力模型实验,要实现有压管流的动力相似,应选的相似准则是: (a) (a)雷诺准则; (b)弗劳德准则; (c)欧拉准则; (d)其他。

5.7

雷诺数的物理意义表示: (c) (a)粘滞力与重力之比; (b)重力与惯性力之比; (c)惯性力与粘滞力之比; (d)压 力与粘滞力之比。

5.8

明渠水流模型实验,长度比尺为 4,模型流量应为原型流量的: (c) (a)1/2; (b)1/4; (c)1/8; (d)1/32。

5.9

压力输水管模型实验,长度比尺为 8,模型水管的流量应为原型输水管流量的: (c) (a)1/2; (b)1/4; (c)1/8; (d)1/16。

5.10

假设自由落体的下落距离 s 与落体的质量 m、重力加速度 g 及下落时间 t 有关,试用 瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。

解:

∵ s ? Km? g ? t ?

? s ? ? L ; ? m? ? M ; ? g ? ? T ?2 L ; ?t ? ? T
∴有量纲关系: L ? M ? T ?2 ? L? T ? 可得: ? ? 0 ; ? ? 1 ; ? ? 2 ∴ s ? Kgt 2 答:自由落体下落距离的关系式为 s ? Kgt 2 。 5.11 水泵的轴功率 N 与泵轴的转矩 M 、角速度 ? 有关,试用瑞利法导出轴功率表达式。 解: 令 N ? KM ?
? ?

量纲: ? N ? ? MLT LT ; ? M ? ? ML T
?2 ?1
2

?2

; ?? ? ? T

?1

∴ ML T

2

?3

? M ? L2? T ?2? ? T ? ?

可得: ? ? 1 , ? ? 1 答:轴功率表达式为 N ? KM ? 。 5.12 水中的声速 a 与体积模量 K 和密度 ? 有关,试用瑞利法导出声速的表达式。 解: ∴ N ? KM ?

a ? ?K? ? ?

量纲: ? a ? ? LT ; ? K ? ? ML T
?1 ?1

?2

; ? ? ? ? ML

?3

∴有 LT ?1 ? M ? L?? T ?2? M ? L?3?

?1 ? ?? ? 3? ? ??1 ? ?2? ?0 ? ? ? ? ?
∴a ? ?

?

1 ? ?? ? ? 2 ? ?? ? ? 1 ? ? 2

K

?

其中 ? 为无量纲系数。

答:声速的表达式为 a ? ?

K

?



5.13 受均布载荷的简支梁最大挠度 ymax 与梁的长度 l , 均布载荷的集度 q 和梁的刚度 EI 有 关,与刚度成反比,试用瑞利法导出最大挠度的关系式。 解:
? ? ym a x? k l q

EI

k 为系数。
?2

量纲: ? ymax ? ? L ; ?l ? ? L ; ? q ? ? MT ∴有 L ? L M T
? ?
?2 ?

; ? I ? ? L ; ? E ? ? ML T
4 ?1

?2

ML3T ?2

可得: ? ? 4 , ? ? 1 ∴ ymax ?

kl 4 q

EI kl 4 q EI


答:最大挠度的关系式为 ymax ?

5.14 薄壁堰溢流,假设单宽流量 q 与堰上水头 H 、水的密度 ? 及重力加速度 g 有关, 试用瑞利法求流量 q 的关系式。

解:

? q? kg ?

?

H?
2 ?1

量纲: ? q ? ? L T

H

; ? g ? ? LT

?2

; ? H ? ? L ; ? ? ? ? ML

?3

故有 L2T ?1 ? L? T ?2? M ? L?3? L?

?2 ? ? ? 3? ? ? ? ??1 ? ?2? ?0 ? ? ?

?

1 ? ?? ? ? 2 ? 3 ?? ? ? ? 2
3 2

∴ q ? k gH ? H ? m 2 g H

答:流量 q 的关系式为 q ? k gH ? H ? m 2 g H

3

2



5.15 已知文丘里流量计喉管流速 v 与流量计压强差 ?p 、主管直径 d 1 、喉管直径 d 2 、以 及流体的密度 ? 和运动黏度? 有关, 试用 ? 定理证明流速关系式为 v 证明:

?

d ? ?p ? ?? Re, 2 ? ? ? ? d1 ? ?

v ? f ? ?p, d1 , d2 , ? ,? ?
选择基本量 ?p, d 2 , ? 则: ? 1 ?

v ?1 ? 1 ?p d 2 ?
?1

?2 ?

?
?p d 2?2 ? ? 2
?2

?3 ?

d1 ?p d 2?3 ? ? 3
?3

解得: LT ?1 ? M ?1 L??1T ?2?1 L?1 M ?1 L?3?1

?1 ? ??1 ? ?1 ? 3? 1 ? ??1 ? ?2?1 ?0 ? ? ? ? 1 1 ?

?

1 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 0 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 ?

L2T ?1 ? M ?2 L??2 T ?2?2 L?2 M ? 2 L?3? 2 ? M ?2 ?? 2 L??2 ??2 ?3? 2 T ?2?2 1 1 ∴ ? 2 ? , ?2 ? 1 , ? 2 ? ? 2 2 L ? M ?3 ?? 3 L??3 ? ?3 ?3? 3T ?2?3
∴ ? 3 ? 0 , ?3 ? 1 , ? 3 ? 0 ∴ ? 1 ? ? ?? 2 , ? 3 ?

? ? ? ? d1 ? ?p ? ? v? ?? , ? ?p ? d ? ? d2 2 ? ? ? ? ?
5.16 球形固体颗粒在流体中的自由降落速度 u f 与颗粒的直径 d 、密度 ? s 以及流体的密度

?

、 动 力黏 度

?

、 重力 加 速度

g 有 关 ,试 用 ? 定 理 证明 自由 沉降 速 度关 系 式

? ? s ?u f d ? uf ? f ? ?? , ? ? ? gd ? ?
证明: ∵ u f ? f ? d , ?s , ? , ? , g ? 取基本量为 d , g , ? 则: ? 1 ?

uf d g ?
?1 ?1 ?1

;?2 ?

d g ?

?2

?s

?2

?2

;?3 ?

?
d g ?3 ? ? 3
?3

量纲关系:

LT ?1 ?1 L?1 L?1T ?2 ?1 M ?1 L?3?1

?1 ? ?1 ? ?1 ? 3? 1 ? ??1 ? ?2?1 ?0 ? ? 1 ?

?

1 ? ??1 ? 2 ? 1 ? ? ?1 ? 2 ? ?? 1 ? 0 ? ?

?? 2 ? 0 ML?3 ? ? 1 ? ??2 ? 0 ? 2 ? 2 ?2 ? 2 ? 2 ?3? 2 L L T M L ?? ? 1 ? 2
3 ? ?? 3 ? 2 ? 1 ? ? 1 ? ??3 ? 2 ? ?? 3 ? 1 ? ?

ML?1T ?1 L?3 L?3 T ?2 ?3 M ? 3 L?3? 3

?1 ? ?3 ? ?3 ? 3? 3


? 1 ? f ?? 2 , ? 3 ?
?? ? ? dg f ? s , 3 1 ? ? ? d 2g 2? ? ? ?

即 uf ?

?? ? ? ? dg f ? s , ? ? u d? ? ? f ? ?

?? ? ? dg f ? s , Re f ? ?? ?
5.17 圆形空口出流的流速 v 与作用水头 H 、 空口直径 d 、 水的密度 ? 和动力黏度 ? 、 重力加速度 g 有关,试用 ? 定理推导空口流量公式。

H

d

解:

∵ v ? f ? H , d , ? , ?, g ? 取基本量为 H , g , ? 则: ? 1 ?

