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2014高考数学一轮复习1-2简易逻辑(附详解)

第1章
一、选择题

第 2 节 简易逻辑

1.(2010· 广东惠州一中)如果命题“7(p∨q)”是真命题,则正确的是( A.p、q 均为真命题 B.p、q 中至少有一个为真命题 C.p、q 均为假命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 [答案] C [解析] ∵命题“7(p∨q)”为真命题, ∴命题“p∨q”为假命题, ∴命题 p 和命题 q 都为假命题. 2.(2010· 胶州三中)命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x2≥1,则 x≥1,或 x≤-1 B.若 x≥1,且 x≤-1,则 x2>1 C.若-1<x<1,则 x2<1 D.若 x≥1,或 x≤-1,则 x2≥1 [答案] D 3.(文)(2010· 延边州质检)下列说法错误的是( .. ) )

)

A.如果命题“綈 p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题; B.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”; C.若命题 p:?x∈R,x2-x+1<0,则綈 p:?x∈R,x2-x+1≥0; 1 D.“sinθ= ”是“θ=30° ”的充分不必要条件. 2 [答案] D [解析] ∵“綈 p”为真,∴p 为假,又“p 或 q”为真,∴q 为真,故 A 正确;B、C 1 1 1 显然正确; ∵θ=30° sinθ= , sinθ= 时, 不一定为 30° 故“sinθ= ”是“θ=30° 时, 但 θ , ” 2 2 2 的必要不充分条件. (理)(2010· 广东高考调研)下列有关选项正确的是( A.若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件 C.命题“若 x<-1,则 x2-2x-3>0”的否定为:“若 x≥-1,则 x2-3x+2≤0” )

D.已知命题 p:?x∈R,使得 x2+x-1<0,则綈 p:?x∈R,使得 x2+x-1≥0 [答案] B [解析] 由复合命题真值表知:若 p∨q 为真命题,则 p、q 至少有一个为真命题,有可 能一真一假,∴选项 A 错误;由 x=5 可以得到 x2-4x-5=0,但由 x2-4x-5=0 不一定能 得到 x=5,∴选项 B 成立;选项 C 错在把命题的否定写成了否命题;选项 D 错在没有搞清 楚存在性命题的否定是全称命题. 4.(文)(2010· 福建南平一中)已知命题 p:?x∈R,x>sinx,则( A.綈 p:?x∈R,x<sinx B.綈 p:?x∈R,x≤sinx C.綈 p:?x∈R,x≤sinx D.綈 p:?x∈R,x<sinx [答案] C [解析] 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论,故选 C. (理)(2010· 北京市延庆县模考)下列命题中的真命题是( A.?x∈R 使得 sinx+cosx=1.5 B.?x∈(0,π),sinx>cosx C.?x∈R 使得 x2+x=-1 D.?x∈(0,+∞),ex>x+1 [答案] D π π [解析] ∵对?x∈R,sinx+cosx= 2sin?x+4?≤ 2<1.5,∴A 错;又当 x= 时,sinx ? ? 6 1 3 = ,cosx= ,∴B 错;∵方程 x2+x+1=0 的判别式 Δ=-3<0,∴方程 x2+x=-1 无实 2 2 数根,故 C 错;令 f(x)=ex-x-1,则 f ′(x)=ex-1,当 x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0,∴f(x) 在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)>f(0)=0,故对?x∈(0,+∞)都有 ex>x+1. 5.(文)(2010· 山东枣庄模考)设集合 A={x|-2-a<x<a,a>0},命题 p:1∈A,命题 q: 2∈A.若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则 a 的取值范围是( A.0<a<1 或 a>2 C.1<a≤2 [答案] C [解析] ∵1∈A,∴-2-a<1<a,∴a>1, ∵2∈A,∴-2-a<2<a,∴a>2, ∵p∨q 为真,p∧q 为假, B.0<a<1 或 a≥2 D.1≤a≤2 ) ) )

