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椭圆的简单几何性质课件(2) 新人教A版选修2-1


2.2.2

椭圆的简单几何性质

第二课时

知识回顾

y x 2 2 2 1. 椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0, a ? b ? c ? a b

2

2

的范围、对称性、顶点、离心率 范围:-a≤y≤a,-b≤x≤b. 对称性:关于x轴、y轴、原点对称.
顶点:(0 ,± a),(±b ,0 ).
c 离心率: e ? . a

知识回顾

2.椭圆离心率的取值范围?离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响? e∈(0,1). e越接近于0,椭圆越圆; e越接近于1,椭圆越扁.

新知探究

x y 对于椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? b a y
M O x

2

2

椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a,最小值为b.

新知探究

椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小 值分别是什么?

y
B2

M
F2

|MF2|min=|A2F2| =a-c |MF2|max=|A1F2| A2 x =a+c

A1 F
1

O B1

新知探究

点M在椭圆上运动,当点M在什么位 置时,∠F1MF2为最大?
y M F1 O

点M为短轴的端点.
F2

x 此时△F1MF2的面 积最大

25 解:设d是点M到直线l : x ? 的距离,根据题意, 4 ? MF 4 ? ? ? 点M的轨迹就是集合P ? ?M ? ?, d 5? ? ? ? ( x ? 4) ? y 2 4 由此得 ? . 25 5 ?x 4

例1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线 4 25 l:x= 的距离的比是常数 5 ,求点M的轨 4 迹.
y l M o d H x

F

将上式两边平方,并化简,得9 x 2 ? 25 y 2 ? 225,

x2 y 2 即 ? ?1 25 9
所以,点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。

变式: 1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的 距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( B ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定

新知探究

1.对于椭圆的原始方程,
(x + c ) + y +
2
2 2

(x - c) + y = 2a
2 2

2

2

变形后得到 a - cx = a (x - c) + y , 再变形为
(x - c)? y
2 2

这个方程的几何意义如何?

a2 x? c

c ? a

.

新知探究

y
2 2

l

(x - c)? y a x? c
2

c ? a

M
O F

H
x

椭圆上的点M(x,y)到焦点F(c,0)的距 2 a 的距离之比等于离 离与它到直线 x ? c 心率.

a x? c

2

新知探究

若点F是定直线l外一定点,动点M到 点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(0<e<1),则点M的轨迹是椭 l 圆.
M F H

新知探究

F2(c,0)的准线,相应于焦点 a2 F1(-c,0)的准线方程是 x ? ?
y

a 直线 x ? 叫做椭圆相应于焦点 c c

2

a x?? c

2

a x? c
F1 O F2 x

2

新知探究

x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的准线方程是 b a 2 y a y? c
F2

O
F1

x
a y?? c
2

y 2 x2 3 ? 2 ?1 例2.椭圆 a 2 b (a>b>0)的离心率 e ? 2 ,

焦点到椭圆上点的最短距离为2- 3求椭圆 的方程.

x y 例3. 设F1、F2为椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b

2

2

的两焦点,若椭圆上存在点P,使

∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取
值范围.
y

B
F1 O

1 e ? [ ,1) 2

P F2 x

练习:已知F1 、F2椭圆的左右焦点,椭 圆上存在点M使得MF1⊥MF2,求椭圆的 离心率的范围.
y

BM
F1 O F2 x

课堂小结

1.椭圆上的点到一个焦点的距离 与它到相应准线的距离之比等于椭圆 的离心率,这是椭圆的一个重要性质, 通常将它称为椭圆的第二定义.

课堂小结

2.一个椭圆有两条准线,并与两 个焦点相对应,两条准线在椭圆外部, 且与长轴垂直,关于短轴对称.

课堂小结

3.椭圆焦半径公式的两种形式与 焦点位置有关,可以记忆为“左加右 减,下加上减”.

布置作业

1、P49习题2.2A组:

3,4,5,10.


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