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一元二次方程根的判别式、根与系数关系_图文

一元二次方程根的判别式、
根与系数的关系

一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点,它的应用很广泛,既可以 用来判断一元二次方程根的情况,还是后续知识点的基础和准备。另一方面, 根的判别式也能独立形成综合题。

一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的判别式:△=b 2-4ac △>0方程有两个不相等的实数根. △=0方程有两个相等的实数根. △<0方程没有实数根. △≥0方程有两个实数根. 上述命题的逆命题也正确

例1:不解方程判断下列方程根的情况 ① x? -4x-1=0 ②x? +5=2x ③ x? -mx+m? +1=0

例2:k取何值时,方程4 x? -(k+2)x+(k-1)=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根

分析:①方程有一个根是-1,需将x=-1代入原方程 ②方程有两个相等的实根,既△=0

例3:当m为何值时,方程(m-1)x? +2mx+m+3=0 ①﹑无实根 ②﹑有实根 ③﹑只有一个实根 ④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根

分析

(1)﹑只需△<0 (2)、分情况讨论 ① m-1=0 (3)﹑当m-1=0时 (4)、 △≥0 且 m-1≠0 (5)、△>0 且 m-1≠0 (6)、 △=0 且 m-1≠0 ② △≥0 且m-1≠0

例4:求证关于x的方程x? -(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实根。

证明:△=[-(m+2)] 2-4(2m+1)=m2 -4m+8=(m-2)2 + 4 ∵不论m为何实数(m-2)2≥0 ∴(m-2)2+4一定是正数 既△>0 ∴方程x? -(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实根 例5:已知a是实数且方程x? +2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 (2a 2-1)x? +2ax+2a 2-1=0 ②没有实根 解:∵方程x? +2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a? -4>0 既a? >1 方程②中a>1 ∴ 2a? -1>1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a? -4(2a-1)2=-4(4a-1)(a-1) ∵a? >1 ∴a? -1>0 ∴(4a? -1)>0 2=-4(4a? -1)(a? -1)<0 ∴方程②无实根

一元二次方程的根与系数关系

一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点,在中考中占有重要的地位,纵观近年全国各地的中考试题,这个知 识点的考查可以解决以下几个问题: 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1,x 2,那么

一:掌握常见变形,快速求值

例1:已知方程2x 2-7x+2=0的两根为x 1和x 2,求下列各式的值 (1)x 1 2+x 22 (2)+ (3)(x 1-x 2)2 (4)(x 1-2)(x 2-2)
(5) x
1 2

x 2 + x2 2 x2 -3

二、已知方程的根,求另一根及某一系数 例2: (1)已知方程mx 2+4x+3=0有一根是1,另一根是______. (2)若方程x 2+kx+3=0有一根是-1,则k=______ 三:以两个数为根作一元二次方程 以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0 例3:分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是: 分析:本题求一个已知两个根的一元二次方程,关键是要求出两个根的和与两根的积。

四、不解方程,求与根有关的代数式的值 例2 若a、b为互不相等的实数,且a 2-3a+1=0,b 2-3b+1=0 求a 2-ab+b 2的值 分析:要求一个含字母a、b的代数式的值,常规的解法就是 先求出a、b的值,然后代入求解.本题若按这个思路计算将 会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算,运算量非常 大.但如果考虑a、b的关系,把a、b看作某个一元二次方程 的两个根,利用根与系数的关系得到a、b的关系式,再利用 a、b的关系式整体代入,问题将会变得简便. 解:根据题意知a、b是方程x 2-3x+1=0的两个根由根 与系数关系得a+b=3,ab=1. 点评:本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2-3x+1=0的 两根,利用根与系数关系得a+b=3,ab=1,再通过运用整体代换 的思想代入运算,问题可求.利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值,

五、利用给出条件,确定一个一元二次方程中某个字母系数的值 例3 已知关于x的方程x 2+px+q=0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7,而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5,求p、q值. 分析:本题要求已知一元二次方程x 2+px+q=0中的字母系数p、q的值,只要 利用题目的条件,把p、q的关系式列出,再通过变形得到关于p、q的方程组, 解此方程组即可求出p、q. 解:设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系,得 X 1+x 2=-p,x 1· x 2=q, ……① 又由题意得(x 1+x 2) 2=x 1· x 2+7 ……② (x 1-x 2) 2=3 x 1· x 2-5 ……③ ∵(x 1-x 2) 2=(x 1+x 2) 2-4 x 1· x2 代入③得(x 1+x 2) 2=7x 1· x 2-5 ……④ 将①式分别代入②、④中,得 p 2=q+7 p=3 p=-3 p 2=7q-5 即: q=2 q=2

例1 选择题:若方程3x 2+(k 2-3k-10)x+3k=0的两根互为相反数,k的值为 [ ] A.5 B.-2 C.5或-2 D.0 分析:不能只考虑到需两根和等于0,还要考虑到需Δ≥0 例2:m为何实数时,方程4x 2+(m-2)x+m-5=0的根都小于零? 分析:要使原方程的根都小于零,必需Δ ≥0, x 1+x 2<0 , x 1· x 2>0

例3:如果两圆圆心距等于2,半径分别为R,r,且R,r是方程4x 2-20x+ 21=0的两个根,判断两圆的位置关系.

