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2014-2015学年度高三上学期期中考试数学文科试题

2014-2015 学年度高三上学期期中考试数学文科试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.若集合 M ? ?x x ? 2 ? 0?, N ? ?x 1 ? x ? 3?,则 M ? N ? ( A. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | x ? 3} 2.复数 B. {x | x ? 1} D. {x |1 ? x ? 2} ) D. ?
1 5



?i ( i 为虚数单位)的虚部是( 2i ? 1

A.

1 i 5
2 2

B.

1 5

1 C. ? i 5

3.已知 log1 b ? log1 a ? 0 ? c ? 1 ,则( A. 2b ? 2a ? 2c C. 2c ? 2b ? 2a
1 ? 4.已知 sin 2? ? ,则 cos 2 (? ? ) ? ( 5 4

) B. 2a ? 2b ? 2c D. 2c ? 2a ? 2b )
2 5 1 5

A.

4 5

B.

3 5

C.

D.

5.函数 y ? f ( x) 在区间 (?2,2) 上的图象是连续不断的, 且方程 f ( x) ? 0 在 (?2,2) 上仅有一个实根 x ? 0 , 则 f (?1) f (1) 的值( A.大于 0 C.等于 0 ) B.小于 0 D.与 0 的大小关系无法确定

6.设 P ( x, y ) 是函数 y ? A. 3

2 ? ln x 图象上的点,则 x ? y 的最小值为( x

) D. 3 ? ln 2

B. 2

7 C. ? ln 2 2

?OAB( O 为原点) 7.在等比数列 ?an ?中, 公比 q 满足如下条件: 中, , a7 是 a8 , a9 的等差中项, OA ? ( 1,1 )

OB ? (2, q) , ? A 为锐角,则公比 q 等于(
A. 1 B. ? 1 C. ? 2

) D. 1 或 ? 2

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8.能够把椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f ( x) 称为椭圆 C 的“亲和 4 8

函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是( A. f ( x) ? x 3 ? x 2 C. f ( x) ? sin x ? cos x B. f ( x) ? 1n


5? x 5? x

D. f ( x) ? e x ? e? x )

9 若正数 a , b 满足,直线 ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 a ? b 的最大值是( A. 4 B. 2 2 C. 2 D. 2

?y ? x ? 10.设 m ? 1 , 在约束条件 ? y ? m x 下, 目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2, 则 m 的取值范围是 ( ?x ? y ? 1 ?
A. 1,1 ? 2



?

?

B. 1 ? 2 ,??

?

?

C. ?1,3?

D. ?3,??? )

11.关于方程 log2 x ? a(a ? 0) 的两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 以下说法正确的是( A. x1 ? x2 ? 3 C. x1 x2 ? 1 12.设 F1 , F2 是椭圆 E : B. x1 x2 ? 2 D. 1 ? x1 ? x2 ? 2

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左,右焦点, P 为直线 x ? a 上一点, ?F2 PF1 是底角 2 2 a b

为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.
1 2

) C.
3 4

B.

2 3

D.

4 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.函数 y ? f ( x) 的图像在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?
1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2

. .

14. 在等差数列 ?a n ? 中,若 a6 ? a7 ? a8 ? 12,则此数列的前 13 项之和为

? 2x , x?t ? 15.设 t ? 0 ,函数 f ( x) ? ?log x, x ? t 的值域为 M ,若 4 ? M ,则 t 的取值范围是 1 ? ? 2
16.某学生对函数 f ( x) ? 2 x cos x 的性质进行研究,得出如下的结论: ①函数 f ( x) 在 ?? ? ,0? 上单调递增,在 ?0, ? ? 上单调递减;
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.

②点 (

?
2

,0) 是函数 y ? f ( x) 图象的一个对称中心;

③函数 y ? f ( x) 图象关于直线 x ? ? 对称; ④存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立. 其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17 题 10 分,18-22 各 12 分,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,边 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, 且满足: b cos C ? (3a ? c) cos B . (1)求 cos B ; (2)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O ⊥平面 ABCD , AB ? AA1 ? 2 . (1)证明: A1BD // 平面 CD1B1 ; (2)求三棱柱 ABD ? A1B1D1 的体积.

19. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 是等差数列,且首项 a1 ? 3, a8 ? a3 ? 10 , S n 为数列前 n 项和.
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(1)求数列 ?an ? 的通项公式及 Sn ;
? 4 ? (2)若数列 ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . ? an ? 1 ?

20. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, 以曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 为切点的切线 方程为 y ? 3x ? 1 . (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x) 的表达式; (2)在 (1) 的条件下,求 y ? f ( x) 在 ?? 3,1?上的最大值.

21.(本小题满分 12 分)设点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C :
0 圆 C 上任意一点,且 PF 1 ? PF 2 的最小值为 .

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 的左、右焦点, P 为椭 a2

(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点,且

F1M ? l , F2 N ? l ,求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

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22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ln x ? bx3 ? c 在 x ? 1 处取得极值 c ? 2 , a, b, c 为常数, (1)试确定 a , b 的值; (2)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围.

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