? d v ; ?2 ? ? ? ? ;?3 ? ? ? ? ?1 ? 1 H 3g 3? 3 H 2g 2? 2 H g ?
?1

∴有量纲关系:

LT ?1 1 1 ? 1 ? ?1 ? , ?1 ? , ? 1 ? 0 ?1 ?1 ?2 ?1 ? 1 ?3? 1 L L T M L 2 2
L L L T
?2 ?2
?2 ? 2

M ? 2 L?3? 2

? 1 ? ? 2 ? 1, ?2 ? 0, ? 2 ? 0

ML?1T ?1 3 1 ? 1 ? ? 3 ? , ?3 ? , ? 3 ? 1 ?3 ?3 ?2 ?3 ? 3 ?3? 3 L L T M L 2 2


? 1 ? f ?? 2 , ? 3 ?
?d ? ? Hg f ? , 3 1 ? ? H H 2g 2? ? ? ?

即 v?

?d ? ? ? 2 gH f1 ? , ? ? H vH ? ?
?d ? ? 2 gH f1 ? , Re H ? ?H ?
可见,孔口出流的流速系数与 d

H及

Re H 有关。

Q ? vA ?

?d2
4

?d ? 2 gH f1 ? , Re H ? ?H ? ?d ? 2 gH f1 ? , Re H ? 。 ?H ?
3
2

答:空口流量公式为 Q ?

?d2
4

5.18 用水管模拟输油管道。已知输油管直径 500mm,管长 100mm,输油量 0.1 m

/s, 油的运动黏度为 150×10-6 m / s 。水管直径 25mm,水的运动黏度为 1.01×10-6 m / s 。 试求: (1) 模型管道的长度和模型的流量; (2) 如模型上测得的压强差 (?? / ?g ) m =2.35cm 水柱,输油管上的压强差 (?? / ?g ) p 是多少?
2

解:

?l ?

150 ?10?6 500 ? 148.515 ? 20 ; ?? ? 1.01?10?6 25

以雷诺数准则设计实验。

? vd ? ? vd ? Re ? ? ? ? ? ? ? ? ? p ? ? ?M
∴ ?v ?

vp vM

?

dM d p

?M ? p

?

1 20 ? 7.426 1 148.515

Lp LM
Qp QM

?

100 ? 20 LM
2 vp ? d p

∴ LM ? 5 (m)

?

vM ? d

2 M

? ?v ? ?l2 ? 7.426 ? 202 ? 2970.4

∴ QM ? 0.034 (l/s) ∵E ?

?p ? ?p ? ? ?p ? ? ?? 2 ? 2 ? ?v2 ? ? ? v ? p ? ? v ?M
v2 p

? ?p ? ? ?g ? ? ?p ∴

? ?p ? ? ?g ? ? ?M

?

2 vM

? ?v2

∴?

? ?p ? 2 ? ?p ? 2 ? ? ?v ? ? ? 7.426 ? 2.35 ? 1.30 (m) ? ?g ?p ? ? g ?M

答: (1)模型管道的长度 LM ? 5 m,模型的流量 QM ? 0.034 L/s; (2)如模型上测得的压

强差 (?? / ?g ) m =2.35cm 水柱,输油管上的压强差 ?

? ?p ? ? ? 1.30 m。 ? ?g ?p

5.19 为研究输水管道上直径 600mm 阀门的阻力特性,采用直径 300mm,几何相似的阀门 用气流做 模型实验 。已知 输水管 道的流 量为 0.283 10-6 m 解:
2

m 3 / s ,水的运 动黏度 为 ?

=1 ×

/ s ,空气的运动黏度为? a =1.6×10-5 m 2 / s 。试求模型的气流量。
? vd ? ? vd ? ? ?? ? ? ? ? p ? ? ?M

以雷诺准则,则有 Re ? ?

?? 5 ?10?6 1.6 ?10?5 1 ∴ ?v ? ? ? ?l 600 300 32
?Q ?
Qp QM ? v p Ap vM AM ? ?v ? ?l2 ? 1 1 ? 22 ? 32 8

QM ?

Q

?Q

?

0.283 ? 2.264 (m3/s) 18

答:模型的气流量 QM ? 2.264 m3 /s。 5.20 为研究汽车的动力特性,在风洞中进行模型实验。已知汽车高 h p =1.5m,行车 速度 v p =108 km / h ,风洞风速? a =45 m / s ,测得模型车的阻力 求模型车的高度 hm 及汽车受到的阻力。

pm =1.4kN,试

hp

vm

解:

∵ ?v ?

vp vM

?

108 ?1000

3600 ? 1 45 1.5

pp pM

?

? ?p ? A? p ? ?p ? A?M

?? 2 ? ? v ? A? ?2 ?p ? ? ?v2 ? ?l2 ? ? ? 2 ? v ? A? 2 ? ?M

hm

Pm

风洞实验可选用雷诺准则,即 Re ? ?

? vd ? ? vd ? ? ?? ? ? ? ? p ? ? ?M

∵? p ? ? M

∴ ?l ?

1

?v

? 1.5

∵ hm ?

hp

?
2 v

?

1.5 ? 1.0 (m) 1.5
2 2 l

?1? p p ? ? ? ? ? pM ? ? ? ?152 ? pM ? 1.4 (kN) ? 15 ?
另:∵ Re ? ?

30 ?1.5 ? vd ? ? 2.8 ?106 ,在阻力平方区。 ? ? ?5 ? ? ? p 1.6 ?10
? 2.8 ?106 ,即 hM ?

则有

vM hM

?M

2.8 ?10 ? 0.62 (m) 45

即能满足阻力自模拟条件。 答:模型车的高度 hm ? 1.0 m,汽车受到的阻力为 1.4 kN。 5.21 为研究风对高层建筑物的影响,在风洞中进行模型实验,当风速为 9 m / s 时, 测得迎风面压强为 42 N

/ m 2 ,背风面压强为-20 N / m 2 ,试求温度不变,风速增

至 12 m / s 时,迎风面和背风面的压强。 解: ∵ Eu ? ?

? ?p ? ? ?p ? ?? 2 ? 2 ? ? ? v ? p ? ? v ?M

或 E ??

? p ? ? p ? ?? 2 ? 2 ? ? ? v ? p ? ? v ?M
2 2

∴可算得,风速增至 12 km/h 时。

? 12 ? ? 12 ? 迎风面的压强 p1 ? ? ? p1? ? ? ? ? 42 ? 74.67 (pa) ?9? ???
? 12 ? ? 12 ? 背风面的压强 p2 ? ? ? p2? ? ? ? ? ? ?20 ? ? ?35.56 (pa) ?9? ???
5.22 一潮汐模型,按弗劳德准则设计,长度比尺 ?l =2000,问原型中的一天,相当于模型 时间是多少?
2 2

? v2 ? ? v2 ? 解: 由弗劳德准则 Fr ? ? ? ?? ? ? gh ? p ? gh ? M

∴ ?v2 ? ?l ? 2000

?v ? 2000 ? 44.72


?t ?
Tp TM

?? 2000 ? ? 44.72 ?v 44.72



? ?t

TM ?

Tp

?t

?

24 ? 3600 ? 1932 (s) ? 32.2 (min) ? 0.54 (h) 44.72

答:原型中的一天,相当于模型时间是 0.54 小时。 5.23 防浪堤模型实验,长度比尺为 40,测得浪压力为 130N,试求作用在原型防浪堤上的浪 压力。 解: 对防浪堤问题的模型研究可用弗劳德准则。 ∴ ?v2 ? ?l ? 40 , ?v ? 6.325 作用压力 P ? p ? A



Pp PM

?