∴p 与 q 一真一假,故 1<a≤2. (理)(2010· 济南一中)已知命题 p:?x∈R,mx2+1≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0. 若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 [答案] A [解析] 若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题,即綈 p:?x∈R,mx2+1>0,与綈 q: ?x∈R,x2+mx+1≤0 均为真命题,根据綈 p:?x∈R,mx2+1>0 为真命题可得 m≥0, 根据綈 q:?x∈R,x2+mx+1≤0 为真命题可得 Δ=m2-4≥0,解得 m≥2 或 m≤-2.综上, m≥2. 6.(2010· 天津文)下列命题中,真命题是( ) )

B.m≤-2 D.-2≤m≤2

A.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 [分析] 由函数 f(x)是奇(或偶)函数时,m 的取值情况作出判断. [答案] A [解析] 当 m=0 时,f(x)=x2 显然为偶函数,故选 A. 7.(2010· 北京延庆县模考)下列命题中的假命题是( 1 A.?x>0 且 x≠1,都有 x+ >2 x B.?a∈R,直线 ax+y=a 恒过定点(1,0) C.?m∈R,使 f(x)=(m-1)· 2-4m+3 是幂函数 xm D.?φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 [答案] D 1 [解析] ∵x+ ≥2 等号在 x=1 时成立,∴A 真;将 x=1,y=0 代入直线方程 ax+y x =a 中成立,∴B 真;令 m-1=1 得 m=2,此时 f(x)=x π f(x)=sin?2x+2?=cos2x 为偶函数,故 D 假. ? ? 8.(09· 海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 p2:?x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny
-1

)

π 是幂函数,故 C 真;当 φ= 时, 2

p3:?x∈[0,π],

1-cos2x =sinx 2

π p4:sinx=cosy?x+y= 2 其中假命题的是( A.p1,p4 C.p1,p3 [答案] A x x [解析] ?x∈R,sin2 +cos2 =1,故 p1 为假命题. 2 2 ∵?x∈[0,π],sinx≥0, ∴ 1-cos2x =|sinx|=sinx,∴p3 真,故选 A. 2 ) B.p2,p4 D.p3,p4

9.已知命题 p:|x-1|+|x+1|≥3a 恒成立,命题 q:y=(2a-1)x 为减函数,若“p∧q” 为真命题,则 a 的取值范围是( 2 A.a≤ 3 1 2 C. <a≤ 2 3 [答案] C 2 [解析] 因为|x-1|+|x+1|≥2,由|x-1|+|x+1|≥3a 恒成立知:3a≤2,即 a≤ . 3 1 由 y=(2a-1)x 为减函数得:0<2a-1<1 即 <a<1.又因为“p∧q”为真命题,所以,p 和 2 1 2 q 均为真命题,所以取交集得 <a≤ .因此选 C. 2 3 10.(2010· 浙江杭州质检)下列命题中正确的是( ) ) 1 B.0<a< 2 1 D. <a<1 2

π π π A.设 f(x)=sin?2x+3?,则?x∈?-3,6?,必有 f(x)<f(x+0.1) ? ? ? ? 1 3 B.?x0∈R,使得 sinx0+ cosx0>1 2 2 π π C.设 f(x)=cos?x+3?,则函数 y=f?x+6?是奇函数 ? ? ? ? π π D.设 f(x)=2sin2x,则 f?x+3?=2sin?2x+3? ? ? ? ? [答案] C π π π π π 1 [解析] ∵f(x)=sin?2x+3?在?-3,12?上单调递增,在?12,6?上单调递减,∴A 错; ? ? ? ? ? ? 2 sinx0+ π π π 3 cosx0=sin?x0+3?≤1,故 B 不正确;y=f?x+6?=cos?x+2?=-sinx,为奇函数, ? ? ? ? ? ? 2

