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宁武县实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

宁武县实验中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α; 其中正确命题的序号是( ) D.①③ ) A.①②③④ B.①②③ C.②④

座号_____

姓名__________

分数__________

→ =2 → ,则| → |为( 2. 已知点 A(0,1),B(3,2),C(2,0),若AD DB CD A.1 B.4 3 D.2

C.5 3 3. 高考临近,学校为丰富学生生活,缓解高考压力,特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛.由 于爱好者众多,高三学生队队员指定由 5 班的 6 人、16 班的 8 人、33 班的 10 人按分层抽样构成一个 12 人的 篮球队.首发要求每个班至少 1 人,至多 2 人,则首发方案数为( A.720 B.270 C.390 D.300 4. 如果双曲线经过点 P(2, A.x2﹣ =1 B. ﹣ =1 ),且它的一条渐近线方程为 y=x,那么该双曲线的方程是( C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 ) ) )

5. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a=5,b=4,cosC= ,则△ABC 的面积是( A.16 B.6 C.4 D.8 ) D.k360°﹣257° C.k360°+257° 6. 与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( A.k360°+463° ) A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8 B.k360°+103°

7. 已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2015)=(

8. 若变量 x,y 满足: A.﹣2<t<﹣ B.﹣2<t≤﹣
x

,且满足(t+1)x+(t+2)y+t=0,则参数 t 的取值范围为( C.﹣2≤t≤﹣ D.﹣2≤t<﹣



9. 已知函数 F ( x) ? e 满足 F ( x) ? g ( x) ? h( x) ,且 g ( x) , h( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数, 若 ?x ? (0, 2] 使得不等式 g (2 x) ? ah( x) ? 0 恒成立,则实数的取值范围是( )

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A. ( ??, 2 2)

B. ( ??, 2 2]

C. (0, 2 2] )
2

D. (2 2, ??)

10.满足下列条件的函数 f ( x) 中, f ( x) 为偶函数的是( A. f (e ) ?| x |
x

B. f (e ) ? e
x

2x

C. f (ln x) ? ln x

D. f (ln x) ? x ?

1 x

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力. 11.在△ABC 中, A.等腰三角形 ,则这个三角形一定是( B.直角三角形 ) )

C.等腰直角三角 D.等腰或直角三角形 12.函数 f(x)=x2﹣2ax,x∈[1,+∞)是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.R B.[1,+∞) C.(﹣∞,1] D.[2,+∞)

二、填空题


13.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是    

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若△ABC 不是直角三角形,则下列命题正确的是    (写出所有正确命题的编号) ①tanA?tanB?tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为 3 ③tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数 ④若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 A=45° ⑤当 tanB﹣1= 时,则 sin2C≥sinA?sinB.

    15.设直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题: A.M 中所有直线均经过一个定点 B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是  (写出所有真命题的代号).

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16.要使关于 x 的不等式 0 ? x ? ax ? 6 ? 4 恰好只有一个解,则 a ? _________.
2

【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识,意在考查运算求解能力. 17.如果定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x1≠x2 都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2(fx1),则称函数 为“H 函数”,给出下列函数 ①f(x)=3x+1 ③f(x)=x2+1 ②f(x)=( )x+1 ④f(x)=

其中是“H 函数”的有  (填序号)   18.二项式     展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,则其常数项为      .

三、解答题
19.如图,M、N 是焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p>0)上两个不同的点,且线段 MN 中点 A 的横坐标为 , (1)求|MF|+|NF|的值; (2)若 p=2,直线 MN 与 x 轴交于点 B 点,求点 B 横坐标的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)

3?3 ? a ? 2 1 设 p :实数满足不等式 3a ? 9 ,:函数 f ? x ? ? x3 ? x ? 9 x 无极值点. 3 2
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(1)若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数的取值范围;
1? 1? ? ? (2)已知“ p ? q ”为真命题,并记为,且: a 2 ? ? 2m ? ? a ? m ? m ? ? ? 0 ,若是 ?t 的必要不充分 2? 2? ? ?

条件,求正整数 m 的值.

21.已知函数 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域.

(a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3),

22.(本题满分 14 分)已知两点 P (0,?1) 与 Q (0,1) 是直角坐标平面内两定点,过曲线 C 上一点 M ( x, y ) 作 y 轴的垂线,垂足为 N ,点 E 满足 ME ? (1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

2 MN ,且 QM ? PE ? 0 . 3
3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2

【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系,本题知识交汇性强,最值的求 解有一定技巧性,同时还要注意特殊情形时三角形的面积.总之该题综合性强,难度大.