? pA? p ? pA?M
3

?? 2 ? ? v ? A? ?2 ?p ? ? ?v2 ? ?l2 ? ?l3 ?? 2 ? ? v ? A? ?2 ?M
3

∴ Pp ? P M ? ?l ? 130 ? 40 ? 8320 (kN) 答:作用在原型防浪堤上的浪压力为 8320 kN。 5.24 溢流坝泄流实验,原型坝的泄流量为 120 m 为 0.75 m
3

3

/ s ,实验室可供实验用的最大流量

/ s ,试求允许最大长度比尺;如在这样的模型上测得某一作用力为 2.8N,

原型相应的作用力是多少?

解:

最大允许的 ?Q ?

120 ? 160 0.75

以弗劳德准则 ?v2 ? ?l ∴ ?Q ? ?v ? ?l ? ?l
2 5 2

? 160

∴ ?l ? 7.61 ∵作用压力

Pp PM

? ?v2 ? ?l ? ?l3
3

∴ Pp ? ?l ? P M ? 2.8 ? 7.61 ? 1.236 (kN)
3

答:允许最大长度比尺为 7.61 ;原型相应的作用力是 1.236 kN。 5.25 采用长度比尺 ?l =20 的模型,做弧形闸门闸下泄流实验,由模型测得:下游收缩断面 的平均速度 vm =2 m / s ,流量 Qm =35 L / s ,水流作用在闸门上的总压力 求:原型收缩断面的平均速度、流量和闸门上的总压力。

pm =40N,试

解:

对明渠流动,适用弗劳德准则。 ∵ g 不变。 ∴ ?v2 ? ?l ? 20 , ?v ?

20 ? 4.47

∴ v p ? ?v ? vM ? 4.47 ? 2 ? 8.94 (m/s)

Qp ? ?Q ? QM ? ?l 2 ? QM ? 20 2 ? 35 ? 62.609 (m3/s)
P ? ?p ? A

5

5

Pp ? ?v2 ? ?l2 ? PM ? ?l3 ? PM ? 203 ? 40 ? 320 (kN)
答:原型收缩断面的平均速度为 8.94 m/s,流量为 62.609 m3 /s,闸门上的总压力为 320 kN。

第六章部分习题答案

第七章习题答案
选择题(单选题) 7.1 比较在正常工作条件下,作用水头 H ,直径 d 相等时,小孔口的流量 Q 和圆柱形外管 嘴的流量 Qn : (b) (a) Q > Qn ; (b) Q < Qn ; (c) Q = Qn ; (d)不定。 7.2 圆柱形外管嘴的正常工作条件是: (b) (a)l =(3~4) d , H 0 >9m; (b) l =(3~4) d , H 0 <9m; (c)l >(3~4) d , H 0 >9m; (d) l <(3~4) d , H 0 <9m。 7.3 图示两根完全相同的长管道,只是安装高度不同,两管的流量关系是: (c)

H
1 2

(a) Q1 < Q2 ; (b) Q1 > Q2 ; (c) Q1 = Q2 ; (d)不定。 7.4 并联管道 1、2,两管的直径相同,沿程阻力系数相同,长度 l2 =3 l1 ,通过的流量为: (c)

Q1

1

Q2

2

(a) Q1 = Q2 ; (b) Q1 =1.5 Q2 ; (c) Q1 =1.73 Q2 ; (d) Q1 =3 Q2 。 7.5 并联管道 1、2、3、A、B 之间的水头损失是: (d)

1 A 2 3 B

( a ) h fAB = h f 1 + h f 2 + h f 3 ; ( b ) h fAB = h f 1 + h f 2 ; ( c ) h fAB = h f 2 + h f 3 ; (d)

h fAB = h f 1 = h f 2 = h f 3 。
7.6 长管并联管道各并联管段的: (c) (a)水头损失相等; (b)水里坡度相等; (c)总能量损失相等; ( d)通过的流量相等。 7.7 并联管道阀门为 K 全开时各段流量为 Q1 、 Q2 、 Q3 ,现关小阀门 K ,其他条件不变, 流量的变化为: (c)

Q1 Q2

K

Q3
(a) Q1 、 Q2 、 Q3 都减小; (b) Q1 减小, Q2 不变, Q3 减小; (c) Q1 减小, Q2 增加,

Q3 减小; (d) Q1 不变, Q2 增加, Q3 减小。
7.8 有一薄壁圆形孔口,直径 d 为 10mm,水头 H 为 2m。现测得射流收缩断面的直径 d c 为 8mm,在 32.8s 时间内,经孔口流出的水量为 0.01 m ,试求孔口的收缩系数? ,流量系
3

数 ? ,流速系数 ? 及孔口局部损失系数 ? 。

解:

??

Ac 82 ? ?0.64 A 102
V T

∵ Q ? ? A 2 gH ?



??

0.01 32.8 T ? ? 0.62 ? 2 A 2 gH 2 ? 9.807 ? 2 ? ? 0.01 4 V

??

vc ? 0.62 ? ? ? 0.97 2 gH ? 0.64

vc2 vc2 ∵ H? ?? ? ?? c ? ? ? 2g 2g 2g
∴? ?

? c vc2
H

v

2 c

? ?c ?

2g

2 gH 1 ? ? c ? 2 ? 1 ? 0.06 2 vc ?

答:孔口的收缩系数 ? ? 0.64 ,流量系数 ? ? 0.62 ,流速系数 ? ? 0.97 ,孔口局部损失系 数 ? ? 0.06 。 7.9 薄壁孔口出流,直径 d =2cm,水箱水位恒定 H =2m,试求: (1)孔口流量 d c ; (2)此 孔口外接圆柱形管嘴的流量 Qn ; (3)管嘴收缩断面的真空高度。

H

解:

Q ? ? A 2 g H? 0 . 6 2 ? ? 0 2. 0 2 ? 4 Qn ? ?n A 2 gH ? 0.82 ?

?

g2 ?

? 2 (1 .) 22 l/s

?

4

? 0.022 ? 2 g ? 2 ? 1.61 (l/s)

以收缩断面 c-c 到出口断面 n-n 列伯努利方程:

pc ? c vc2 p ? v2 ? v ? v ? ? ? n ? n n? c n ? g 2g ? g 2g 2g
HV ? pa ? pc 1 ? 2 2 2 ? ? c vc ? ? n vn ? ? vc ? vn ? ? ? ? ?g 2g

2

?

? vc ? vn ?
2g

?vc ? vn ? vc ? vn ?

? 2 ? vc vn ? ? 1? v ? ? n ? g

? 2?1 vn ? ? 1? ? ? ? ? g
? 4 ?1.61?10?3 ? 1 ? 0.64 ? ? ? 0.022 ? ? 0.64 ? ?? 9.807
2

? 1.506 (m)
答: (1)孔口流量 dc ? 1.22 L/s; (2 )此孔口外接圆柱形管嘴的流量 Qn ? 1.61 L/s; ( 3)管 嘴收缩断面的真空高度为 1.506 m。 7.10 水箱用隔板分为 A 、 B 两室,隔板上开一孔口,其直径 d1 =4cm,在 B 室底部装有圆柱 形外管嘴,其直径 d 2 =3cm。已知 H =3m, h3 =0.5m,试求: (1) h1 , h2 ; (2)流出水箱的 流量 Q 。

h2
d1 Q

h1

解:

要保持 H 不变,则补充水量应与流出水量保持相等,即孔口出流量、管嘴出口流量 均为 Q 。

? A 2 gh1 ? ?n An 2 g ? H ? h1 ?
? ? A ? ? 0.82 ? 0.032 ? h1 ?? n n ? ?? ∴ ? ? 0.548 H ? h1 ? ? A ? ? 0.62 ? 0.042 ?
2 2

h3

d2

H

可解得: h1 ?

0.548 0.548 H? ? 3 ? 1.06 (m) 1.548 1.548

h2 ? H ? h1 ? h3 ? 3 ? 1.06 ? 0.5 ? 1.44 (m)

Q ? 0.64 ?

