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2018年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用单元质量测试文


单元质量测试(二)
时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 2

1.[2017·河南郑州模拟]函数 f(x)=ln A.(0,+∞) C.(0,1) 答案 B

x

x- 1

+x

的定义域为(

)

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

x ? ? >0, 解析 自变量 x 满足?x-1 ? ?x≥0,

即 x>1,∴定义域为(1,+∞).

2? ?1 α 2.[2017·山东实验中学模拟]幂函数 f(x)=k·x 的图象过点? , ? ,则 k+α = ?2 2 ? ( ) A. 1 3 B.1 C. 2 2 D.2

答案 C 2 2 1 ?1? ?1?α 解析 由幂函数的定义知 k=1.又 f? ?= ,所以? ? = ,解得 α = ,从而 k+α 2 2 ?2? 2 ?2? 3 = . 2 3.已知曲线 y=-x +ax+1 在点(-1,2-a)处的切线斜率为-2,则 a 等于( A.-5 B.-1 C.5 D.1 答案 D 解析 由题意知 y′|x=-1=(-3x +a)|x=-1=a-3=-2,则 a=1. 4.下列函数中既是奇函数,又是定义域内的减函数的是( A.f(x)=xlg 2 C.f(x)=sinx 答案 B 解析 A 中,函数 f(x)=xlg 2 是增函数;B 中,画图可知函数 f(x)=-x|x|是奇函数, ln x 且是减函数;C 中,函数 f(x)=sinx 不单调;D 中,函数 f(x)= 的定义域是(0,+∞), ln x D.f(x)= ) B.f(x)=-x|x|
2 3

)

x

x

是非奇非偶函数.故选 B. 5 .[2016·宝鸡二检 ]已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(1)= 4,且 f(x) 的导函数
1

f′(x)<3,则不等式 f(ln x)>3ln x+1 的解集为(
答案 B

)

A.(1,+∞) B.(0,e) C.(0,1) D.(e,+∞) 解析 设 g(x)=f(x)-3x-1, 则 g′(x)=f′(x)-3.由题意, 得 g′(x)<0 且 g(1)=0, 故函数 g(x)为单调递减函数.不等式 f(ln x)>3ln x+1 可以转化为 f(ln x)-3ln x-1>0,
?x>0, ? 即 g(ln x)>0=g(1),所以? ?ln x<1, ?

解得 0<x<e. )

6.已知函数 f(x)的定义域是[0,1),则函数 g(x)=f[log1 (3-x)]的定义域为( 2

? 5? ? 5? A.[0,1) B.(2,3] C.?2, ? D.?2, ? ? 2? ? 2?
答案 C 解析 1? ? ∵已知函数 f(x)的定义域是[0,1),∴log1 (3-x)∈[0,1)=?log11,log12?, 2 ? ? 2 2

1 5 ∴ <3-x≤1,解得 2≤x< . 2 2 1 2 7.函数 f(x)= x -ln x 的单调递减区间是( 2 A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(0,1) 答案 B 1 2 1 x -1 解析 f(x)= x -ln x 的定义域为(0,+∞),f′(x)=x- = ,∴由 f′(x)≤0, 2 x x 1 2 得 0<x≤1,∴函数 f(x)= x -ln x 的单调递减区间为(0,1]. 2 8.[2016·重庆一中一模]定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x)=f(x+ 1 x 4),且 x∈(-1,0)时,f(x)=2 + ,则 f(log220)=( 5 4 A.1 B. 5 答案 C 解析 4 C.-1 D.- 5 )
2

) B.(0,1] D.[1,+∞)

2

1 2 9.[2016·河南八校联考]已知 f(x)= x +cosx,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x) 4 的图象大致为( )

