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志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修2-2 第一章 推理与证明 本章整合


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知识建构

综合应用

真题放送

推理 推理与证明 证明

合情推理 演绎推理 直接证明

归纳推理 类比推理 综合法 分析法

间接证明:反证法 数学归纳法

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专题一

专题二

专题三

专题四

专题一 归纳与类比
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联 想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.虽然猜想是否正确还有待严格 的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.

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专题一

专题二

专题三

专题四

应用 1 观察下列等式:
1 1 2 i=1 2 1 1 1 ∑ i2= n3+ n2+ n, 3 2 6 =1 1 1 1 ∑ i3= n4+ n3+ n2, 4 2 4 =1 1 1 1 1 ∑ i4= n5+ n4+ n3- n, 5 2 3 30 =1 1 1 5 1 ∑ i5= n6+ n5+ n4- n2, 6 2 12 12 =1 1 1 1 1 1 ∑ i6= n7+ n6+ n5- n3+ n, 7 2 2 6 42 =1

∑ i= n2+ n,



……
=1

∑ ik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+…+a1n+a0,
1 1 ,ak= ,ak-1= +1 2

可以推测,当 k≥2(k∈N+) 时,ak+1= ,ak-2= .
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专题一

专题二

专题三

专题四

提示:由最后一个等式可知,ak-1 是第三项的系数,ak-2 是第四项的系数, 可观察系数的特点. 解析:由观察可知当 k≥2 时,每一个式子的第三项的系数是成等差数列 的,所以 ak-1= ,第四项均为零,所以 ak-2=0. 答案:
12 12

0

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专题四

应用 2 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正 四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( ) A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点 提示:空间中的问题可以类比平面中的问题解决. 解析:正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面, 三边的中点类比正三角形的中心. 答案:B

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专题二

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专题四

专题二 综合法与分析法
综合法是由已知到未知的逻辑推理方法,在我们已经储存了大量的知 识,积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法,可以使我们从已知的知识 中进一步获得新知识. 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法.在探求问题的证明时,它 可以帮助我们构思,因而在一般分析问题时,较多地采用分析法,只是找到思 路后,往往用综合法加以叙述.在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分 开.

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专题四

应用 1 已知 tan(α+β)=2tan β,求证:3sin α=sin(α+2β). 提示:本题中的已知条件为正切,而所求证的结论为正弦,可以把切化弦, 再根据角之间的关系进一步转化.已知角为 α+β 和 β,所求角为 α 和 α+2β, 其中 α+2β=(α+β)+β 需要进行变形. 证明:∵tan(α+β)=2tan β,

∴cos(+) =

sin(+)

2sin . cos

∴sin(α+β)cos β=2cos(α+β)sin β. ∴sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
=cos(α+β)sin β. ∴sin[(α+β)-β]=cos(α+β)sin β, 即 cos(α+β)sin β=sin α. ∴sin(α+β)cos β=2sin α. ∴sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=3sin α, 即 3sin α=sin(α+2β).
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专题四

应用 2 用分析法证明: 已知 x>0,y>0,求证:(x +y
2 2 2 2 1 1 3 3 )2 >(x +y )3 .

证明:要证明(x +y 只需证明(x2+y2)3>(x +y ) , 即证明 x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6, 即证明 3x4y2+3x2y4>2x3y3. ∵x>0,y>0, ∴x2y2>0,即证明 3x2+3y2>2xy. ∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy, ∴3x2+3y2>2xy 成立, 故(x +y
2 2 1 1 3 3 )2 >(x +y )3.

1 1 3 3 )2>(x +y )3 , 3 3 2

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专题三 反证法
反证法是假设原命题不成立,经过正确的推理最后推出矛盾,由此说明 假设错误,从而证明了原命题成立.理论根据是互为逆否命题的两个命题是 等价命题,即若 p?q 成立,则非 q?非 p 成立,这里得出的矛盾可以是与某个 已知条件矛盾,可以是与某个事实、定理、公理相矛盾,也可以是自身相矛 盾.反证法的使用范围:唯一性问题,“至少”“至多”问题,问题本身是否定语气 提出的问题.

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专题四

应用 已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: , , 不成等差数列. 证明:假设 , , 成等差数列, 则 + =2 , 即 a+c+2 =4b. ∵b2=ac,∴b= , ∴a+c+2 =4 . ∴( ? )2=0,即 = . 从而 a=b=c,与 a,b,c 成等差数列矛盾, 故 , , 不成等差数列.