π π 2π 故 C 正确;f?x+3?=2sin?2?x+3??=2sin?2x+ 3 ?,故 D 不正确. ? ? ? ? ?? ? ? 二、填空题 11.已知下列四个命题: ①a 是正数;②b 是负数;③a+b 是负数; ④ab 是非正数.选择其中两个作为题设,一个作为结论,写出一个逆否命题是真命题 的复合命题____________________________________. [答案] 若 a 是正数且 a+b 是负数,则一定有 b 是负数 [解析] 逆否命题为真命题,即该命题为真,a 是正数且 a+b 是负数,则一定有 b 是负 数. 12.给出以下四个关于圆锥曲线的命题, → → ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若|PA|-|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; → 1 → → ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若OP= (OA+OB),则动点 P 2 的轨迹为椭圆; ③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; x2 y2 x2 ④双曲线 - =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点. 25 9 35 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). [答案] ③④ 1 [解析] ①表示双曲线的一支; ②动点 P 的轨迹为圆; ③两根 x1=2,2= 正确; 25+9 x ④ 2 = 35-1正确. 13.(2010· 南昌市模拟)给出下列命题:①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为 等比数列”的充分不必要条件;②“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函 数”的充要条件; ③m=3 是直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直的充要 条件;④设 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,若 a=1,b= 3,则 A =30° B=60° 是 的必要不充分条件; 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). [答案] ①④ bn+1 an+2 [解析] 令 bn=anan+1,则若{bn}是等比数列,则 = 为常数,因此,当{an}为等 bn an 比数列时,{bn}为等比数列,但{bn}为等比数列时,{an}未必为等比数列,如数列{an}: 1,2,3,6,9,18,?,对任意 n∈N*,有 an+2=3an,满足{anan+1}是等比数列,但{an}不是等比 数列,∴①真;a=2 时,f(x)=|x-2|在[2,+∞)上单调增,但 f(x)=|x-a|在[2,+∞)上单 调增时,a≤2,故②错;由(m+3)m-6m=0 得,m=0 或 m=3,故 m=3 是两直线垂直的

1 3 充分不必要条件,∴③错;由 = 知,sinB= 3sinA,∵b>a,∴B>A,故 B=60° 时, sinA sinB A=30° ,但 A=30° 时,B 可以为 120° ,∴④正确. 14.(2010· 马鞍山市质检)给出下列四个结论: ①命题“?x∈R,x2-x>0”的否定是“?x∈R,x2-x≤0” ②“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真; a ③已知直线 l1:ax+2y-1=0,l2:x+by+2=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-2; b ④对于任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)且 x>0 时,f ′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时,f ′(x)>g′(x). 其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号). [答案] ①④ [解析] ①显然正确.②中命题“若 am2<bm2 ,则 a<b”的逆命题是“若 a<b,则

a am2<bm2”,当 m=0 时不成立,故为假命题;③中 l1⊥l2?a+2b=0,但 a+2b=0 与 =- b a 2 不等价,∵当 a=b=0 时, =-2 不成立,故③错;④由条件知,f(x)为奇函数,在 x>0 b 时单调增,故 x<0 时单调增,从而 x<0 时,f ′(x)>0;g(x)为偶函数,x>0 时单调增,从而 x<0 时单调减,∴x<0 时,g′(x)<0, ∴x<0 时,f ′(x)>g′(x),故④正确. 三、解答题 π 15.(2010· 河南调研)已知函数 f(x)=2sinx+ +sinxcosx- 3sin2x,x∈R. 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期; 5π (2)若存在 x0∈?0,12?,使不等式 f(x0)<m 成立,求实数 m 的取值范围. ? ? π π [解析] (1)f(x)=2sinxcos +cosxsin +sinxcosx- 3sin2x 3 3 =2sinxcosx+ 3cos2x- 3sin2x π =sin2x+ 3cos2x=2sin?2x+3?. ? ? ∴函数 f(x)的最小正周期 T= 2π =π. 2

5π π π 7π (2)当 x∈?0,12?时,2x+ ∈?3, 6 ?. ? ? ? 3 ? π 7π 5π ∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取最小值-1. 3 6 12 故使题设成立的充要条件是 m>-1, 即 m 的取值范围是(-1,+∞).

