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2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1复习课件:2.3.2(共31张PPT)_图文

2.3.2 双 曲线的简

学习目标

思维脉络

1.掌握双曲线的范围、对称性、 双曲线的几何性质

顶点、渐近线、离心率等几何性 范围

质.

对称性

2.能够利用双曲线的标准方程 画出双曲线的图形. 3.掌握根据双曲线的几何性质

顶点 —应用 渐近线

解决有关问题的方法.

离心率

双曲线的几何性质

标准方程

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)

y2 a2

?

bx22=1(a>0,b>0)

图形 性 质
焦点 焦距

F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c

F1(0,-c),F2(0,c)

标准方程
范围 对称性 性 顶点 质轴
离心率 渐近线

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)

x≤-a 或 x≥a

y2 a2

?

bx22=1(a>0,b>0)

y≤-a 或 y≥a

y∈R

x∈R

对称轴:坐标轴;对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)

实轴:线段 A1A2,长:2a;虚轴:线段 B1B2,长:2b;实半轴

长:a,虚半轴长:b

e= ∈(1,+∞)

y=± x

y=± x

名师点拨 1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条 对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线; 双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦 点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果 双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同
渐近线的双曲线方程可设为22 ? 22=λ(λ≠0),当 λ>0 时,对应的 双曲线焦点在 x 轴上,当 λ<0 时,对应的双曲线焦点在 y 轴上.

3.因为 e= =

2+2 2

=

1+



2,所以 =

2-1,所以离心

率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大

小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.

4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线

方程为 y=±x,离心率等于 2.

【做一做 1】 若点 M(x0,y0)是双曲线42 ? 252=1 上支上的任

意一点,则 x0 的取值范围是

,y0 的取值范围



.

解析:因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2. 答案:(-∞,+∞) [2,+∞)

【做一做2】 双曲线4x2-2y2=1的实轴长等于

,虚轴长

等于

,焦距等于

.

解析:双曲线方程化为

2
1

?

2
1

=1,于是

a2=14,b2=12,c2=34,所以

42

a=12,b= 22,c= 23,故实轴长等于 1,虚轴长等于 2,焦距等于 3.

答案:1 2 3

【做一做 3】

双曲线2
2

?

142=1

的离心率为

.

解析:因为 a2=2,所以 a= 2.又 b2=14,所以 c2=a2+b2=16,所 以 c=4,故 e==2 2.

答案:2 2

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上. ( ) (2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同. ( ) (3)双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大. ( ) (4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共 同的渐近线. ( )
答案:(1) (2)× (3)× (4)×

探究一

探究二

探究三

根据双曲线的标准方程研究其几何性质

【例1】 求双曲线25y2-4x2+100=0的实半轴长、虚半轴长、焦 点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.

思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再

写出各个结果.

解双曲线的方程

25y2-4x2+100=0

可化为2
25

?

42=1,所以焦点

在 x 轴上,所以 a2=25,b2=4,因此实半轴长 a=5,虚半轴长 b=2,顶点

坐标为(-5,0),(5,0).

由 c= 2 + 2 = 29,得焦点坐标为( 29,0),(- 29,0).

离心率 e= = 529,渐近线方程 y=±25x.

探究一

探究二

探究三

反思感悟 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方 程,则应先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得 到c值,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出它的几何性质.
2.求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴 上,以免写错.

探究一

探究二

探究三

变式训练 1(1)双曲线 2x2-y2=-8 的实轴长是 ( )

A.2

B.2 2

C.4

D.4 2

(2)双曲线42 ? 92=1 的渐近线方程是(

)

A.y=±23x B.y=±49x

C.y=±32x D.y=±94x

探究一

探究二

探究三

解析:(1)双曲线方程可变形为82 ? 42=1,所以 a2=8,a=2 2, 故实轴长 2a=4 2.
(2)因为 a2=4,b2=9,焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为
y=±x=±32x.
答案:(1)D (2)C

探究一

探究二

探究三

根据双曲线几何性质求其标准方程
【例 2】求满足下列条件的双曲线的方程:
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,实轴长与虚轴长之比为 2∶3,
且经过点 P( 6,2); (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为53,且经过点
M(-3,2 3);
(3)若双曲线的渐近线方程为 2x±3y=0,且两顶点间的距离
是 6.

思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参 数a,b的值,即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.

探究一

探究二

探究三

解(1)设双曲线方程为22 ? 22=1(a>0,b>0).

∵双曲线过点 P( 6,2),∴42 ? 62=1.

由题意得



=

2 3

,

4 2

-

6 2

=

解得 1,

2

=

4 3

,

2 = 3.

故所求双曲线方程为32
4

?

32=1.

探究一

探究二

探究三

(2)设所求双曲线方程为22 ? 22=1(a>0,b>0).

∵e=53,∴e2=22 = 2+22=1+22 = 295,∴ = 43.

由题意得



=

4 3

,

9 2

-

12 2

=

解得 1,

2

=

9 4

,

2 = 4.

∴所求的双曲线方程为42
9

?

42=1.

探究一

探究二

探究三

(3)设双曲线方程为

4x2-9y2=λ(λ≠0),即

2


?

2


=1(λ≠0),由题意

49

得 a=3.

当 λ>0 时,4=9,λ=36,双曲线方程为92 ? 42=1;

当 λ<0 时,-9=9,λ=-81,双曲线方程为92 ? 4812=1.

故所求双曲线方程为2
9

?

42=1

或2
9

?

4812=1.