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专题四 数学归纳法
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法.它是一种完 全归纳法,它的证明共分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳基 础”(或称特殊性);第二步解决的是延续性问题(又称传递性). 不完全归纳法是从特殊出发,通过实验、观察、分析、综合、抽象概括 出一般性结论的一种重要方法,运用不完全归纳法可通过对数列前 n 项的 计算、观察、分析,推测出它的通项公式或推测出这个数列的有关性质,应 明确用不完全归纳法去探索数学问题时,必须用数学归纳法对结论的正确 性进行证明.

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专题四

应用 1 用数学归纳法证明: 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+). 证明:(1)当 n=1 时,左边=1×4=4,右边=1×(1+1)2=4,等式成立. (2)假设当 n=k 时,等式成立,即 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2, 则当 n=k+1 时, 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)· [3(k+1)+1] 2 =k(k+1) +(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1] =(k+1)(k2+4k+4) =(k+1)(k+2)2 =(k+1)[(k+1)+1]2, 即当 n=k+1 时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N+都成立.

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专题四

应用 2 函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标.求证 2≤xn<xn+1<3. 提示:本题主要考查了数学归纳法与函数及数列的综合运用.先从函数 入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明. 证明:f(4)=42-8-3=5,故点 P(4,5)在函数 f(x)的图像上, 由所给出的两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)),可知直线 PQn 斜率一定存在.
( )-5 (x-4), -4 2 -2 -8 -5 4 +3 令 y=0,可得-5= (x-4),即 =x-4,故 x= , +2 +2 -4 4 +3 所以 xn+1= . +2

故直线 PQn 的直线方程为 y-5=

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专题四

下面用数学归纳法证明 2≤xn<3. (1)当 n=1 时,x1=2,满足 2≤x1<3. (2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,2≤xk<3 成立, 则当 n=k+1 时,xk+1= 故 1< 故
5 5 ≤ , +2 4 11 5 2 < ≤4 <3, 4 +2 4+3 5 =4, +2 +2

由 2≤xk<3,得 4≤xk+2<5,

即 2≤xk+1<3 也成立. 根据(1)和(2),可知 2≤xn<3 对任意正整数恒成立. 下面证明 xn<xn+1,
4 +3 4 +3-2 -2 xn+1-xn= -xn= +2 +2

=

由 2≤xn<3,得 1≤xn-1<2,故 0<-(xn-1)2+4≤3. 故 xn+1-xn>0,即 xn<xn+1. 综上所述,2≤xn<xn+1<3 恒成立.

-( -1) +4 . +2

2

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1(2014· 福建高考)在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L距离”定义为||P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2 的“L-距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是( )

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解析:不妨设 F1(-a,0),F2(a,0),其中 a>0,点 P(x,y)是其轨迹上的点,P 到 F1,F2 的“L-距离”之和等于定值 b(大于||F1F2|), 所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b, 即|x-a|+|x+a|+2|y|=b. 当 x<-a,y≥0 时,上式可化为 y-x= ; 当-a≤x≤a,y≥0 时,上式可化为 y= -a; 当 x>a,y≥0 时,上式可化为 x+y= ; 当 x<-a,y<0 时,上式可化为
2 x+y=- ; 2 2 2 2

当-a≤x≤a,y<0 时,上式可化为 y=a- ; 当 x>a,y<0 时,上式可化为 x-y= . 可画出其图像(也可利用前三种情况,再关于 x 轴对称).故选 A. 答案:A
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(

2(2013· 陕西高考)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有 )

A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y] 解析:对于选项 A,取 x=-1.1,则[-x]=[1.1]=1,而-[x]=-[-1.1]=-(-2)=2,故不正确; 对于选项 B,令 x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,故不正确;对于选项 C,令 x=-1.5,y=-2.5,则[x+y]=[-4]=-4,[x]=-2,[y]=-3,[x]+[y]=-5,故不正确;对于选项 D,由题意可设 x=[x]+β1,0≤β1<1,y=[y]+β2,0≤β2<1,则 x-y=[x]-[y]+β1-β2,由 0≤β1<1,-1<-β2≤0,可得-1<β1-β2<1.若 0≤β1-β2<1,则 [x-y]=[[x]-[y]+β1-β2]=[x]-[y];若-1<β1-β2<0,则 0<1+β1-β2<1,[x-y]=[[x]-[y]+β1-β2]=[[x]-[y]-1+1+β1-β2]=[x]-[y]-1<[x]-[y],故 选项 D 正确. 答案:D
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3(2014· 陕西高考)观察分析下表中的数据:
多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 解析:因为 5+6-9=2, 6+6-10=2, 6+8-12=2,故可猜想 F+V-E=2. 答案:F+V-E=2

.