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23.【徐州市第三中学 2017~2018 学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌,需在如图所示的铁片上切割 出一个直角梯形,已知铁片由两部分组成,半径为 1 的半圆 O 及等腰直角三角形 EFH ,其中 FE ? FH ,为 裁剪出面积尽可能大的梯形铁片 ABCD (不计损耗),将点 A, B 放在弧 EF 上,点 C , D 放在斜边 EH 上, 且 AD / / BC / / HF ,设 ?AOE ? ? . (1)求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式; (2)试确定 ? 的值,使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大,并求出最大值.

24.如图,在四棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)若 平面 ; ,判断直线 ;

中,

底面









与平面

是否垂直?并说明理由.

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宁武县实验中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:由 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面: 在①中:若 m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得 m⊥n,故①正确; 在②中:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, ∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得 m⊥γ,故②正确; 在③中:若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故③正确; 在④中:若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,故④错误. 故选:B.   2. 【答案】 【解析】解析:选 C.设 D 点的坐标为 D(x,y), → =2 → , ∵A(0,1),B(3,2),AD DB ∴(x,y-1)=2(3-x,2-y)=(6-2x,4-2y), =6-2x, ∴x 即 x=2,y=5, y-1=4-2y 3 5 → ∴CD=(2, )-(2,0)=(0,5), 3 3 5 5 → ∴|CD|= 02+( )2= ,故选 C. 3 3 3. 【答案】C

{

)

解析:高三学生队队员指定由 5 班的 6 人、16 班的 8 人、33 班的 10 人按分层抽样构成一个 12 人的篮球队. 各个班的人数有 5 班的 3 人、16 班的 4 人、33 班的 5 人, 首发共有 1、2、2;2、1、2;2、2、1 类型; 所求方案有: 故选:C. 4. 【答案】B 【解析】解:由双曲线的一条渐近线方程为 y=x, 可设双曲线的方程为 x2﹣y2=λ(λ≠0), 代入点 P(2, λ=4﹣2=2, 可得双曲线的方程为 x2﹣y2=2, 即为 ﹣ =1. ),可得 + + =390.

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故选:B.   5. 【答案】D 【解析】解:∵a=5,b=4,cosC= ,可得:sinC= ∴S△ABC= absinC= 故选:D.   6. 【答案】C 【解析】解:与﹣463°终边相同的角可以表示为:k360°﹣463°,(k∈Z) 即:k360°+257°,(k∈Z) 故选 C 【点评】本题考查终边相同的角,是基础题.   7. 【答案】B 【解析】解:∵f(x+4)=f(x), ∴f(2015)=f(504×4﹣1)=f(﹣1), 又∵f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故选 B. 【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用,属于基础题.   8. 【答案】C 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由(t+1)x+(t+2)y+t=0 得 t(x+y+1)+x+2y=0, 由 ,得 ,即(t+1)x+(t+2)y+t=0 过定点 M(﹣2,1), =8. = ,

则由图象知 A,B 两点在直线两侧和在直线上即可, 即[2(t+2)+t][﹣2(t+1)+3(t+2)+t]≤0, 即(3t+4)(2t+4)≤0, 解得﹣2≤t≤﹣ , 即实数 t 的取值范围为是[﹣2,﹣ ], 故选:C.

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,属于中档题.   9. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为函数 F ? x ? ? e 满足 F ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ,且 g ? x ? , h ? x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,
x

?e ? g ? x? ? h ? x?, e
x

?x

x ?x e 2 x ? e ?2 x e x ? e? x e 2 x ? e ?2 x ? e ? e ? ? 2 ? aA ? 0 恒成立, ? a ? x ? x ? g ? 2 x ? ? ah ? x ? ? 0 恒成立, 即 2 2 e ?e e x ? e? x 2 ? ? e x ? e ? x ? ? x ? x , 设 t ? e x ? e ? x ,则函数 t ? e x ? e ? x 在 ? 0, 2? 上单调递增,? 0 ? t ? e 2 ? e ?2 , 此时不等 e ?e 2 2 式 t ? ? 2 2 ,当且仅当 t ? ,即 t ? 2 时, 取等号,? a ? 2 2 ,故选 B. t t 2

e x ? e? x e x ? e? x ? g ? x ? ? h ? x ? ,? g ? x ? ? , h ? x? ? ,? ?x ? ? 0, 2? 使得不等式 2 2

考点:1、函数奇偶性的性质;2、不等式恒成立问题及函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值,属于难题.不等式恒成立问 题常见方法:①分离参数 a ? f ( x) 恒成立( a ? f ( x) min 即可)或 a ? f ( x) 恒成立( a ? f ( x) max 即可);② 数形结合;③讨论最值 f ( x) min ? 0 或 f ( x) max ? 0 恒成立;④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的. 10.【答案】D. 【 解 析 】