综合应用,主要是与三角、几何和函数等知识综合应用
例4: 已知抛物线y=x 2-2kx+2k-1与x轴有两个不同交点. 求(1)k值范围;(2)若抛物线与x轴两交点间的距离为2,求抛物线的解析 式 解:(1)因为抛物线与x轴有两个不同交点,所以x 2-2kx+2k-1=0有两个不 相等的实数根. 即Δ=(-2k) 2-4(2k-1)>0,(k-1) 2>0,∴k≠1. (2)设抛物线与x轴交点为(x 1,0),(x 2,0),x 1+ x 2=2k , x 1﹒x 2=2k-1 ∣x 1-x 2∣=2 得:(2k)2-4(2k-1)=4 解得k 1=0,k 2=2. 所以抛物线为y=x 2-1 或y=x 2-4x+3. 注意:这类题目应注意抛物线与x轴两交点之间的距离就是一元二次方程两根 之差的绝对值.因而应用此类关系式可以确定抛物线的解析式.

思考题:1、已知x 1,x 2是一元二次方程2x 2-2x+m+1=0的两个实数根, (1)、求m的取值范围 (2)、如果x 1,x 2满足7+4 x 1﹒x 2>x 1 2+x 2 2 且m为整数,求m的 值。
2、已知x 1,x 2是关于x的一元二次方程x 2+2mx+m-1=0的两个负实数根, 且 X 1 2+x 2 2 =8。求m的值 3、已知⊙O的面积为π,△ABC内接于⊙O,a、b、c分别是三角形三个内 角A、B、C的对边,且a 2+b 2=c 2,sinA、sinB是方程 [m-( 3 -1)]x 2-[m+(3 -1)]x+ 3 =0的两根 (1)判定△ABC的形状; (2)求m的值; (3)求△ABC三边的长

振南明:京师顺天府被李自成率领的大顺军攻陷后,明朝宗室先后在南方成立朝廷,沿用“大明”国号。 [8] 但由于清朝入关之初宣 称“天下取自于贼,而非明”。 ; http://www.52zwxs.com/xs/0/470/ 振南明 kfh74ndg 立足未稳之时便急于诏修《振南明》,其目的是显而易见的。以此宣告明朝已亡,不再承认南明朝廷的合法性,所以清朝官方即在南明 君臣称呼上加“伪”加以区别“前明”;比如:“伪永历”、“伪晋王” [9] ,称呼加“伪”是对南明朝廷的蔑称。辛亥革命以后官 方开始把这段历史改称为“南明”或“后明”。

的心已经漏掉了许多拍。本来,他为竭力掩饰自己的失态,口不对心地找些无关紧要的闲话,可是张口的壹句话居然是:“这弹琴的, 可是年家丫鬟?”还好,忍住了没有将“玉盈”两字说出口,这年家大丫鬟的闺名,岂是容得壹个男人随便出说口的?年老爷壹直都在 紧张而恭敬地待客,早就是自顾不暇,哪儿还可能觉察出王爷的失态?听到王爷提及凝儿的琴曲,只顾得慌忙应承道:“确是小女,才 疏艺浅,怕是会污了王爷的耳目。”第壹卷 第二十六章 琴瑟王爷壹听,果然是年丫鬟!玉盈姑娘,你真的是有无穷的惊喜在等待着 本王!虽然他的心中纵有千般心慌意乱,表面上仍是壹副面不改色心不跳的样子,随口恭维了壹句:“此曲只应天上有,有幸听闻,荣 幸之至。”为了尽快转移话题,还不待年总督回答,他随眼瞟到年二公子腰间系的荷包,赶快随口没话找话地打趣道:“亮工的荷包可 是别具特色啊!少见这种样式呢”年二爷听王爷如此夸赞,高兴地脱口而出:“这也是妹子做的。我嫡妻亡故,妾室身体不愈,这些事 情就全劳烦妹子了。”本来只是为了转移话题,哪里想又提到了妹子,王爷只觉得没有办法继续再坐下去,心如撞兔般乱得不行,胡乱 说了两句,便起身告辞。年府上下赶快又是起身相送,又是安排牵马拉车的,忙乱壹番。待出了年府,眼见身后跪了壹家子相送的人, 他本来是想到府外,壹个人继续欣赏那美妙的琴声,但当着那忽拉拉跪倒壹片的年家老少,全都恭候他上马启程的样子,无奈之中,他 只得悻悻而归。只是,那悠场的琴音,真如绕梁三日不绝于耳,搅得王爷坐卧不安。已经过去壹天了,那琴声犹如绵绵不尽地倾诉着心 事,回荡在他的脑海。他是精通音律之人,能让他如此欣赏,琴艺绝对是非常高超。无论是宫中还是民间,能有年丫鬟这般水平的,真 是掰着手指头都能数得过来。他在暗想着。他也知道,年丫鬟琴艺的高妙之处不在于技法有多么的娴熟,而是融入了她自己的感受,她 是用心在弹奏,用心在表达。有很多艺人,单从指法技艺上来讲,都是强过她的,但是,这些人,根本都是在应付差事,不管是民间堂 会还是进宫献艺,他们只是将琴艺作为养家糊口的工具而已。而她不同,她在琴艺中,倾注了自己的全部心意,注入了全部的感情,她 是在用琴诉说。壹天之中,竟是这么多次想到那美妙的琴音,这让他很是不自在。他是壹个严谨自律、办事认真、壹丝不苟、自有主张 的人,不会被旁心杂念牵扯羁绊,因此,他强迫自己忘掉那萦绕心间、绵绵不断的琴音。可是,这哪里他能够自己就强迫了的事情?特 别是随着夜幕的来临,这种情绪愈发地强烈起来。无奈,他唤上秦顺儿,牵过马来,直奔年府,只是这壹次,他并没有传口信


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