探究一

探究二

探究三

反思感悟 1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时,常用的方法 是先定型(确定焦点在哪个轴上),后计算(确定a2,b2的值).要特别注 意c2=a2+b2的应用,不要与椭圆中的关系混淆.
2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线为
y=x 的双曲线方程可设为22 ? 22=λ(λ≠0);如果两条渐近线
的方程为 Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为 A2x2-B2y2=m(m≠0);
与双曲线22 ? 22=1 共渐近线的双曲线方程可设为22 ? 22=λ(λ≠0).

探究一

探究二

探究三

变式训练 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一 个顶点的坐标为(0,2);
(2)双曲线的渐近线方程为 y=±12x,且经过点 A(2,-3).

探究一

探究二

探究三

解(1)由已知,双曲线焦点在 y 轴上,设其方程为22 ? 22=1(a>0,b>0),则 2a+2b=2 2c,即 a+b= 2c.
又 a=2,且 a2+b2=c2,所以 a=2,b=2,因此双曲线的标准方程为

2 4

?

42=1.

(2)由双曲线的渐近线方程为 y=±12x,可设双曲线方程为

222-y2=λ(λ≠0).

因为 A(2,-3)在双曲线上,所以2222-(-3)2=λ,即 λ=-8,所求双曲线

的标准方程为2
8

?

322=1.

探究一

探究二

探究三

双曲线的渐近线与离心率问题

【例 3】 (1)过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,F1 是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于( )

A. 2-1 B. 2

C. 2+1 D. 2+2

(2)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于

5,则其渐近线方程为 .
解析:(1)不妨设双曲线标准方程为22 ? 22=1(a>0,b>0),依题 意知直线 PQ 所在直线方程为 x=c,代入双曲线方程得|PQ|=22.
因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即 2c=2,于是 2ac=b2=c2-a2,
所以 e2-2e-1=0,解得 e= 2+1(e=1- 2舍去),故选 C.

探究一

探究二

探究三

(2)依题意得 e= = 5,所以22=5,即2+22=5,解得=2.
若双曲线焦点在 x 轴上,则其渐近线方程为 y=±x,即 y=±2x;
若双曲线焦点在 y 轴上,则其渐近线方程为 y=±x,即 y=±12x.
答案:(1)C (2)y=±2x 或 y=±12x

探究一

探究二

探究三

反思感悟 1.求双曲线的离心率,就是求 a 和 c 的值或 a 和 c 的关系,然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下,由于受到 题目已知条件的限制,很难或不可能求出 a 和 c 的值,只能将条件 整理成关于 a 和 c 的关系式,进而求得的值,其关键是善于利用定 义以及图形中的几何关系来建立关于参数 a,b,c 的关系式,结合 c2=a2+b2,化简为参数 a,c 的关系式进行求解.
2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以

借助


=

2-1进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求

渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦

点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况),不能忘记分类讨论.

探究一

探究二

探究三

变式训练 3(1)过双曲线22 ? 22=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 引
它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于点E,若M为EF 的中点,则该双曲线的离心率为( )

A.2

B. 3

C.3

D. 2

(2)已知直线

2x-y+6=0

过双曲线2


?

82=1(m>0)的一个焦点,

则双曲线的渐近线方程为 .

探究一

探究二

探究三

解析:(1)由已知得 F(c,0),所以 FM 的方程为 y=-(x-c),由



= =

-




(-), 解得

,

M

2

,



.

又E

0,



.因为 M 为 EF 的中点,所以2

= 2,得 c2=2a2,e=

2.

(2)双曲线焦点在 x 轴上,因此可知双曲线焦点为(3,0),于是

m+8=9,解得 m=1,此时 a=1,b=2 2,c=3,所以双曲线的渐近线方

程为 y=±2 2x.

答案:(1)D (2)y=±2 2x

12345

1.双曲线92 ? 162=1 的左焦点与右顶点之间的距离等于 (

)

A.6

B.8

C.9

D.10

解析:由已知得左焦点(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之 间的距离等于8. 答案:B

12345

2.若双曲线 C 的两个焦点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1,0),则 C

的方程为( )

A.x2-y2=1

B.x2-y2=2

C.22-y2=1

D.x2-22=1

解析:由已知得双曲线焦点在 x 轴上,且 a=1,c= 2,所以

b2=c2-a2=1,于是双曲线方程为 x2-y2=1.

答案:A

12345

3.已知双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2,则实数k的取值范围是 () A.(-∞,0) B.(-3,0) C.(-12,0) D.(-12,1)

解析:双曲线方程可化为2
4

?

-2 =1,所以有

1<

4-
2 < 2,解得

- > 0,

-12<k<0.

答案:C

12345

4.若双曲线42 ? 2=-1 的渐近线方程为 y=±2x,则实数 m 等



.

解析:双曲线方程化为2


?

42=1,于是双曲线焦点在

y

轴上,且

m>0,所以 a= ,b=2,所以 2=2,解得 m=16.

答案:16

12345

5.已知双曲线的离心率 e= 25,且与椭圆132 + 32=1 有共同的焦点, 求该双曲线的标准方程.

解在椭圆中,a2=13,b2=3,∴c= 13-3 = 10,焦点坐标为

F1( 10,0),F2(- 10,0),

∴双曲线的焦点也在 x 轴上,且 c1=c= 10.



e=

25,得

10 1

=

25,∴a1=2

2,

∴12=8,12 = 12 ? 12=10-8=2.

故该双曲线的方程为2
8

?

22=1.


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