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11.【答案】A 【解析】解:∵ 又∵cosC= ∴ = , , ,整理可得:b2=c2,

∴解得:b=c.即三角形一定为等腰三角形. 故选:A.   12.【答案】C 【解析】解:由于 f(x)=x2﹣2ax 的对称轴是直线 x=a,图象开口向上, 故函数在区间(﹣∞,a]为减函数,在区间[a,+∞)上为增函数, 又由函数 f(x)=x2﹣2ax,x∈[1,+∞)是增函数,则 a≤1. 故答案为:C  

二、填空题
13.【答案】 ①④ . 【解析】解:由所给的正方体知, △PAC 在该正方体上下面上的射影是①, △PAC 在该正方体左右面上的射影是④, △PAC 在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为:①④   14.【答案】 ①④⑤ 

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【解析】解:由题意知:A≠

,B≠

,C≠

,且 A+B+C=π

∴tan(A+B)=tan(π﹣C)=﹣tanC, 又∵tan(A+B)= ,

∴tanA+tanB=tan(A+B)(1﹣tanAtanB)=﹣tanC(1﹣tanAtanB)=﹣tanC+tanAtanBtanC, 即 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故①正确; 当 A= ,B=C= 时,tanA+tanB+tanC= <3 ,故②错误;

若 tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数,则对应的两个内角互余,则第三个内角为直角,这与已知矛盾, 故③错误; 由①,若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 6tan3A=6tanA,则 tanA=1,故 A=45°,故④正确; 当 tanB﹣1= , cosA+ , sinA) = sinAcosA+ sin2A= sin2A+ ﹣ 时, tanA?tanB=tanA+tanB+tanC,即 tanC= ,C=60°,

此时 sin2C=

sinA?sinB=sinA?sin(120°﹣A) =sinA?( cos2A= sin(2A﹣30°) ≤

则 sin2C≥sinA?sinB.故⑤正确; 故答案为:①④⑤ 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了和角的正切公式,反证法,诱导公式等知识点,难度中档.   15.【答案】BC 【解析】 【分析】验证发现,直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆 x2+(y﹣2)2=1 的切线的集合, A.M 中所有直线均经过一个定点(0,2)是不对,可由圆的切线中存在平行线得出, B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上,观察直线的方程即可得到点的坐标. C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上,由直线系的几何意义可判断, D.M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等,由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出. 【解答】解:因为点(0,2)到直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离 d= =1,直线系 M: xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆 x2+(y﹣2)2=1 的切线的集合, A.由于直线系表示圆 x2+(y﹣2)2=1 的所有切线,其中存在两条切线平行,M 中所有直线均经过一个定点 (0,2)不可能,故 A 不正确; B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上,观察知点 M(0,2)即符合条件,故 B 正确; C.由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数 n(n≥3) ,存在正 n 边形,其所有边均 在 M 中的直线上,故 C 正确; D.如下图,M 中的直线所能围成的正三角形有两类,

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其一是如△ABB′型,是圆的外切三角形,此类面积都相等,另一类是在圆同一侧,如△BDC 型,此一类面积 相等,但两类之间面积不等,所以面积大小不一定相等, 故本命题不正确. 故答案为:BC.

16.【答案】 ?2 2 . 【解析】分析题意得,问题等价于 x ? ax ? 6 ? 4 只有一解,即 x ? ax ? 2 ? 0 只有一解,
2 2

∴ ? ? a ? 8 ? 0 ? a ? ?2 2 ,故填: ?2 2 .
2

17.【答案】 ①④  【解析】解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]≥0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的不减函数(即无递减区间); ①f(x)在 R 递增,符合题意; ②f(x)在 R 递减,不合题意; ③f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增,不合题意; ④f(x)在 R 递增,符合题意; 故答案为:①④.   18.【答案】 70 . 【解析】解:根据题意二项式 则 n=8, 所以二项式 = 展开式的通项为 展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,

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Tr+1=(﹣1)rC8rx8﹣2r 令 8﹣2r=0 得 r=4 则其常数项为 C84=70 故答案为 70. 【点评】本题考查二项式定理的应用,涉及二项式系数的性质,要注意系数与二项式系数的区别.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=8﹣p,|MF|=x1+ ,|NF|=x2+ , ∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8; (2)p=2 时,y2=4x, 若直线 MN 斜率不存在,则 B(3,0); 若直线 MN 斜率存在,设 A(3,t)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则 代入利用点差法,可得 y12﹣y22=4(x1﹣x2) ∴kMN= , ∴直线 MN 的方程为 y﹣t= (x﹣3), ∴B 的横坐标为 x=3﹣ ,