? ? 0.042
4

? 2 ? 9.807 ?1.06 ? 3.67 (l/s)

答: (1) h1 ? 1.06 m, h2 ? 1.44 m; (2)流出水箱的流量 Q ? 3.67 L/s。 7.11 有一平底空船,其船底面积 ? 为 8 m 2 ,船舷高 h 为 0.5m,船自重 G 为 9.8kN,现船底 破一直径 10cm 的圆孔,水自圆孔漏入船中,试问经过多少时间后船将沉没。

Ω

Q
解: 设船底到水面的水深为 H 0 ? t ? ,船中水深为 h? ,下沉过程是平稳的,则有:

H 0 ? t ? ? ? g? ? G ? h? ? ? g?
H0 ?t ? ? G ? h? ? g?
2G ,为常数。 ??

从孔口流入的流量为 Q ? t ? ? ? A 2 g ? ? H 0 ? t ? ? h?? ? ? ? A?

∴ 当船沉没时: ? ? h ?

? ?

G ? ? Q ?t ? ?T ? g? ? ?

? 9.8 ?103 ? 8 ? ? 0.5 ? ? 9.8 ?103 ? 8 ? ?h ?? 1000 ? 8 ? ? ? ? 393.6 (s) ∴ T? 3 ? ? A 2G 2 ? 9.8 ? 10 2 0.62 ? ? 0.1 4
答:经过 393.6 s 后船将沉没。 7.12 游泳池长 25m,宽 10m,水深 1.5m,池底设有直径 10cm 的放水孔直通排水地沟,试

h

求放净池水所需的时间。 解: 设池内水深为 h 时,为水流量为 Q ? ? A 2 gh ∴ dV ? ?Qdt

dV ? A0 dh ? ?Qdt
∴ dt ?

A0 A0 dh ? dh Q ? A 2 gh
?2 A0 dh ? h ? A 2g H0 ? A 2 g
0

T ???
?

A0

h

0 H0

2 A0

? A 2g

? H0 ?

0.62 ?

?
4

2 ? 25 ?10 ? 0.1 ? 2 ? 9.807
2

? 1.5

? 7.89 (h)
设水池中的水量为 V ,则水量减少量为 dV ? ?Qdt ∴ dV ? ?? A 2 ghdt ? A0 dh 答:放净池水所需的时间为 7.89 h。 7.13 油槽车的油槽长度为 l ,直径为 D ,油槽底部设有卸油孔,孔口面积为 A ,流量系数为

? ,试求该车充满油后所需卸空时间。

l

D

解:

2a

θ

设当油箱中漏深为 h 时,瞬时泄油量为 Qdt 。 ∴ dV ? A0 dh ? ?Qdt ? ?? A 2 ghdt

D? ?D? ? 其中 A0 ? 2al , a ? ? h ? ? ? ? ? 2? ?2? ?
2

2

2

a D ? sin ? ;∴ a ? sin ? D 2 2
cos ? ? h? D D 2 2
D 时 2

当h ?

∴ ? sin ? d? ?

D 2 dh , dh ? ? sin ? d? 2 D
当h ?

D ?h 当 cos ? ? 2 D 2
dh ? D sin ? d? 2

D 时 2

D sin ? ? A0 ?2l 2 dh ? dh ∴ dt ? ? A 2 gh ? A 2g h
?

T ???
0

2

lD sin ? lD sin ? ? dh ? ? ? dh ? A 2g h h ? ? A 2g
2

?

? ? ? 2 lD ? ? sin ? ? ? D sin ? d? ? D ? sin ? sin ? d? ? ?? ? 2? h ? ? A 2g ? ? h 2 ? 0 ? 2 ?

? ? ? 2 2 2 lD 2 ? ? ? sin ? d? ? sin ? d? ? ?? ? h ? 2? A 2 g ? ? h ? 0 ? 2 ?

?

其中

?
0

2

sin 2 ? D ? 1 ? cos ? 2
sin 2 ? D ? 1 ? cos ? 2

d? ?

2 ? sin ? du ? ? D 1 1 ? cos ?
0
?1

2 1 ? udu D? 0
?1

1

? ?

?
2

2 ? sin ? 2 d? ? ? du ? ? 1 ? udu ? D 0 1 ? cos ? D? 0
3

lD 2 4 2 2 lD 2 ? ? 积分可得: T ? 2? A 2 g 3 D 3 ? A g
答:该车充满油后所需卸空时间为 T ?

2 lD 。 3 ?A g

3 2

7.14 虹吸管将 A 池中的水输入 B 池,已知长度 l1 =3m,l 2 =5m,直径 d =75mm,两池水面高 差 H =2m,最大超高 h =1.8m,沿程摩阻系数 ? =0.02,局部损失系数:进口 ? a =0.5,转弯

? b =0.2,出口 ? c =1,试求流量及管道最大超高断面的真空度。 C

l1

h

l2

A B
解: 以下游水面为基准面,从上池水面到下池水面列伯努利方程:

H ? ?进
∴v ?

v2 l v2 v2 v2 ? 3 ? 5 ? v2 ?? ??b ??c ? ? 0.7 ? 1.0 ? 0.02 ? ? 2g d 2g 2g 2g ? 0.075 ? 2 g
3.83 ? 3.20 (m/s)

2 ? 9.807 ? 2

Q ? vA ? 3.20 ?

?
4

? 0.0752 ? 14.14 (L/s)

从 C 过流断面到下池水面列伯努利方程:

H

zC ?
取 ?C ? 1 ∵ vC ? v ∴ HV ?

2 pC ? C vC l v2 v2 ? ?? 2 ??C ? g 2g d 2g 2g

2 pa ? pC p 5 ? ?v ? ? C ? 1.8 ? 2.0 ? ?1 ? 0.02 ? ? 1.0 ? ?g ?g 0.075 ? ? 2g

5 3.202 ? 3.8 ? 0.02 ? ? ? 3.10 m 0.075 2 ? 9.807
答:流量 Q ? 14.14 L/s,管道最大超高断面的真空度为 3.10 m。 7.15 风动工具的送风系统由空气压缩机、贮气筒、管道等组成,已知管道总长 l =100mm, 直径 d =75mm,沿程摩阻系数 ? =0.045,各项局部水头损失系数之和 ? ? =4.4,压缩空气密 度 ? =7.86 kg / m3 , 风动工具要求风压 650kPa, 风量 0.088 m3 / s , 试求贮气筒的工作压强。

空 压 机

贮 气 筒 接 风 动 工 具

解:

从贮气筒到风动工具入口列伯努利方程,忽略高差,则有:
2 2 p1 p2 v2 l ? v2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? g ? g 2g ? d ? 2g ?

100 ?? 4Q ? ∴ p1 ? p2 ? ?1.0 ? 4.4 ? 0.045 ? ?? ? 2? 0.075 ?? ? d 2 ? ? 650 ?103 ?

??

2

7.86 ? 4 ? 0.088 ? ? ?1.0 ? 4.4 ? 60 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 0.075 ?

