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高中数学人教B版选修1-2课件 章末归纳总结3_图文

成才之路 ·数学 人教B版 ·选修1-1 1-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 数系的扩充与复数的引入 第三章 章末归纳总结 1 知 识 结 构 3 专 题 研 究 2 学 后 反 思 4 随 堂 练 习 知识结构 学后反思 本章在小学、初中和高中所学知识的基础上,介绍复数的 概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容. 本章共分两大节.第一大节是“数系的扩充与复数的概 念”.第二大节是“复数的运算”.在第一大节中,首先简要 地展示了数系的扩充过程,回顾了数的发展,并指出当数集扩 充到实数集时,由于负数不能开平方,因而大量代数方程无法 求解,于是就产生了要开拓新数集的要求,从而自然地引入虚 数i,复数由此而产生. 接着,介绍了复数的有关概念和复数的几何表示.主要涉及的 概念有:复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数 相等、复数的模等.在第二大节中,介绍了复数代数形式的 加、减、乘、除的运算法则,同时指出了复数加法、减法的几 何意义,复平面上两点间的距离公式,沟通了“数与形”之间 的联系,提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助 处理“形”的工具. 本章有两条主线:一条主线是以复数代数形式来表示复数 的概念.规定了加、乘两种运算法则,然后把减、除法分别定 义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则.利用复数的四则 运算,可把复数代数形式 a + bi 看成由 a 和 bi 两个非同类项组 成,这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误,于 是复数就与多项式、方程联系起来,从而能帮助解决一些多项 式中的因式分解、解方程等数学问题. 另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数.由此引出了 复数运算的几何意义,使复数在平面几何、解析几何中得到广 泛应用.这两条主线在教材中是交替安排的,这样能加强学生 的“形与数”结合的观念,使学生在看到代数形式时就能联想 到几何图形,看到几何图形就能联想到对应的复数.有利于学 生深入理解复数概念,开阔学生的思路,培养和提高用“数形 结合”观点来处理问题的能力. 专题研究 一、知识性专题 专题一 复数的概念及运算 [专题解读] 判断复数是虚数、实数等问题时,需先化复 数为 a+bi(a,b∈R)的形式,然后在实部 a、虚部 b 都有意义 的前提下,根据复数的分类进行讨论. a2-7a+6 已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i(a∈R), a -1 试求实数 a 分别取什么值时,z 分别为: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. [解题提示] 应的 a 值. 根据实数、虚数、纯虚数的定义分别求出相 [解析] (1)当 z 为实数时, 2 ? a ? -1≠0, ? 2 ? ?a -5a-6=0, ? 1, ?a≠± ∴? ? ?a=-1或a=6. ∴当 a=6 时,z 为实数. (2)当 z 为虚数时, 2 ? ?a -5a-6≠0, ? 2 ? ?a -1≠0, ? ?a≠-1且a≠6, ? ? 1. ?a≠± ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚 数. (3)当 z 为纯虚数时, ?a2-7a+6 ? 2 =0, ? a -1 ?a2-5a-6≠0, ? ? ?a=6, ∴? ? ?a≠-1且a≠6. ∴不存在实数 a,使得 z 为纯虚数. z-2 已知 z 是纯虚数, 是实数,则 z 等于( 1-i A.2i C.-i B.i D.-2i ) z-2 ?z-2??1+i? z+zi-2-2i z-2 [解析] = = .又因为 是实 2 1-i ?1-i??1+i? 1-i z-2 zi-2 z-2i z-2i 数,z 是纯虚数,所以 = + ,所以 =0,所以 2 2 2 1-i z=2i.故选 A. z-2 -2+bi ?1+i??-2+bi? 另解: 设 z=bi(b≠0), 又 = = = 2 1-i 1-i ?-2-b?+?b-2?i 为实数,∴b=2, 2 ∴z=2i. [答案] D 专题二 复数的几何意义 [专题解读] 复数的几何意义包括三个方面:复数的表示 (点和向量)、复数模的几何意义及复数运算的几何意义,充分 体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来 研究代数问题. 任何一个复数 z=a+bi(a、b∈R)与复平面内一点 Z(a,b) 对应,而任一点 Z(a,b)又可与以原点为起点,点 Z(a,b)为终 → 点的向量OZ对应,这些对应都是一一对应,由此得到复数的几 何解法,特别要注意|z|、|z-a|的几何意义. 复数加减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角 形法则,由减法的几何意义知|z-z1|表示平面上两点 Z,Z1 间的 距离. 已知四边形 ABCD 是复平面上的平行四边形, 顶点 A,B,C 分别对应于复数-5-2i、-4+5i、2,求点 D 对应的复数及平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长. → → [解析] 因为BA=CD, 所以 zA-zB=zD-zC, 即 zD=zA-zB+zC=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i. → 因为AC=zC-zA=2-(-5-2i)=7+2i, → 所以|AC|=|7+2i|= 72+22= 53, → 因为BD=zD-zB=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i, → 所以|BD|=|5-12i|= 52+122=13. 故点 D 对应的复数是 1-7i,AC 与 BD 的长分别是 53和 13. [方法总结] 联系复数加减法的几何意义与向量之间的关 系,结合平行四边形的性质求解,利用向量相等以及平行四边 形对角线互相平分的性质,通过数形结合实现数与形的沟通. 已知复数 z1、z2,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 3,求 |z1-z2|. [解题

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