16.(2010· 聊城市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点. → → (1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OA· =3”是真命题; OB (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解析] (1)设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6)、B(3,- 6). → → ∴OA· =3. OB 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.
? 2 ?y =2x 由? 得,ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6. ? ?y=k?x-3?

1 1 又∵x1= y12,x2= y22, 2 2 → → ∴OA· =x1x2+y1y2 OB 1 = (y1y2)2+y1y2=3. 4 → → 综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OA· =3”是真命题. OB → → (2)逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果OA· =3,那么直线过点 OB T(3,0). 该命题是假命题. 1 2 → → 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B?2,1?,此时OA· =3,直线 AB 的方程为 y= (x+ OB ? ? 3 1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 1 17. (文)已知命题 p: x∈[1,2]时, 在 不等式 x2+ax-2>0 恒成立; 命题 q: 函数 f(x)=log 3 (x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数 a 的取值范 围. [解析] ∵x∈[1,2]时,不等式 x2+ax-2>0 恒成立 2-x2 2 ∴a> = -x 在 x∈[1,2]上恒成立 x x 2 令 g(x)= -x,则 g(x)在[1,2]上是减函数, x ∴g(x)max=g(1)=1, ∴a>1.即若命题 p 真,则 a>1.

1 又∵函数 f(x)=log (x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数, 3 ∴u(x)=x2-2ax+3a 是[1,+∞)上的增函数,且 u(x)=x2-2ax+3a>0 在[1,+∞)上恒 成立, ∴a≤1,u(1)>0,∴-1<a≤1, 即若命题 q 真,则-1<a≤1. 若命题“p∨q”是真命题,则 a>-1. (理)(2010· 河北正定中学模拟)已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+y2=64 相内切. (1)求动圆 C 的圆心 C 的轨迹方程; x2 (2)设直线 l:y=kx+m(其中 k,m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同两点 B,D,与双曲线 4 y → → - =1 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量DF+BE=0,若存在,指出这样 12 的直线有多少条?若不存在,请说明理由. [解析] (1)圆 M:(x-2)2+y2=64 的圆心 M 的坐标为(2,0),半径 R=8. ∵|AM|=4<R,∴点 A(-2,0)在圆 M 内. 设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C(x,y),依题意得 r=|CA|,且|CM|=R-r, 即|CM|+|CA|=8>|AM|. ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A、M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程 x y2 为 2+ 2=1(a>b>0),则 a=4,c=2,∴b2=a2-c2=12. a b x2 y2 ∴所求动圆的圆心 C 的轨迹方程为 + =1. 16 12
2 2

?y=kx+m ? (2)由? x2 y2 ,消去 y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0, + =1 ?16 12 ?
8km 设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=- 3+4k2 Δ1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)>0①

?y=kx+m ? 由?x2 y2 消去 y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0. - =1 ? 4 12 ?
2km 设 E(x3,y3),F(x4,y4),则 x3+x4= , 3-k2 Δ2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)>0② → → ∵DF=(x4-x2,y4-y2)、BE=(x3-x1,y3-y1),

→ → 且DF+BE=0, ∴(x4-x2)+(x3-x1)=0, 8km 2km 即 x1+x2=x3+x4,∴- = , 3+4k2 3-k2 ∴km=0 或- 4 1 = . 3+4k2 3-k2

解得 k=0 或 m=0. 当 k=0 时,由①、②得-2 3<m<2 3, ∵m∈Z,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3; 当 m=0 时,由①、②得- 3<k< 3, ∵k∈Z,∴k=-1,0,1.∴满足条件的直线共有 9 条.


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