2

? 650 ?103 ? 1001.979 ?103

? 752.0 (kPa)

答:贮气筒的工作压强为 752.0 kPa。 7.16 水从密闭容器 A ,沿直径 d =25mm,长 l =10m 的管道流入容器 B ,已知容器 A 水面的 相对压强 p1 =2at,水面高 H 1 =1m, H 2 =5m,沿程摩阻系数 ? =0.025,局部损失系数:阀门

? v =4.0,弯头 ? b =0.3,试求流量。

解:

以地面为基准面,从 A 池面到 B 池面列伯努利方程:

H1

A

H1 ?

p1 ?1v12 p ? v2 ? l ? v2 ? ? H 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 进 ? ? 出 ? ? v ? 3? b ? ? ? ? g 2g ? g 2g ? d ? 2g

取 v1 ? v2 ? 0 ; p2 ? 0 ; ? 进 ? 0.5 ; ? 出 ? 1.0 ,则有

? ? ? ? p 2 g ? H1 ? 1 ? H 2 ? ? ? ?g ? ? ? ? v? ?? 10 ? ? ? ? 0.5 ? 1.0 ? 4.0 ? 3 ? 0.3 ? 0.025 ? 0.025 ? ? ?? ??
? 2 g ? ?1 ? 20 ? 5 ? ? ?? ? 16.4 ? ?
1 2

1

2

? 4.37 (m/s) ? Q ? vA ? 4.37 ? ? 0.0252 ? 2.15 (l/s) 4
答:流量 Q ? 2.15 l/s。 7.17 水车由一直径 d =150mm,长 l =80m 的管道供水,该管道中有两个闸阀和 4 个 90°弯 头( ? =0.03,闸阀全开 ? a =0.12,弯头 ? b =0.48) 。已知水车的有效容积V 为 25 m , 水塔
3

具有水头 h =18m,试求水车充满水所需的最短时间。

H2

p1

B

解:

以管出水口为基准面,列伯努利方程:

l ? v2 v2 ? H ? ?? 进 ? 4 ?? 弯 ? 2 ??阀 ? ? ? ? d ? 2g 2g ?

80 ? v 2 ? ? ? 0.5 ? 1.0 ? 4 ? 0.48 ? 2 ? 0.12 ? 0.03 ? ? 0.15 ? 2 g ?
∴v ?

2 gH

19.66

? 4.24 (m/s)
4 ? 0.152 ? 74.89 (l/s)

Q ? vA ? 4.24 ?
∵ V ? QT ∴T ?

?

V 25 ? ? 333.84 (s) ? 5.56 (min) Q 74.89 ?10?3

答:水车充满水所需的最短时间为 5.56 min。 7.18 自密闭容器经两段串联管道输水, 已知压力表读值 pM =1at, 水头 H =2m, 管长 l1 =10m,

l 2 =20m,直径 d1 =100mm, d 2 =200mm, 沿程摩阻系数 ?1 = ?2 =0.03,试求流量并绘总水头
线和测压管水头线。

H

pM

l1d1

l2d2

解:

以管中心线为基准面,从容器水面到出口断面列伯努利方程:

p ? v2 v2 ? v ? v ? l v2 l v2 H ? M ? 2 2 ? ? 进 2 ? 1 2 ? ?1 1 1 ? ?2 2 2 ?g 2g 2g 2g d1 2 g d2 2 g
2

∵ v1 A1 ? v2 A2 , 可求得:

v1

?? v2 ? ?

d2

? , ? ? 1.0 2 d1 ? ?
1

2

? ? ? 2 gH ? 2 p ? ? v2 ? ? ? ? ? ?

?

?

?2 ? ? ? ? 2 4 2 4 ? ?? ? ? ?? ? ? d 2 ? ? 1.0 ? ?? d 2 ? ? 1? ? ? l1 ? d 2 ? ? ? l2 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ? 进 ? d1 ? d1 ? d1 ? d2 ? ? ? ? ? d1 ? ? ? ? ? ??
1

? ?2 ? ? ?? 2 ? 9.807 ? 2 ? 10 ? ? ?? ? 10 20 ? ? 4 4 ? ? 0.5 ? 2 ? 1.0 ? 9 ? 0.03 ? ? 2 ? 0.03 ? ? 0.1 0.2 ? ? ? ?? ? ?

? 1.847 (m/s)
?d ? v1 ? ? 2 ? ?1.85 ? 7.3877 (m/s) ? d1 ?
Q ? v2 A2 ? 1.85 ?
2

?
4

? 0.22 ? 58.03 (L/s)

x
H (m )

0?
12 12

0 10.6 7.82

10?

10?

2.26 ?0.52

0.696 0.522

H p (m )

H
30

0.174 0

12 10.6

2.26
0.522

0.696

0.174 x

-0.52

答:流量 Q ? 58.03 L/s,总水头线和测压管水头线见上图。

7.19 水从密闭水箱沿垂直管道送入高位水池中,已知管道直径 d =25mm,管长 l =3m,水深 流量 Q =1.5L/s, 沿程摩阻系数 ? =0.033, 局部损失系数: 阀门 ? a =9.3, 入口? e =1, h =0.5m, 试求密闭容器上压力表读值 pM ,并绘总水头线和测压管水头线。

l

h

pM

解:

以下池水面为基准面,列伯努利方程:

h

0?

pM l ? h ? v2 ? ? ?l ? h? ? ? ? 进 ? ?出 ? ? a ? ? ? ?g d ? 2g ?

?3 3.5 ? ? 4 ?1.5 ?10 ? ∴ pM ? ? l ? h ? ? g ? ?1.0 ? 1.0 ? 0.033 ? ? 9.3 ? ? ? 2 ? 2? 0.025 ? ? ? ? 0.025 ?

??

2

? 34.32 ?103 ? 74.33 ?103

? 108.65 (kPa)
4 ?1.5 ?10?3 v? ? 3.06 (m/s) ? ? 0.0252
x -h l l +h 阀 H (m) 11.58 / 11.10 3.977 / 3.5 3.5 4.44 Hp (m) 11.58 / 10.63 3.5 / 3.5 3.5 4.44

3.5

h

3.977

4.44

l

11.10

h

11.58

H,H p(m)

答:密闭容器上压力表读值 pM ? 108.65 kPa,总水头线和测压管水头线见上图。

C 三处供水, B、 7.20 工厂供水系统, 由水塔向 A 、 管道均为铸铁管, 已知流量 Qc =10 L / s ,
q B =5 L / s ,q A =10 L / s , l 2 =450m,l3 =100m, 各段管长 l1 =350m, 各段直径 d1 =200mm,

d 2 =150mm, d 3 =100mm,整个场地水平,试求所需水头。

qA

l1d1
水塔

A

l2 d

2

l 3d 3
B qB

QC C

解:

以水平面为基准面,从水塔水面到 C 断面出口列伯努利方程:

H ? ?1

l v2 l1 v12 l v2 ? ?2 2 2 ? ?3 3 3 d1 2 g d2 2 g d3 2 g

其中: a ?

10.3n 2 ,取 n ? 0.013 ,查表 7-3 可得: d 5.33

a1 ? 9.30 ; a2 ? 43.0 ; a3 ? 375 Q1 ? 25 (l/s) ; Q2 ? 15 (l/s) ; Q3 ? 10 (l/s)
代入可得: H ? 9.3 ? 350 ? 0.025 ? 43.0 ? 450 ? 0.015 ? 375? 100? 0.01
2 2 2

? 10.138 (m) 答:所需水头为 10.138 m。
7.21 在长为 2 l ,直径为 d 的管道上,并联一根直径相同,长为 l 的支管(图中虚线) ,若水 头 H 不变,不计局部损失,试求并联支管前后的流量比。

l
解: 并联前,设管道的比阻为 a ,则有:

H

l

H ? 2alQ2 , Q ?
并联后,总流为 Q?

H 2al

4H ? Q? ? 5 H ? alQ? ? al ? ? ? alQ?2 , Q? ? 5al 4 ? 2?
2

2

两支路的流量为 Q1? ? Q2? ?

Q? 2

Q? 8 2 ? ? 10 ? 1.26 Q 5 5
答:并联支管前后的流量比为 1.26 。 7.22 有一泵循环管道, 各支管阀门全开时, 支管流量分别为 Q1 、Q2 , 若将阀门 A 开度变小, 其他条件不变,试论证主管流量 Q 怎样变化,支管流量 Q1 、 Q2 怎样变化。

Q

A Q1 Q2

解:

设主管阻抗为 S 0 ,支管阻抗为 S1 , S 2 。 主管损失为 h f 0 ? S0Q0 ,支管损失为 h f 1 ? S ?Q ? S1Q1 ? S2Q2 。
2
2 2 2

? hf 1 ? 2 ? hf 1 ? Q ? Q ? ∴ 1 ? ? ?? ? 2 S ? 1 ? ? S2 ?