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4(2014· 课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三 个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 解析:根据甲、乙、丙说的可列表得
A 甲 乙 丙 B × × C ×

答案:A

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5(2013· 湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形 数.如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为 三角形数 正方形数 五边形数 N(n,3)= n2+ n, N(n,4)=n2,
3 2 1 2 1 2

形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:

(+1) 2

= n2+ n.记第 n 个 k 边

1 2

1 2

N(n,5)= n2- n,

六边形数 N(n,6)=2n2-n, …… …… 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=
1 2 -2 4- n= n2+ n.故 2 2 1 2

1 2

解析:由题中数据可猜想:含 n2 项的系数为首项是 ,公差是 的等差数列,含 n 项的系数为首项是 ,公差是- 的等差数列,因此 N(n,k)= (-3) 1 2 1 1 + (-3) 2 2

1 2

1 2

.

n2+

1 + 2

N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1 000.
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答案:1 000

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6(2013· 四川高考)设 P1,P2,…,Pn 为平面 α 内的 n 个点,在平面 α 内的所 有点中,若点 P 到点 P1,P2,…,Pn 的距离之和最小,则称点 P 为点 P1,P2,…,Pn 的一个“中位点”,例如,线段 AB 上的任意点都是端点 A,B 的中位点,现有下 列命题: ①若三个点 A,B,C 共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A,B,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)

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解析:由“中位点”可知,若 C 在线段 AB 上,则线段 AB 上任一点都为“中位 点”,C 也不例外,故①正确; 对于②,假设在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,如图所示,点 P 为斜边 AB 中点,设腰长为 2,则|PA|+|PB|+|PC|= |AB|=3 2,而若 C 为“中位点”,则 |CB|+|CA|=4<3 2,故②错;
3 2

对于③,若 B,C 三等分 AD,若设|AB|=|BC|=|CD|=1,则 |BA|+|BC|+|BD|=4=|CA|+|CB|+|CD|,故③错;
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对于④,在梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 的交点为 O,在梯形 ABCD 内任取不同于点 O 的一点 M,则在△MAC 中,|MA|+|MC|>|AC|=|OA|+|OC|,

同理在△MBD 中,|MB|+|MD|>|BD|=|OB|+|OD|, 则得 |MA|+|MB|+|MC|+|MD|>|OA|+|OB|+|OC|+|OD| , 故 O 为梯形内唯一中位点是正确的. 答案:①④

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7(2013· 安徽高考)如图,正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的 中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记 为 S,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).

①当 0<CQ<2时,S 为四边形; ②当 CQ=2时,S 为等腰梯形;
3 1

1

③当 CQ=4时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R=3; ④当4<CQ<1 时,S 为六边形; ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 2 .
6
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1

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1 2

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5 5 4 4 1 为 AD1∥2PQ,所以②正确;当 0<CQ< 时,截面为 APQM,且为四边形,故①也 2
2 解析:当 CQ= 时,D1Q2=D11 +C1Q2= ,AP2=AB2+BP2= ,所以 D1Q=AP,又因

正确,如图(1)所示;

图(1)

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3 4

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1

如图(2),当 CQ= 时,由△QCN∽△QC1R 得
1 即4 3 4

=

1 ,

=

1 1 ,C1R= ,故③正确; 1 3

图(2)

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3 4

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如图(3)所示,当 <CQ<1 时,截面为五边形 APQMF,所以④错误; 当 CQ=1 时,截面为四边形 APC1E,

图(3)

可知 AC1= 3,EP= 2,且四边形 APC1E 为菱形,四边形1 = 确. 答案:①②③⑤

6 ,故⑤正 2

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8(2014· 安徽高考)设实数 c>0,整数 p>1,n∈N+. (1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px; (2)数列{an}满足 a1
1 > ,a

-1 1- = a + ,证明:an>an+1> . n+1 n

1

(1)证明:用数学归纳法证明. ①当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ②假设 p=k(k≥2,k∈N+)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. 当 p=k+1 时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. 所以 p=k+1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,当 x>-1,x≠0 时,对一切整数 p>1,不等式(1+x)p>1+px 均 成立.

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1 > .

(2)先用数学归纳法证明 an

①当 n=1 时,由题设知
由 an+1=

1 a1> 成立.

②假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式

1 ak> 成立.

-1 1- an+ 易知 an>0,n∈N+. -1 - 当 n=k+1 时, +1 = + 1 =1+ -1 .



1 ak> >0

得-1<- <

1

1 -1

<0.

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由(1)中的结论得
因此 +1 >c,即

+1
1 > .

=

1 1+ -1



>1+p·

1 -1

=

.

ak+1

所以 n=k+1 时,不等式 an 再由
+1 1 =1+ -1

1 > 也成立. 1 an> 均成立.

综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 可得
1 综上所述,an>an+1> ,n∈N+.

+1 <1,即

an+1<an.

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