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对数及对数函数知识点及习题

对数及对数函数
1.对数的概念 一般地,如果 a = N (a > 0, a ≠ 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: . ..
x

x = log a N

其中:

a 是底数, N 是真数, log a N 是对数式

两个重要对数:
1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数:以无理数 e = 2.71828L 为底的对数的对数 ln N . 对数式与指数式的互化

log a N = x
对数式 对数 对数的性质 (1)负数和零没有对数; ←

?
指数式 → 指数

ax = N
对数底数 ← 真数 ←

? x

a N

→ 幂底数 → 幂

(2)1 的对数是零: log a 1 = 0 ; (4)对数恒等式: a
log a N

(3)底数的对数是 1: log a a = 1 ; (5) log a a n = n . 对数的运算法则:

=N;

log a ( MN ) = log a M + log a N

( M, N ∈ R )
+

log a

M = log a M ? log a N N

( M, N ∈ R )
+
+

log a N n = n log a N
对数换底公式:

( )

(N ∈R )

log a

n

N =

1 log a N n

(N ∈R )
+

log b N =

log a N log a b

Ln N = log e N ( 其中e = 2.71828… ) 称为N的自然对数 Lg N = log 10 N 称为常数对数
由换底公式推出一些常用的结论: (1) log a b =
n

1 或 log a b· log b a = 1 log b a
(4) log a n a m =

(2) log a n b m =

m log a b n

(3) log a n b = log a b

m n

1

对数函数
(一)对数函数的概念 1.定义:函数 y = log a x( a > 0 ,且 a ≠ 1) 叫做对数函数其中 x 是自变量,函数的定义 域是(0,+∞) . (二)对数函数的图象和性质 1 ○ 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 (1) y = log 2 x (2) y = log 1 x
2

(3) y = log 3 x (4) y = log 1 x
3

2 ○ 对数函数的性质:

图象特征

函数性质

a >1

0 < a <1

a >1

0 < a <1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 一、选择题: 1. 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

1α = 1
增函数 减函数

x > 1, log a x > 0 0 < x < 1, log a x < 0

0 < x < 1, log a x > 0 x > 1, log a x < 0

log8 9 的值是( log 2 3
2 3
B.1



A.

C.

3 2

D.2

2.已知 x= 2 +1,则 log4(x3-x-6)等于( A.



3 2

B.

5 4

C.0

D.

1 2

2

3.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于( lg 15
a + 2b 1+ a + b



A.

2a + b 1+ a + b

B.

C.

2a + b 1? a + b

D.

a + 2b 1? a + b

4.函数 y= log 1 (2 x ? 1) 的定义域为(
2



A.(

1 ,+∞) 2

B. [1,+∞ )

C.(

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1)

5.已知 f(ex)=x,则 f(5)等于( A.e5 B.5
e

) C.ln5 D.log5e

6.设集合 A = {x | x ? 1 > 0}, B = {x | log 2 x > 0 |}, 则A ∩ B 等于(
2



A. {x | x > 1}

B. {x | x > 0}

C. {x | x < ?1}

D. {x | x < ?1或x > 1}

7.计算:log2.56.25+lg

1 1+log2 3 +ln e + 2 = 100



3

8.函数 y =(log 1 x)2-log 1 x2+5 在 2≤x≤4 时的值域为
4 4



9.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的值, 并求此时 f(x)的最小值?

10.已知函数 f(x)=loga(a-ax)且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域上的单调性;

11.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的 横坐标依次为 a、a+1、a+2,其中 a≥1,求△ABC 面积的最大值.

4


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