1

1

2

?h ? ? ? f1 ? ? S? ?

1

2

1 1 1 ? ? ? S? S1 S2

S1 ? S2 S1 S2

∴ S? ?

?

S1S2 S1 ? S2

?

2

? ∴水泵扬程 H 0 ? h f 0 ? h f 1 ? ? S0 ? S ? ? Q ? ? S0 ? ? ? ?
2 0

?

? ? Q2 2? 0 S1 ? S2 ? ? S1S2

?

dH 0 dH 0 dQ0 ∵ ? ? ? dS1 dQ0 dS1

?

? Q ? ? S0 ? 3 ? S1 ? S2 ? ? S2 S2

?

2 0

?

? ? ? 2Q dQ0 0 2? dS1 S1 ? S2 ? ? S1S2

?



dQ0 ?? dS1

?

S2 S2 S1 ? S2

?

2

? 2

Q0 H 0 dH 0 ? Q0 dQ0

对离心泵,一般有

dQ dH 0 ? 0 ,∴成立 0 ? 0 。 dS1 dQ0

即 Q0 减小,而 H 0 增加, h f 0 减小,故 h f 1 增加。 又∵ Q0 ? Q1 ? Q2 ,当 h f 1 增加时, S 2 不变,故 Q2 增加 ∴ Q1 减少 答:主管流量 Q 减小,支管流量 Q1 减少、 Q2 增加。 7.23 电厂引水钢管直径 d =180mm, 壁厚 ? =10mm, 流速 v =2 m / s , 工作压强为 1×106 Pa, 当阀门突然关闭时,管壁中的应力比原来增加多少倍? 解:

?H ?

c v0 g

其中 c ?

c0 K D 1? E ?

?

1435 ? 2.1?10 180 ? ? ?1 ? ? 10 ? 20.0 ?10 10 ?
9 1 2

? 1319 (m/s)

10 9 其中 K ? 2.1?10 Pa; E ? 20.0 ?10 Pa; D ? 180 mm; ? ? 10 mm

1319 ? 2 ? 269 (m) 9.807 ?P ? 2638.14 (kPa) 管中压强增大的倍数为 3.64 倍。 答:管壁中的应力比原来增加 3.64 倍。
∴ ?H ? 7.24 输水钢管直径 d =100mm,壁厚 ? =7mm,流速 v =1.2 m / s ,试求阀门突然关闭时的 水击压强,又如该管道改为铸铁管水击压强有何变化?

解:

对钢管: c ?

c0 K D 1? E ? c0 K D 1? E ?

?

1435 ? 2.1?10 100 ? ? ?1 ? ? 10 7 ? ? 20.0 ?10
9 1 2

? 1341 (m/s)

对铸铁: c? ?

?

1435 ? 2.1?109 100 ? 1 ? ? ? ? 10 7 ? ? 9.8 ?10
1 2

? 1256 (m/s)

?H ?

c 1341 v0 ? ?1.2 ? 164.05 (m) g 9.807 c? 1256 v0 ? ?1.2 ? 153.09 (m) g 9.807

?H ? ?

?P ? 1.609 ?106 Pa ?P? ? 1.507 ?106 Pa
答:阀门突然关闭时的水击压 强为 1.609 ? 160Pa , 该 管 道 改 为 铸 铁 管 水 击 压 强 为 Pa。 1.507 ? 160 7.25 水箱中的水由立管及水平支管流入大气,已知水箱水深 H =1m,各管段长 l =5m,直径

d =25mm,沿程摩阻系数 ? =0.0237,除阀门阻力(局部水头损失系数? )外,其他局部阻
力不计,试求: (1)阀门关闭时,立管和水平支管的流量 Q1 、 Q2 ; (2)阀门全开( ? =0) 时,流量 Q1 、 Q2 ; (3)使 Q1 = Q2 , ? 应为多少?

H

l,d l,d Q2 l,d ζ Q1
解: (1)阀门关闭。

H ?l ? ?

2 2l v2 d 2g

v2 ?

2g ? H ? l ? 2 ? 9.807 ? ?1 ? 5 ? ? ? 3.52 (m/s) 2l 10 ?? 0.0237 ? d 0.025

Q2 ? v2 A2 ? 3.52 ?

?
4

? 0.0252 ? 1.73 (L/s)

Q1 ? 0
(2)阀门全开。设结点处压强为 p ,以水平管为基准面,则有:

p p 2 ; ? alQ2 ? ?l ? alQ12 ?g ?g
2 可得: Q12 ? Q2 ?

1 a

其中 a ?

8? 8 ? 0.0237 ? ? 200587 ? 2.0 ? 105 2 5 2 5 g? d g ? ? ? 0.025

再从水池面到 Q1 出口列能量方程: 2l ? H ? alQ2 ? alQ12 ∴ Q ? Q1 ?
2 2

2l ? H al

Q ? Q1 ? Q2
可得: Q1 ? 2Q1Q2 ? Q2 ? Q1 ?
2 2 2

2l ? H al

2l ? H 3? 5 ?1 ? 2 ? ? 1.6 ?10?5 ?3Q1 ? 2Q1Q2 ? 5 al 2.0 ? 10 ? 5 ? ?Q 2 ? Q 2 ? 0.5 ?10?5 ? 1 2
1.5Q12 ? Q1Q2 ? 0.5 ?1.6 ?10?5
2 1.6Q12 ? 1.6Q2 ? 0.5 ?1.6 ?10?5 2 ?0.1Q12 ? Q1Q2 ? 1.6Q2 ?0

? Q1 ? ? Q1 ? ? ? ? 10 ? ? ? 16 ? 0 ? Q2 ? ? Q2 ?

2

Q1 10 ? 102 ? 64 ? ? 5 ? 6.4 解得: Q2 2

故 Q1 ? 11.4Q2 , Q1 ? ?1.4Q2 不合题意。 代入方程中可得:
2 , Q1 ? 2 4 2 5 . 128.96Q2 ? 0.5 ?10?5 ? Q2 ? 0.197 (L/s)

(L/s) ,Q ? 4 2 .

(L/s)

(3)设置阀门开度,使 Q1 ? Q2 ?

1 Q 时,阀门阻力系数为 ? a 。 2
2

? 4Q1 ? 2? ? ? d1 ? ? 2? a ? 2 al 则有 2l ? H ? alQ 2 ? alQ12 ? ? a ? ? ? al ? ? ?Q 2g 4 g? 2 d 4 ? ?
2 及 alQ2 ? ?l ? alQ12 ?



8? a Q12 g? 2 d 4


∵ Q1 ? Q2 , ∴ l ?

8? a 2? a Q12 ? Q2 2 4 2 4 g? d g? d

2? a 5 al ? 2l ? H 4 5 alg? 2 d 4 g? 2 d 4 ①/②可得: ? ? 1? ? 2? a l 8 ?a g? 2 d 4

5 alg? 2 d 4 5 alg? 2 d 4 5 ? 2 ?105 ? 52 ? 9.807 ? ? 2 ? 0.0254 ?a ? 8 ? ? ? 19.69 l?H 8 l?H 8? 6 l
? lg? 2 d 4 ? Q?? ? ? 2? a ?
0.5

? 9.807 ? 5 ? ? 2 ? 0.0254 ? ?? ? 2 ?19.69 ? ?

