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2017届高考数学二轮复习规范__解答题的7个解题模板及得分说明模板5利用向量求空间角考题课件_图文

模板5 利用向量求空间角考题
[真题] (2015· 全国Ⅰ卷)(满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,点 E,F 是平 面 ABCD 同一侧的两点, BE⊥平面 ABCD, DF ⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC; (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

满分解答
(Ⅰ)证明 连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1. 由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3.(2 分) 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC 可知 AE=EC.又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 2 在 Rt △EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 2 . 6 在 Rt △FDG 中,可得 FG= .(4 分) 2

2 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2,DF= 2 ,可得 3 2 EF= 2 ,从而 EG2+FG2=EF2,所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC. 又因为 EG?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC.(6 分)

→ → (Ⅱ)解 如图,以点 G 为坐标原点,分别以GB,GC的方向为 x → 轴, y 轴正方向, |GB|为单位长度, 建立空间直角坐标系 G-xyz, 由(Ⅰ)可得 A(0,- 3,0),E(1,0, 3,0),(8 分) 2? → → ? 所以AE=(1, 3, 2),CF=?-1,- 3, ?.(10 分) 2? ? → ·CF → AE 3 → → 故 cos〈AE,CF〉= =- 3 . → → |AE||CF|
? 2),F?-1,0, ?

2? ?,C(0, 2?

所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 3 为 .(12 分) 3

得分说明
①用菱形的性质得出 AG=GC= 3得 2 分; ②利用线面垂直的性质和平面几何知识,得出 DF= 6 = 得 2 分; 2 ③利用勾股定理和面面垂直的判定定理得出结论得 2 分.
④正确建立空间坐标系得出各点坐标得 2 分; → ,CF → 得 2 分; ⑤表示出向量AE ⑥求出向量夹角的余弦值及写对结果得 2 分.

2 ,FG 2

解题模板 第一步 找垂直:找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂

直的直线.
第二步 写坐标:建立空间直角坐标系,写出特征点坐标. 第三步 求向量:求直线的方向向量或平面的法向量. 第四步 求夹角:计算向量的夹角. 第五步 得结论:得到所求两个平面所成的角或直线和平 面所成的角.

【训练 5】 (2016· 长沙二模)如图几何体 E-ABCD 是四棱锥, △ABD 为正三角形, ∠BCD=120°, CB = CD = CE = 1 , AB = AD = AE = 3 , 且 EC⊥BD.
(1)求证:平面 BED⊥平面 AEC; (2)M 是棱 AE 的中点,求证:DM∥平面 EBC; (3)求二面角 D-BM-C 的平面角的余弦值.

(1)证明 由于△ABD 为正三角形,∠BCD=120°,CB=CD= CE=1,故连接 AC 交 BD 于 O 点,则 AC⊥BD, 又∵EC⊥BD,EC∩AC=C,且 EC,AC?平面 AEC, 故 BD⊥平面 ACE,又 BD?平面 BED, 所以平面 BED⊥平面 AEC. (2)证明 取 AB 中点 N,连接 MN,ND,则 MN∥EB,且 MN? 平面 EBC 内,EB?平面 EBC, 所以 MN∥平面 EBC;而 DN⊥AB,BC⊥AB, 所以 DN∥BC,且 DN?平面 EBC 内,BC?平面 EBC,

故 DN∥平面 EBC,又 DN∩MN=N, 且 DN,MN?平面 DMN.故平面 DMN∥平面 EBC, 又 DM?平面 DMN,所以 DM∥平面 EBC. 1 3 (3)解 由(1)知 AC⊥BD,且 CO=2,AO=2, 又 AE2+EC2=AC2,∴∠AEC=90°, CO CE 连接 EO,则 CE =AC,故 EO⊥AC, 由(1)知 BD⊥平面 ACE,

又 EO?平面 ACE,故 EO⊥BD, 故建立如图所示空间直角坐标系, 则
? B?0, ? ? ? ? ? 1 ? 3 3 ?,D?0,- ?,C?- ,0,0?, , 0 , 0 2 2 ? 2 ? ? ? ?

?3 M ? , 0, ?4

3? → ?3 3 3? → ?,DM=? , ?,DB=(0, 3,0), , 4? 2 4? ?4

设平面 DBM 的法向量 m=(x1,y1,1),

→ =0, ? ? ? ?m · DB 3 则由? 得 m=?- ,0,1?, 3 ? ? → ? DM=0, ?m ·
?1 ? ?5 3 3? → → CB=? , ,0?,CM=? ,0, ?, 2 4? ?2 ? ?4

同理,平面 CBM 的法向量

? n=?- ?

? 3 1 ?, , , 1 5 5 ?

m· n 3 87 cos〈m,n〉= = . 29 |m||n| 3 87 故二面角 D-BM-C 的平面角的余弦值为 29 .


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