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高中数学必修四1.5.1三角函数图像的变化_图文

1.5 函数 的探究

y ? A sin( ?x ? ?) 图象

复习回顾:

y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.

? 3? 关键点: (0,0), ( ,1), (?,0), ( ,-1), (2?,0) .

y

1

. . . ? 3?/2 2? .
x

o ?/2 -1

.

例1、利用五点法作出 y ? 3 sin( 2 x ? 在一个周期的的图象?

?
3

)

? 对y ? sin( x ? ? )的图象的影响 探究一:
y ? sin( x ? )函数周期是多少?你有什么 思考1: 3 办法画出该函数在一个周期内的图象?

?

1.列表

x?

? 3

0
?

x
2.描点

y

? 3

? 2 ?
6

?
2? 3

3? 2 7? 6

2?
5? 3

y

0

1
7? 6

0
5? 3

?1

0

3.连线
? o ? ?
3

? 2? π
2 3

6

? y ? sin( x ? ) 3



x

? 思考2:比较函数 y ? sin( x ? ) 与 y ? sin x 的图象的形状和位 3 置,你有什么发现?

函数 y ? sin( x ? ) 的图象,可以看作是把曲线 y ? sin x 3 ? 上所有的点向左平移 个单位长度而得到的.
3

?

思考3:用“五点法”作出函数y ? sin( x ?

在一个周期内 的图象,比较它与函数 y ? sin x 的图象的形状和位置,你
3

?)

又有什么发现?
y
y = sin x

o

? ? 5? π
3 2 6

4? 3

11? 6

7? 3
2π x

y ? sin( x ?

?
3

)

思考4:一般地,对任意的 ? (? ≠0),函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象是由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到的?

y ? sin( x ? ? )的图象,可以看作是把正 弦曲线 y ? sin x 上所有的点向左(当

?>0时)或向右(当 ?<0时)平行 移动|? |个单位长度而得到.
平移变换

练习:(1)函数y = 3cos(x+ )图象向左平移 4

?

? 3个单位所得图像的函数表达式为 _____
5? (2):函数y = sin2x图像向右平移 12 个单

位所得图像的函数表达式为______

探究二: ?(? ? 0)对 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象的影响
思考5:用“五点法”作出函数
? x? 3

y ? sin( x ?

?

的图象,比较它们图象的形状和位置,你有什么发现?
? ? 3

)、 y ? sin (2 x ? ) 3 3 3? 2 7? 6

?

0

x y
? 2x ? 3

? 2 ?
6

?
2? 3

2?
5? 3

0

1

0

?1
3? 2 7? 12

0

0
? ? 6

x y

? 2 ?
12

?
?
3

2?
5? 6

0

1

0

?1

0

探究二: ?(? ? 0)对 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象的影响
思考6:用“五点法”作出函数
y ? sin( x ?

?

3

)、 y ? sin (2 x ?

?

3



的图象,比较它们图象的形状和位置,你有什么发现?

y ? sin( 2 x ?

?
3

的横坐标变为原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到的。
2

)的图象,可以看作是把曲线 y ? sin (x ?

? )的图像上所有点 3

思考7:一般地,对任意的 ? (? >0), 函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象是由函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象经过怎样的变换而 得到的? y ? sin( ?x ? ? ) 的图象,可以看作是把曲线
y ? sin (x ? ?) 的图像上所有点的横坐标变为
原来的 ? 倍(纵坐标不变)而得到的。 (当 ? >1时,图像缩短。 当0<
1

? <1时,图像伸长)
横向伸缩变换-周期变换

探究三: A(A ? 0)对 y ? A sin( ?x ? ? )的图象的影响
3 3

? ? 思考8:用“五点法”作出函数 y ? sin 、 (2 x ? ) y ? 3 sin (2 x ? )

的图象,比较它们图象的形状和位置,你有什么发现?
? ? 2 x ? y ? sin (2 x ? ) 3 3

x

y
? ? 2x ? 3 y ? 3 sin (2 x ? )
3

? ? 6

0

?
2 ? 12

?
?
3

3? 2 7? 12

2?
5? 6

0
? ? 6

1
?
2 ? 12

0

?1
3? 2 7? 12

0

0

?
?
3

2?
5? 6

x
y

0

3

0

?3

0

探究四: A(A ? 0)对 y ? A sin( ?x ? ? )的图象的影响
3 3

? ? 思考9:用“五点法”作出函数 y ? sin 、 (2 x ? ) y ? 3 sin (2 x ? )

的图象,比较它们图象的形状和位置,你有什么发现?

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象,可以看作是把曲线 y ? sin (2 x ?

点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)而得到的。

? )的图像上所有 3

思考10:一般地,对任意的A(A>0且 A≠1),函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象 是由函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象经过怎 样的变换而得到的? 函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象,可以看 作是把函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象上所 有点的纵坐标变为原来的A倍得到的 振幅变换

归纳总结:
? 函数y = Asin(wx+?),(A>0,w>0)的图像可

以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向
左(?>0)或向右(?<0)平移|?|个单位,再把所

得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0<w<1)到
原来的 ? 倍(纵坐标不变),再把所得各点的 纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍,(横坐标不变)。即:平移变换→周期变 换→振幅变换。
1

例1、如何由

y ? sin x

变换得

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3
?

) 的图象?
y=sin(x+

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 (2)横坐标缩短到原来的 2 倍

?
3

) 的图象

y=sin(2x+

?
3

) 的图象

纵坐标不变

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

y=3sin(2x+

?
3

)的图象

方法1:(按? , ?, A顺序变换)
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

?
6-1

? ?
6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3
?

2?

x

-2
-3

y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

函数, y ? A sin( ?x ? ? )
A称为振幅
1 f ? 称为频率 T ? 称为初相



2? T? 称为周期 |? |

?x ? ?

称为相位

方法2:如何由 y ? sin x

变换得

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象?

函数 y=Sinx

1 (1)横坐标缩短到原来的 2 倍

纵坐标不变
?

y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

y=Sin(2x+

?
3

) 的图象

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

y=3Sin(2x+

?
3

)的图象

方法2:(按?, ? , A顺序变换)
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?

?

?
6

o
-1

?
3

?
3

5? 6

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

y=sinx

y=sin(x+ 3 )
? y=sin(2x+ 3

?

y=sin(2x+ 3 )

?

y=sin2x

)

y=3sin(2x+ 3 )

?

y ? sin( x )

纵坐标保持不变,横坐标 1 缩短或伸长到原来的 倍 ?

y ? sin( ?x )

y ? sin( x ? ?)

? 向左或向右平移 ?

y ? sin( ?x ? ?)

巩固练习 作出下面函数在一个周期的闭区间上 的简图,并指出它的图像是如何由 函数y = sinx的图像而得到的。

y ? 4 sin( 3x ? ) 3

?


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