答案 A 1 2 1 解析 因为 f(x)= x +cosx,所以 f′(x)= x-sinx,这是一个奇函数,图象关于原 4 2 1 1 π 点对称,故排除 B、D,又 f′(1)= -sin1< -sin <0,f′(2)=1-sin2>0,∴f′(x)的 2 2 4 图象大致为 A. 10.“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 C 解析 充分性: 当 a<0 时, f(x)=|(ax-1)·x|=-ax +x 为图象开口向上的二次函数, 且图象的对称轴为直线 x= 为增函数. 1 ?1? 必要性:当 a≠0 时,f? ?=0,f(0)=0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,则 <0,即 a<0, a 1?1 ? ? <0?,故 f(x)在(0,+∞)上为增函数;当 a=0 时,f(x)=x 2a?2a ?
2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

a

f(x)=x 时,为增函数,此时 a=0,故 a≤0.
综上,a≤0 为 f(x)在(0,+∞)上为增函数的充分必要条件. 11.[2016·兰州诊断]已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),若对于任 意实数 x,有 f(x)>f′(x),且 y=f(x)-1 为奇函数,则不等式 f(x)<e 的解集为( A.(-∞,0) C.(-∞,e ) 答案 B 解析 因为 y=f(x)-1 为奇函数, 且定义域 R, 所以 0=f(0)-1, 所以 f(0)=1.设 h(x) =
4

x

)

B.(0,+∞) D.(e ,+∞)
4

f?x?
e
x

e ?f′?x?-f?x?? ,则 h′(x)= ,因为 f(x)>f′(x),所以函数 h(x)是 R 上 x 2 ?e ?
x

x

的减函数,所以不等式 f(x)<e 等价于

f?x?
e
x

<1=

f?0?
e
3 0

,即 h(x)<h(0),所以 x>0,故选 B.

12.[2017·广西南宁模拟]已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的对称中心为 M(x0,

2

y0),记函数 f(x)的导函数为 f′(x),f′(x)的导函数为 f″(x),则有 f″(x0)=0.若函数

3

f(x)=x3-3x2,则 f?
+?+f?

? 1 ?+f? 2 ?+f? 3 ? ? ? ? ? ? ?2017? ?2017? ?2017?
)

?4032?+f?4033?=( ? ? ? ?2017? ?2017?

A.-8066 B.-4033 C.8066 D.4033 答案 A 解析 由 f(x)=x -3x 得 f′(x)=3x -6x,得 f″(x)=6x-6,又 f″(x0)=0,所以
3 2 2

x0=1,且 f(1)=-2,即函数 f(x)的对称中心为(1,-2),即 f(x)+f(2-x)=-4.
令 S=f? +?+f?

? 1 ?+f? 2 ?+f? 3 ?+?+f?4032?+f?4033?,则 S=f?4033?+f?4032? ? ? ? ? ? ?2017? ?2017? ?2017? ?2017? ?2017? ?2017? ?2017? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 3 ?+f? 2 ?+f? 1 ?,所以 2S=4033×(-4)=-16132,S=-8066. ? ? ? ? ? ?2017? ?2017? ?2017?
第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x +3x-4,则 f′(1)=________. 答案 8 1 解析 ∵f′(x)= -2f′(-1)x+3, f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-
2

x

2,∴f′(1)=1+4+3=8. 14.若函数 f(x)=(m-2)x +(m-1)x+2 是偶函数,则 f(x)的递增区间是________. 答案 (-∞,0] 解析 函数 f(x)=(m-2)x +(m-1)x+2 是偶函数, 所以 m=1, 则函数 f(x)=-x +2, 其单调递增区间是(-∞,0].
2 2 2

? 5? 15. 设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 则 f?- ?=________. ? 2?
1 答案 - 2 解析 因为 f(x)是奇函数, 且当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 所以当-1≤x≤0 时, 0≤

? 5? -x≤1, f(-x)=-2x(1+x)=-f(x), 即 f(x)=2x(1+x). 又 f(x)的周期为 2, 所以 f?- ? ? 2?
1? ? 1? 1 ? ? 1? 1 =f?-2- ?=f?- ?=2×?- ?× =- . 2? ? 2? 2 ? ? 2? 2 16.对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}=?
? ?a,a≤b, ?b,a>b. ?