0.5

? 2.19 (L/s)

Q1 ? Q2 ? 1.19 (l/s)
答: (1)阀门关闭时,立管和水平支管的流量 Q1 ? 0 、Q2 ? 1.73 L/s; (2)阀门全开( ? =0) 时,流量 Q1 ? 2.245 L/s、 Q2 ? 0.197 L/s; (3)使 Q1 = Q2 , ? 应为 19.69 。 7.26 离心泵装置系统, 已知该泵的性能曲线 (见图 7-49) , 静扬程 (几何给水高度)H g =19m, 管道总阻抗 S =76000 s 2 / m5 ,试求:水泵的流量 Q 、扬程 H 、效率? 、轴功率。

H (m) 36
32 28 24 20 16

η(%) 70
60 50 40

0

2
2

4
2

6

8

10

Q(L/s)
解: 装置扬程为 H ? H g ? SQ ? 19 ? 76000 ? Q 在图上作曲线,列表如下:

Q
H
确定工作点为: 流量 Q ? 7.2 (L/s) 扬程 H ? 22.90 (m) 效率 ? ? 62% 轴功率 N ?

2

4

6 21.736

8
23.86

19.304

20.22

? gQH 1000 ? 9.807 ? 22.9 ? 7.2 ? 10?3 ? ? 2.6 (kW) ? 0.62

7.27 由一台水泵把贮水池的水抽送到水塔中去,流量 Q =70 L / s ,管路总长(包括吸、压水 管)为 1500m,管径为 d =250mm,沿程摩阻系数 ? =0.025,水池水面距水塔水面的高差

H g =20m,试求水泵的扬程及电机功率(水泵的效率? =55%) 。

Hg
吸水管 压水管

解:

a?

8? 8? 0 . 0 2 5 ? ? 2.116 2 5 5 g? d 9 . 8 0? 7 ? 2 ? 0.2 5
2 2

水泵扬程 H ? H g ? alQ ? 20 ? 2.116 ?1500 ? 0.07 ? 35.55 (m)

N?

? gHQ 1000 ? 9.807 ? 35.55 ? 0.07 ? ? 44.37 (kW) ? 0.55

答:水泵的扬程为 35.55 m,电机功率为 44.37 kW。

第八章习题答案
选择题(单选题) 8.1 明渠均匀流只能出现在: (b) (a)平坡棱柱形渠道; (b)顺坡棱柱形渠道; (c)逆坡棱柱形渠道; ( d)天然河道中。 8.2 水力最优断面是: (c) (a)造价最低的渠道断面; (b)壁面粗糙系数最小的断面; (c)过水断面积一点,湿 周最小的断面; (d)过水断面积一定,水力半径最小的断面。 8.3 水力最优矩形渠道断面,宽深比 b / h 是: (c ) (a)0.5; (b)1.0; (c)2.0; (d)4.0。 8.4 平坡和逆坡渠道中,断面单位能量沿程的变化: (b) (a)

de de de >0; (b) <0; (c ) =0; (d)都有可能。 ds ds ds
de <0。 dh de <0。 dh

8.5 明渠流动为急流时: (a) (a) Fr >1; (b) h > hc ; (c ) v < c ; (d) 8.6 明渠流动为紊流时: (a) (a) Fr >1; (b) h > hc ; (c ) v < c ; (d) 8.7 明渠水流由急流过渡到缓流时发生: (a) (a)水跃; (b)水跌; (c)连续过渡; (d)都可能。 8.8 在流量一定,渠道断面的形状、尺寸和壁面粗糙一定时,随底坡的增大,正常水深将: (a)增大; (b)减小; (c)不变; (d)不定。 8.9 在流量一定,渠道断面的形状、尺寸一定时,随底坡的增大,临界水深将: (b) (a)增大; (b)减小; (c)不变; (d)不定。 8.10 宽浅的矩形断面渠道,随流量的增大,临界底坡 ic 将: (b) (a) 增大; (b)减小; (c)不变; (d)不定。 8.11 明渠水流如图 8-49 所示,试求 1、2 断面间渠道底坡,水面坡度,水力坡度。

1 2 v1=4m/s v1=4m/s 4.5m 30m

3m

5m

2m 0

0

解:

3? 2 1 ? ? 0.033 30 30 8 ? 6.5 Jp ? ? 0.05 30 i?

8? J?

42 4.52 ? 6.5 ? 2g 2g ? 0.0428 30

答:1、2 断面间渠道底坡 i ? 0.033 ,水面坡度 J p ? 0.05 ,水力坡度 J ? 0.0428 。 8.12 梯形断面土渠,底宽 b =3m,边坡系数 m =2,水深 h =1.2m,底坡 i =0.0002,渠道受到 中等养护,试求通过流量。 解:

A ? h? b? h ?m ? 1.2? ? 3 ? 1 . 2? 42) 8 (.m ? 2? 6

? ? b ? 2 h2 ? ? hm ? ? b ? 2h 1 ? m2 ? 3 ? 2 ?1.2 ? 5 ? 8.367 (m)
2

R?

A

?

,取 n ? 0.0225 (见教材 153 页表 6-4) ? 0.7745 (m)
2

1 1 6.48 ? 0.7745 3 ? 0.0002 ? 3.435 (m3/s) ∴ Q ? R 6 Ri A ? n 0.0225
答:通过流量 Q ? 3.435 m3 /s。 8.13 修建混凝土砌面(较粗糙)的矩形渠道,要求通过流量 Q =9.7 m / s ,底坡 i =0.001, 试按水力最优断面设计断面尺寸。 解: 对矩形断面,水力最优断面满足 b ? 2h 。 ∴ A ? bh ? 2h , ? ? b ? 2h ? 4h ,∴ R ?
2

3

2h 2 h ? 4h 2

∵Q ? A
2

1 23 R i ,取 i ? 0.001 , n ? 0.017 n
2 3

8 nQ 0.017 ? 9.7 nQ , h3 ? 1 ? 1 ? 4.14 ? i 3 3 2 i 2 0.001 , b ?4 (m) h ? 1.70 (m) 0 3 . 答:断面尺寸为 h ? 1.70 m, b ? 3.40 m。

?h? ∴ 2h ? ? ? ?2?

8.14 修建梯形断面渠道,要求通过流量 Q =1 m / s ,边坡系数 m =1.0,底坡 i =0.0022,粗糙 系数 n =0.03,试按不冲允许流速 vmax =0.8 m / s ,设计断面尺寸。 解: ∵ v ? vmax ? 0.8 ,∴

3

?

?

Q Q 1 ? 0.8 , A ? ? ? 1.25 (m2) A vmax 0.8

又∵ v ?

2 n ? vmax ? 0.03 ? 0.8 1 23 ? ? 0.502 R i ? ?vmax ? ,即 R 3 ? 1 n 0.0022 i 2

R ? 0.366
∴有 hb ? mh2 ? 1.25

hb ? mh 2 b ? 2h 1 ? m 2
即有

? 0.366

hb ? h 2 ? 1.25 ? ? ? b ? 2 2h ? 3.42 ? ?
2

解得: h ? 1.87h ? 0.684 ? 0

?2.01 ?0.5 h?? ,b ? ? ?1.37 ??2.455

0 . ∴ b ? 2.00 (m) , h ?5

(m)

答:断面尺寸为 b ? 2.00 m, h ? 0.5 m。 8.15 已知一钢筋混凝土圆形排水管道,污水流量 Q =0.2 m / s ,底坡 i =0.005 ,粗糙系数
3

n =0.014,试确定此管道的直径。 h 2 解: 取充满度为 ? ? ? 0.6 ,则 A ? 0.4920d , R ? 0.2776d 。 d 8 2 2 1 1 ? 0.4920d 2 ? ?0.2776d ? 3 ? 0.005 ? 1.0575d 3 ? 0.2 ∴ Q ? AR 3 i ? n 0.014 ∴ d ? 0.535 (m) h 2 故应取 ? ? ? 0.75 ,则由表 8-4 查得 A ? 0.6319d , R ? 0.3017d d

1.4357d

8

3

? 0.2 , d ? 0.478 (m)

故取 d ? 500 (mm) 答:管道的直径 d ? 500 mm。 8.16 钢筋混凝土圆形排水管,已知直径 d =1.0m,粗糙系数 n =0.014,底坡 i =0.002,试校核 此无压管道的过流量。 解: 满流时的过流量为:
2

1 2 1 ? 2 ?d ? Q0 ? A0 R 3 i ? ? d0 ? ? ? n 0.014 4 ?4? 1 ? ?1? 3 ? ? ?1? ? ? ? 0.002 0.014 4 ?4?
2

3

0.002

? 0.996 (m3/s)
对管径为 1 m 的输水管,取 ? ?

h ? 0.80 d

由图 8-16 查得: 解法 2:取 ? ?