直线 MN 代入 y2=4x,可得 y2﹣2ty+2t2﹣12=0 △>0 可得 0<t2<12, ∴x=3﹣ ∈(﹣3,3),

∴点 B 横坐标的取值范围是(﹣3,3). 【点评】本题考查抛物线的定义,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.   20.【答案】(1) ?a a ? 1或2 ? a ? 5? ;(2) m ? 1 . 【解析】

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(1)∵“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,∴ p 与只有一个命题是真命题.
?a ? 2 ? a ? 1 .………………………………5 分 若 p 为真命题,为假命题,则 ? ?a ? 1或a ? 5 ?a ? 2 ? 2 ? a ? 5 .……………………………………6 分 若为真命题, p 为假命题,则 ? ?1 ? a ? 5

于是,实数的取值范围为 ?a a ? 1或2 ? a ? 5? .……………………………………7 分

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考点: 1、不等式;2、函数的极值点;3、命题的真假;4、充要条件. 21.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 ∴ , 是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x)

∵a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0(3 分) 又函数 f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)=3,∴ ∴a=2(6 分) (2)由(1)知 当 x>0 时, 即 时取等号(10 分) ,∴ ,当且仅当 (7 分) , ,∵b=0,

当 x<0 时,

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当且仅当

,即

时取等号(13 分) (12 分)

综上可知函数 f(x)的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,转化函数研究性质是问题的关键.   22.【答案】 【解析】(1)依题意知 N (0, y ) ,∵ ME ? 则 QM ? ( x, y ? 1) , PE ? ( x, y ? 1) ∵ QM ? PE ? 0 ,∴ x ? ∴曲线 C 的方程为

2 2 2 1 MN ? (? x,0) ? (? x,0) ,∴ E ( x, y ) 3 3 3 3

1 3

…………2 分

x2 1 x ? ( y ? 1)( y ? 1) ? 0 ,即 ? y 2 ? 1 3 3

x2 ? y 2 ? 1 …………4 分 3

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23.【答案】(1) S ? 2 ?1 ? sin? ? cos? ,其中 0 ? ? ?

?
2

.(2) ? ?

?
6

时, S max ?

3 3 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : ( 1 ) 求 梯 形 铁 片 ABCD 的 面 积 S 关 键 是 用 ? 表 示 上 下 底 及 高 , 先 由 图 形 得

?AOE ? ?BOF ? ? ,这样可得高 AB ? 2cos? ,再根据等腰直角三角形性质得 AD ? ?1 ? cos? ? ? sin? ,

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BC ? ?1 ? cos? ? ? sin? 最 后 根 据 梯 形 面 积 公 式 得 S ?
0 ?? ?

? AD ? BC ? ? AB ? 2 1 ? sin? cos? , 交 代 定 义 域 ? ?
2

?
2

.( 2 )利用导数求函数最值:先求导数 f ' ?? ? ? ?2 ? 2sin? ? 1?? sin? ? 1? ,再求导函数零点

??

?
6

,列表分析函数单调性变化规律,确定函数最值

试题解析:(1)连接 OB ,根据对称性可得 ?AOE ? ?BOF ? ? 且 OA ? OB ? 1 , 所以 AD ? 1 ? cos? ? sin? , BC ? 1 ? cos? ? sin? , AB ? 2cos? , 所以 S ?

? AD ? BC ? ? AB ? 2 1 ? sin? cos? ,其中 ? 0 ?? ? ? ?
2

2



考点:利用导数求函数最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求单调区间;第二 步:解 f′(x)=0 得两个根 x1、x2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极 值同端点值的大小. 24.【答案】 【解析】【知识点】垂直平行 【试题解析】(Ⅰ)证明:因为 所以 因为 所以 又因为 平面 , 平面 , . 平面 . , 平面 , , 平面 , 平面 ,

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所以平面 又因为 所以 平面 平面

平面 , . 底面



(Ⅱ)证明:因为 所以 又因为 所以 又因为 所以 平面 底面 . . , .



底面







(Ⅲ)结论:直线 证明:假设 由 由棱柱 可得 又因为 所以 所以 又因为 所以 所以 这与四边形 故直线 与平面 平面 . 平面 . , 平面 平面

与平面 ,

不垂直.

,得 中, , , ,

. 底面 ,

, ,

为矩形,且 不垂直.

矛盾,

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