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07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案

07-08-3 高 数 B 期 中 试 卷 参 考 答 案
一.单项选择题(本题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 1. 级数

08.4.11

? (? 1)
n n ?1

?

? a ? l? ? n 1 ? (常数 a ? 0 ) n3 ? ?
(C) 发散

[ A ] (D) 敛散性与 a 的取值有关 [ C ]
3 2

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 2. 下列反常积分发散的是 (A)

?

??

1

x a r c t ax n dx (B) 3 1? x

?

2

1 x x2 ? 1

1

dx (C) ?

1 dx (D) l n ( ? 1) x

?

??

s i nx x3

1

dx
[ B]

3. 已知直线 L1 : 线 (A)相交

x ? 4 y ?1 z ? 2 x ?1 y ?1 z ? 3 与 L2 : ,则 L1 与 L 2 ? ? ? ? 2 3 5 ?3 2 4
(B) 异面 (C) 平行但不重合 , S (x )?

(D) 重合

4. 设函数 f ( x ) ? ?

?1 ? x 2 , 0? x ? 1 ?0 , ? 1 ? x ? 0
1 ?1

姓名

a0 ? ? ? ( n c on? x ? bn a s 2 n ?1

sn? x , ) in

, ? ? ?x ? ? ? 其中 an ? ? 封

f ( x) c o s? x dx (n n ? 1, 2 ,,则 S ? 3? ? ? )

0 , 1, 2 , ) ? ,
[ B ] (D) 2

bn ? ?
(A)

1 ?1

f ( x) s i n? x dx (n n ?
(B) 1

1 2

(C) 0

二.填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 5. 若 2a ? 3b 垂直于 a ? b ,且 a ?

2 b ,则 a 与 b 的夹角为

? ; 4
2 2



6. 曲线 ?

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 4 ?z ? 0

绕 y 轴旋转一周所成的曲面方程是 2 x ? 3 y ? 2 z ? 4 ;
2

学号

?2 x 2 ? 3y 2 ? z 2? 5 ? y2 ? z2 ? 1 ? 7. 曲线 ? 2 在 y O z面上的投影曲线方程是 ? ; 2 2 ?x ? y ? 2z ? 0 ?x ? 0 ?
8. 设幂级数

? a ( x ? 1) 在 x ? 4 处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 3 ;
n n ?1 n

?

9.幂级数

(?1) n ? 2n ? 1 ( x ? 2)2n?1 的收敛域为 [1, 3.] n ?0
?

三. 计算下列各题(本题共 4 小题,每小题 9 分,满分 36 分)
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10.求过点 (1, 2,1) 且与直线 ?

?x ? 2 y ? z ?1 ? 0 x y?2 及直线 ? ? ? z 都平行的平面方程. 0 ?1 ?x ? y ? z ?1 ? 0
x ?1 y ? 2 ?2 ?1 0 z ?1 ?3 ? 0 , ?1

i
解 s1 ? 1

j 2

k 1

?1 ? (1, ? 2, ? 3) ,平面方程为 1

1 ?1
即 x? y?z ?0

11. 求过点 (?4,6, ?2) , 与平面 6 x ? 2 y ? 3z ? 1 ? 0 平行, 且与直线 交的直线方程. 解 设所求直线与直线

x ?1 y ? 1 z ? 3 相 ? ? 3 2 ?5

x ?1 y ? 1 z ? 3 的交点为 ( x0 , y0 , z0 ) , x0 ? 1 ? 3t0 , ? ? 3 2 ?5

y0 ? ?1 ? 2t0 , z0 ? 3 ? 5t0 ,于是 6( x0 ? 4) ? 2( y0 ? 6) ? 3( z0 ? 2) ? 6(5 ? 3t0 ) ? 2(?7 ? 2t0 ) ? 3(5 ? 5t0 ) ? 29(t0 ? 1) ? 0 ,
得 t0 ? ?1 ,交点为 (?2, ?3,8) ,所求直线方程为

x?4 y ?6 z ?2 ? ? 2 ?9 10

12.将函数 f ( x) ? ln 2 x ? x ? 3 展开为 x ? 3 的幂级数,并求收敛域.
2

?

?

解 f ( x) ? ln 2 x ? x ? 3 ? ln( x ? 1)(2 x ? 3) ? ln18 ? ln ?1 ?
2

?

?

? ?

x ?3? ? 2 ? ? ? ln ?1 ? ( x ? 3) ? 2 ? ? 9 ?

? ln18 ? ?

( ?1) n ?1 ? 1 ? 2 ? ? ?? ? n ? 2n ? 9 ? n ?1 ?
?

n

? n ?( x ? 3) , 1 ? x ? 5 ? ?

13. 求幂级数

? (?1)
n ?1

?

n ?1

nx 2 n 的和函数,并指明收敛域.

解 令y?x ,
2

? ? ? ?? (?1)n?1 nx 2 n ? ? (?1)n?1 ny n ? y ? ? (?1)n?1 y n ? ? ? n ?1 n ?1 ? n?1 ? ?1 ? x ? 1 ?

? y ?? y x2 , y? ? ? ? 2 (1 ? x 2 )2 ? 1 ? y ? (1 ? y)
?4 x 2 ? y 2 ? 1 ?z ? 1

四(14)(本题满分 9 分)求母线平行于向量 j ? k ,准线为 ? .
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的柱面方程.

解 设 M 0 ( x0 , y0 ,1) 是准线上一点,则

x ? x0 ? y ? y0 ? z ? 1 ,则 x0 ? x , 0

y0 ? y ? z ? 1 ,代入准线方程即得所求的柱面方程 4 x 2 ? ( y ? z ? 1)2 ? 1
五(15)(本题满分 9 分)判断级数 。

??
n ?1

?

n ?1 n

e ? x dx 的敛散性.



?

n ?1 n

e? x dx ? e?

n

?

? ? n ?1 24 1 ,而 ? 2 收敛,由比较判别法得知级数 ? ? e ? x dx 收敛 2 n n n ?1 n n ?1

六(16).(本题满分 10 分)将函数 f ( x) ?

? ? 2x
4

(0 ? x ? ? ) 展开成正弦级数,并求级



? 2n ? 1 的和.
n ?1

?

(?1) n ?1

解 由题设知 an ? 0, n ? 0,1, 2, ? , bn ?

2

?

?

?

? ? 2x
4

0

1 ? (?1) n sin nxdx ? , n ? 1, 2,? , 2n

f ( x) ? ?
取x?

? 1 ? (?1) n 1 sin nx ?? sin 2nx, x ? (0, ? ) , 2n n ?1 n ?1 2n ? ? (?1) n ?1 ? 1 n ? ? sin ? ? ,即 ? ?n 2 4 4 n ?1 2 n ? 1 n ?1
?

?
4

,得

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