设函数 f(x)=-x+3,g(x)

=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 答案 1
? ?log2x,0<x≤2, 解析 依题意, h(x)=? ?-x+3,x>2. ?

当 0<x≤2 时, h(x)=log2x 是增函数, 当 x>2

时,h(x)=3-x 是减函数,∴h(x)在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

4

1 1 17.(本小题满分 10 分)函数 f(x)= - (a>0,x>0).

a x

(1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性;

?1 ? ?1 ? (2)若函数 f(x)在? ,2?上的值域是? ,m?,求 a,m 的值. ?2 ? ?2 ?
解 (1)设 x1>x2>0,则 x1-x2>0,x1x2>0,

?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x1-x2>0,∴f(x )>f(x ). ∵f(x1)-f(x2)=? - ?-? - ?= - = 1 2 ?a x1? ?a x2? x2 x1
x1x2
∴函数 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.

?1 ? ?1 ? ?1 ? (2)由(1)得 f(x)在? ,2?上是单调递增函数,∵函数 f(x)在? ,2?上的值域是? ,m?, ?2 ? ?2 ? ?2 ?
1 1 1 1 ?1? 1 ∴f? ?= ,f(2)=m,即 -2= ,且 - =m, 2 2 a 2 a 2 ? ? 2 解得 a= ,m=2. 5 18.(本小题满分 12 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象过点(0,1)和(1,4),且对 于任意的实数 x,不等式 f(x)≥4x 恒成立. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设 g(x)=kx+1,若 F(x)=log2[g(x)-f(x)]在区间[1,2]上是增函数,求实数 k 的 取值范围. 解 (1)f(0)=c=1,f(1)=a+b+c=4,
2 2

∴f(x)=ax +(3-a)x+1.

f(x)≥4x 即 ax2-(a+1)x+1≥0 恒成立得
?a>0, ? ? 2 ? ??a+1? -4a≤0,

解得 a=1.

∴f(x)=x +2x+1. (2)F(x)=log2[g(x)-f(x)]=log2[-x +(k-2)x]. 由 F(x)在区间[1,2]上是增函数, 得 h(x)=-x +(k-2)x 在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数,
2 2

2

k-2 ? ? ≥2, ∴? 2 ? ?h?1?=-1+k-2>0,

解得 k≥6.

∴实数 k 的取值范围为[6,+∞). 19.[2017·福建三明一中月考](本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的 奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x)=2 -1. (1)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (2)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2017)的值. 解 (1)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
2-x

x

又 f(x)的图象关于 x=1 对称, 则 f(x)=f(2-x)=2 -1,x∈[1,2].
5

(2)∵函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x), 又函数 f(x)的图象关于 x=1 对称, 则 f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1, 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2017)=504×(0+1+0-1)+f(0)+f(1)=1. 20.(本小题满分 12 分)据统计,某种汽车的最高车速为 120 千米/时,在匀速行驶时每 1 3 小时的耗油量 y(升)与行驶速度 x(千米/时)之间有如下函数关系:y= x3- x+8.已 128000 80 知甲、乙两地相距 100 千米. (1)若汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶,则从甲地到乙地需耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解 100 (1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5(小时), 40

需耗油?

? 1 ×403- 3 ×40+8?×2.5=17.5(升), ? 80 ?128000 ?

所以汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地需耗油 17.5 升. 100 (2)当汽车的行驶速度为 x 千米/时时,从甲地到乙地需行驶 小时.

x

设耗油量为 h(x)升,依题意,得

h(x)=?


? 1 x3- 3 x+8?·100 ? x 80 ?128000 ?