Q ? 0.98 ,∴ Q ? 0.974 (m3/s) Q0

h ? 0.80 ,则 A ? 0.6736d 2 ? 0.6736 ; R ? 0.3042d ? 0.3042 d 2 A 2 0.6736 ∴Q ? R 3 i ? ? 0.3042 3 ? 0.002 ? 0.973 (m3/s) n 0.014

答:无压管道的过流量 Q ? 0.973 m3 /s。 8.17 三角形断面渠道,顶角为 90°,通过流量 Q =0.8 m / s ,试求临界水深。
3

解:

临界水深满足

? Q2

3 AC ? g BC

2 其中 AC ? hC , BC ? 2hC



5 hC ? Q2 ,取 ? ? 1.0 ? 2 g
1 5

? 2Q 2 ? ∴ hC ? ? ? ? g ?

? 2 ? 0.82 ? ?? ? ? 9.807 ?

1

5

? 0.665 (m)

答:临界水深 hC ? 0.665 m。 8.18 有 一梯 形土 渠, 底 宽 b =12m , 边坡 系数 m =1.5 , 粗糙 系 数 n =0.025 ,通 过流 量

Q =18 m3 / s ,试求临界水深和临界底坡。
解:

? Q2

3 AC ? g B

2 AC ? hC ? b ? mhC ? ? 12hC ? 1.5hC

BC ? b ? 2mhC ? 12 ? 3hC

?12h ∴

C

2 ? 1.5hC ?

3

12 ? 3hC

?

182 ? 33.04 9.807

用试算法求解。

hC ?
Q?

1.0 164

0.75

0.6

0.5 19.19

66.94

33.60

hC ? 0.6 (m)
临界底坡满足: iC ?

g ?C 2 ? CC BC

其中: AC ? 0.6 ? ?12 ? 1.5 ? 0.6? ? 7.74 m2

BC ? 12 ? 3hC ? 13.8 m

?C ? 12 ? 2 ? 0.6 ? 1 ? 1.52 ? 14.16 m
iC ? g ?C ? 2 ? CC BC g
2

?C

? 1 1 6 ? BC ? ? RC ? ?n ?

? 0.00696

答:临界水深 hC ? 0.6 m,临界底坡 iC ? 0.00696 。 8.19 在矩形断面平坡渠道中发生水跃,已知跃前断面的 Fr1 = 3 ,问跃后水深 h '' 是跃前水 深 h ' 的几倍?

1 1 ? 8Fr12 ? 1 ? ? 1 ? 8 ? 3 ? 1 ? 2 2 答:跃后水深 h '' 是跃前水深 h ' 的 2 倍。
解: 8.20 试分析下列棱柱形渠道中水面曲线衔接的可能形式

h?? 1 ? h? 2

?

?

?

?

i1<ic i2>ic

i1<ic

i1<i2<ic

i1>ic i2<ic
解:

N1 C N2

N1

C

i1<ic i2>ic

N2

N1 C

N1 N2

在该点相切

N2

i1<ic

C

i1<i2<ic

C N1 h01

h01'<h02

' N 2 h01 =h02

h01'>h02

N2

i1>ic

N1

h02

C

i2<ic
8.21 有棱柱形渠道,各渠段足够长,其中底坡 0< i1 < ic , i2 > i3 > ic ,闸门的开度小于临界水 深 hc ,试绘出水面曲线示意图,并标出曲线的类型。

C 0<i1<ic

C i2>ic i3>ic(i3<i2)

解:

N1 C N2

N1

0<i1<ic i2>ic

N3 N2 C N3

i3>ic(i3<i2)

8.22 有矩形断面长渠道向低处排水,末端为跌坎,已知渠道底宽 b =1m,底坡 i =0.0004,正 常水深 h0 =0.5m,粗糙系数 n =0.014,试求: (1)渠道末端出口断面的水深; (2)绘渠道中 水面曲线示意图。

解: (1)确定临界水深 hC 。

R0 ?

bh0 1? 0.5 ? ? 0.25 (m) b ? 2h0 1 ? 2 ? 0.5
1 23 1 R0 i ? 0.5 ? ? 0.252 3 ? 0.0004 ? 0.283 (m3/s) n 0.014

Q ? K0 i ? A0
3

3 bhC ? ? AC ? Q2 2 3 ? ? b hC ? B b g

? ? Q2 ? ∴ hC ? ? 2 ? ?b g ?
(2)计算水面曲线

13

? 1.0 ? 0.2832 ? ?? 2 ? ? 1 ? 9.807 ?

13

? 0.202 (m)

h

0.5

0.4

0.3

0.202

v
bh ?R b ? 2h 1 16 R ?C n

0.566 0.25 56.69

0.708 0.222 55.58

0.943 0.188 54.06

1.401 0.144 51.71

h?

? v2
2g

?e

0.516

0.426

0.345

0.302

R1 ? R2 ?R 2 C1 ? C2 ?C 2 v

0.236 56.14 0.637 0.546

0.205 54.82 0.826 1.107

0.166 52.89 1.172 2.958

v2 ? J ?10?3 2 C R
?e ? ?l i?J

6.69

6.28

3.89

(3)渠道水面曲线示意图:

0.5 0.4 0.3 0.202

6.69

6.28

3.89

答: (1)渠道末端出口断面的水深为 0.202m; (2)渠道中水面曲线示意图见上图。 8.23 矩形断面长渠道, 底宽 b =2m, 底坡 i =0.001, 粗糙系数 n =0.014, 通过流量 Q =3.0 m / s , 渠尾设有溢流堰,已知堰前水深为 1.5m,要求定量给出堰前断面至水深 1.1 断面之间的水 面曲线。
3

解: (1)正常水深计算。

? h ? 1 1 23 Q ? A0 R0 i ? ? bh0 ? ? 0 ? n n ? 1 ? h0 ? ? h ? ∴ h0 ? ? 0 ? ? 1 ? h0 ?
迭代计算:
h 1.0 1.05 1.025 1.035 1.04
23

23

1.5m

? h ? 1 ? i? ? 2 ? h0 ? ? 0 ? ? 0.001 0.014 ? 1 ? h0 ?

23

?

0.014 ? 3 ? 0.664 2 ? 0.001
Q 0.630 0.672 0.651 0.6594 0.664

可得正常水深 h0 ? 1.04 m (2)列表计算水面曲线。

h A v
bh ?R b ? 2h 1 16 R ?C n

1.1 2.2 1.364 0.524 64.13

1.2 2.4 1.25 0.545 64.56

1.3 2.6 1.154 0.565 64.95

1.4 2.8 1.071 0.583 65.29

1.5 3.0 1.0 0.6 65.60

h?

? v2
2g

?e

1.195

1.280

1.368

1.458

1.551

R1 ? R2 ?R 2 C1 ? C2 ?C 2 v

0.5345 64.345 1.307

0.555 64.755 1.202

0.574 65.12 1.1125

0.5915 65.445 1.0355

v2 ? J ?10?4 2 C R
?e ? ?l i?J
(2)水面曲线图。
h (m)

7.72

6.21

5.08

4.23

6.43

6.58

6.67

6.85

1.1 N

1.2

1.3

1.4

1.5

N

26.53

20.10

13.52

6.85

0.0



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