1 2 800 15 x+ - , 1280 x 4 800 x -80 - 2= 2 (0<x≤120). 640 x 640x

其中,0<x≤120.

h′(x)=

x

3

3

令 h′(x)=0,得 x=80. 因为当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数, 所以当 x=80 时,h(x)取得最小值,且 h(80)=11.25. 所以当汽车以 80 千米/时的速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 21.[2017·贵州月考](本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ln (e +a)(a 为常数,e 为 自然对数的底数)是实数集 R 上的奇函数. (1)求实数 a 的值; (2)讨论关于 x 的方程 解 ln x 2 =x -2ex+m 的根的个数. f?x?
x x

(1)∵f(x)=ln (e +a)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x),
6

即 ln (e +a)=-ln (e +a)恒成立, ∴(e +a)(e +a)=1,∴1+ae +ae +a =1, 即 a(e +e +a)=0 恒成立,故 a=0. (2)由(1)知方程 ln x ln x 2 2 =x -2ex+m,即 =x -2ex+m. f?x? x
x
-x -x

-x

x

x

-x

x

2

ln x 2 令 f1(x)= ,f2(x)=x -2ex+m,

x

1-ln x 则 f1′(x)= , 2

x

当 x∈(0,e]时,f1′(x)≥0,∴y=f1(x)在(0,e]上为增函数; 当 x∈(e,+∞)时,f1′(x)<0,∴y=f1(x)在(e,+∞)上为减函数, 1 ∴当 x=e 时,f1(x)max= . e 而 f2(x)=x -2ex+m=(x-e) +m-e , 当 x∈(0,e]时,y=f2(x)是减函数; 当 x∈[e,+∞)时,y=f2(x)是增函数, ∴当 x=e 时,f2(x)min=m-e . 1 2 1 2 故当 m-e > ,即 m>e + 时,方程无实根; e e 1 1 2 2 当 m-e = ,即 m=e + 时,方程有一个根; e e 1 2 1 2 当 m-e < ,即 m<e + 时,方程有两个根. e e 22. [2016·江苏高考](本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=a +b (a>0, b>0, a≠1, b≠1). 1 (1)设 a=2,b= . 2 ①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)若 0<a<1,b>1,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值. 解 1 (1)因为 a=2,b= , 2
x
-x 2 2 2 2

x

x

所以 f(x)=2 +2 . ①方程 f(x)=2,即 2 +2 =2,亦即(2 ) -2×2 +1=0, 所以(2 -1) =0,于是 2 =1,解得 x=0. ②由条件知 f(2x)=2 +2 且 f(x)>0, ?f?x?? +4 所以 m≤ 对于 x∈R 恒成立. f?x? 而 ?f?x?? +4 4 =f(x)+ ≥2 f?x? f?x?
2 2 2x -2x

x

-x

x 2

x

x

2

x

=(2 +2 ) -2=(f(x)) -2.

x

-x 2

2

因为 f(2x)≥mf(x)-6 对于 x∈R 恒成立,

f?x?· =4, f?x?
7

4



?f?0?? +4 =4, f?0?

2

所以 m≤4,故实数 m 的最大值为 4. (2)因为函数 g(x)=f(x)-2 只有 1 个零点, 而 g(0)=f(0)-2=a +b -2=0, 所以 0 是函数 g(x)的唯一零点. 因为 g′(x)=a ln a+b ln b,又由 0<a<1,b>1 知 ln a<0,ln b>0,
x x
0 0

令 h(x)=g′(x),则 h′(x)=(a ln a+b ln b)′=a (ln a) +b (ln b) , 从而对任意 x∈R,h′(x)>0,所以 g′(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当 x∈(-∞,x0)时,g′(x)<g′(x0)=0;当 x∈(x0,+∞)时,g′(x)>g′(x0)= 0. 因而函数 g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数. 下证 x0=0.

x

x

x

2

x

2

又 <0,所以 x1<0,与“0 是函数 g(x)的唯一零点”矛盾. 2 若 x0>0,同理可得,在 和 logb2 之间存在 g(x)的非 0 的零点,矛盾. 2 因此,x0=0. ln a 于是- =1,故 ln a+ln b=0,所以 ab=1. ln b

x0

x0

8


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