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2014届高三第三次月考数学试卷 2013.11.17


2014 届高三第三次月考数学试题卷
时间:120 分钟 满分 150 分 2013.11.17

第 I 卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1. 已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的定义域为 M ,函数 y ? A.

? x x ? 1且x ? 0?

B.

? x x ? 1且x ? 0?
C. 2013

1 的定义域为 N ,则 M ? N ? ( x C. ? x x ? 1? D. ? x x ? 1?



2.若“ x ? m ”是“ ( x ? 2013 )( x ? 2014 ) ? 2 ”的充分不必要条件,则 m 的最大值是( A. 2011 B. 2012 D. 2014



3. 已知函数 f ( x) ? 2m sin x ? n cos x ,直线 x ?

?
3

是函数 f (x) 图像的一条对称轴,则

n ?( m



A.

3 3 2

B.

3

C.

?

2 3 3

D.

3 3

4. 如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为 1,则该几何 体的表面积为 ( ) A. 1? 2 B. 2 ? 2 2
正视图 侧视图

1 C. 3
D. 2 ? 2
俯视图

5. 已知复数 Z1 ? cos 23? ? i sin 23? 和复数 Z2 ? sin 53? ? i sin 37 ? ,则 Z1· 2 Z





3 1 ? i 2 2 ???? 1 ???? ??? ? 6. ?ABC 中,?A ? 60?, ?A 的平分线 AD 交边 BC 于 D , 已知 AB ? 3 , AD ? AC ? ? AB(? ? R) , 且 3
A. B. C. D. 则 AD 的长为( A.1 ) B. 3 C. 2

1 3 ? i 2 2

3 1 ? i 2 2

1 3 ? i 2 2

3

D.3

7.袋中标号为 1,2,3,4 的四只球,四人从中各取一只,其中甲不取 1 号球,乙不取 2 号球,丙不取 3 号 球,丁不取 4 号球的概率为( ) A.

1 4

B.

3 8

C.

11 24

D.

23 24

8. 若函数 y ? f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件 | x | ? | y | ,则称函数 f ( x) 具有性质 S ,
第 1 页

那么下列函数中具有性质 S 的是 ( A. f ( x) ? e ? 1
x

) C. f ( x) ? sin x D. f ( x) ? tan x

B. f ( x) ? ln( x ? 1)

2 9. 已知直线 AB 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点, M 为 AB 的中点,C 为抛物线上一个动点,若 C0 满足

???? ???? ? ? ??? ??? ? ? C0 A ? C0 B ? min{CA ? CB} ,则下列一定成立的是(
A. C0 M ? AB C. C0 A ? C0 B
x

) 。

B. C0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C0 的切线 D. C0 M ?

1 AB 2
1 (b ? a)( f (a) ? f (b)) 则 A, B 的大小关系 2

10.已知 f ( x) ? e , x ? R , a ? b ,记 A ? f (b) ? f (a), B ? 是( ) B. A. A ? B

A? B

C.

A? B

D. A ? B

第 II 卷
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 1 11. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ? ,则 x ? y ? _________________。 3
12.关于 x 的不等式 x ? a ? x ? x ? 2013 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是 。

13.在极坐标系中,曲线 C1 : ? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C 2 : ? ? a, (a ? 0) 的一个交点在极轴上,则 a 的值为 。 14. 将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第 2013 个数字是 15. 设二次函数 g (x) 的图象在点 (m, g (m)) 的切线方程为 y ? h(x) ,若 f ( x) ? g ( x) ? h( x) 则下面说法正确的有: 。 .

①存在相异的实数 x1 , x 2 使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; ② f (x) 在 x ? m 处取得极小值; ③ f (x) 在 x ? m 处取得极大值; ④不等式 f ( x) ?

1 的解集非空; 2013

⑤直线 x ? m 一定为函数 f (x) 图像的对称轴。

三、解答题(请注意答题步骤的书写工整,共 75 分)
16.(本题满分 12 分)如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 面ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF , BE

第 2 页

与平面 ABCD 所成的角为 60 0 . (1)求二面角 F ? BE ? D 的的余弦值; (2)设点 M 是 线段 BD 上 一动点, 试确定 M 的 位置,使 得 AM // 面BEF , 并证明你 的结论 。 E

F

D M

C

A

B

17. (本题满分 12 分)淮南八公山某种豆腐食品是经过 A、B、C 三道工序加工而成的,A、B、C 工序的 产品合格率分别为 、 、 .已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工的产品都为合格时产品为一 等品;有两次合格为二等品;其它的为废品,不进入市场. (Ⅰ)正式生产前先试生产 2 袋食品,求这 2 袋食品都为废品的概率; (Ⅱ)设 ξ 为加工工序中产品合格的次数,求 ξ 的分布列和数学期望.

18. (本题满分 12 分)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) , .. 当年产量不足 80 千件时, ( x) ? C

1 2 (万元) .当年产量不小于 80 千件时, ( x) ? 51x ? 10000 ? 1450 x ? 10 x C 3 x

(万元).每件商品售价为 500 元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. .. (1)写出年利润 L(x ) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

19. (本题满分 13 分)已知函数 f (x) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足以下三个条件:① f (1) ? 1 ;② 对任 意的 x ? ?0,1?,都有 f ( x) ? 0 ; ③当 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 时总有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。
第 3 页

(1)试求 f (0) 的值; (2)求 f (x) 的最大值; (3)证明:当 x ? ? ,1? 时,恒有 2 x ? f ( x) 。 4

?1 ? ? ?

20. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中 AB ? c, AC ? b , D 为线段 BC 上一点,且 ?BAD ? ? , ?CAD ? ? , 线段 AD ? l 。 (1)求证:

sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? b c l
0 0

(2)若 AB ? 4 2 , AC ? 4 , ?BAD ? 30 , ?CAD ? 45 ,试求线段 AD 的长.

21. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(1)若 b ? ?12 ,求 f (x) 在 ?1 , 3? 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

参考答案与评分标准
说明:
第 4 页

一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,第 15 题少选、错选均不得分.

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1. 已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的定义域为 M ,函数 y ? A.

? x x ? 1且x ? 0?

B.

? x x ? 1且x ? 0?

1 的定义域为 N ,则 M ? N ? ( x C. ? x x ? 1? D. ? x x ? 1?



选 A 集合运算 2.若“ x ? m ”是“ ( x ? 2013 )( x ? 2014 ) ? 2 ”的充分不必要条件,则 m 的最大值是( A. 2011 B. 2012 C. 2013 选 B 理解不必要条件的意思是还可以 x ? 2015 3. 已知函数 f ( x) ? 2m sin x ? n cos x ,直线 x ? D. 2014 )

?
3

是函数 f (x) 图像的一条对称轴,则

n ?( m



A.

3 3 2

B.

3

C.

?

2 3 3

D.

3 3

选 C 辅助角公式,或求导易得。 4. 如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为 1,则该几何 体的表面积为 ( ) A. 1? 2 B. 2 ? 2 2
正视图 侧视图

1 C. 3
D. 2 ? 2
俯视图

选 D 5. 已知复数 Z1 ? cos 23? ? i sin 23? 和复数 Z2 ? sin 53? ? i sin 37 ? ,则 Z1· 2 Z ( )

A.

1 3 ? i 2 2

B.

3 1 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

选 A 复数乘法与三角公式应用 6. ?ABC 中,?A ? 60?, ?A 的平分线 AD 交边 BC 于 D , 已知 AB ? 3 , AD ? 且
第 5 页

????

??? ? 1 ???? AC ? ? AB(? ? R) , 3

则 AD 的长为( A.1

) B. 3 C. 2

3

D.3

选 C 由共线定理得 ? ?

2 ,以下可有两种方法:几何线性运算,过 D 作 AB,AC 的平行线得菱形;或得 3

出 D 分 BC 的比,进而求出 AC 长,再将式子平方转化为向量的另一种运算——数量积运算。 7.袋中标号为 1,2,3,4 的四只球,四人从中各取一只,其中甲不取 1 号球,乙不取 2 号球,丙不取 3 号 球,丁不取 4 号球的概率为( ) A. 选B

1 4

B.

3 8

C.

11 24

D.

23 24

一个错位排列模型

8. 若函数 y ? f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件 | x |? | y | ,则称函数 f ( x) 具有性质 S ,那 么下列函数中具有性质 S 的是 ( A. f ( x) ? e ? 1
x

) C. f ( x) ? sin x D. f ( x) ? tan x

B. f ( x) ? ln( x ? 1)

答案 C 对不等式表示区域理解,对常见函数图像的特征的考查。 9. 已知直线 AB 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点, M 为 AB 的中点,C 为抛物线上一个动点,若 C0 满足
2

???? ???? ? ? ??? ??? ? ? C0 A ? C0 B ? min{CA ? CB} ,则下列一定成立的是(
A. C0 M ? AB C. C0 A ? C0 B 答案 B

) 。

B. C0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C0 的切线 D. C0 M ?

1 AB 2

??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ???? ???? ? ? ???? 2 ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? ? CA ? CB ? (CM ? AM ) ? (CM ? BM ) ? CM ? CM ( AM ? BM ) ? AM ? BM ? ???? 2 ???? 2 ? ? ??? ??? ????? ? ? ? CM ? AM ? min{CA ? CB} ? CM min ? CM ? l 。
10.已知 f ( x) ? e , x ? R , a ? b ,记 A ? f (b) ? f (a), B ?
x

1 (b ? a)( f (a) ? f (b)) 则 A, B 的大小关系 2

是(

) B.

A. A ? B

A? B
x

C.

A? B

D. A ? B

选 C 实际上 A 为 f ( x) ? e , x ? R 在 ?a, b ? 上的定积分,B 为曲边梯形的面积。另将 A,B 作商,换元构 造函数也可判断。

第 II 卷
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 1 11. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ? ,则 x ? y ? _________________。 3

第 6 页

答案:由 tan x tan y ? 2,sin x sin y ?

x ? y ? 2k? ?

?
3

1 1 1 ? cos x cos y ? ? cos( x ? y) ? ,所以 3 6 2

。 。

12.关于 x 的不等式 x ? a ? x ? x ? 2013 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是 答案 0 ? a ? 2013

13.在极坐标系中,曲线 C1 : ? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C 2 : ? ? a, (a ? 0) 的一个交点在极轴上,则 a 的值为 答案 。

a?

2 2

14. 将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第 2013 个数字是 . 答案: 7 . 解:全体一位数共占据 9 个数位,全体两位数共占据 2 ? 90 ? 180 个数位,接下来是顺次排列的三位数, 由于 2013 ? 9 ?180 ? 1824 ,而 位数字,即为 7 . 15. 设二次函数 g (x) 的图象在点 (m, g (m)) 的切线方程为 y ? h(x) ,若 f ( x) ? g ( x) ? h( x) 则下面说法正确的有: 。

1824 ? 608 ,因 608 ?99 ? 707 ,所以第 2013 个数字是三位数 707 的末 3

①存在相异的实数 x1 , x 2 使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; ② f (x) 在 x ? m 处取得极小值; ③ f (x) 在 x ? m 处取得极大值; ④不等式 f ( x) ?

1 的解集非空; 2013

⑤直线 x ? m 一定为函数 f (x) 图像的对称轴。

答案 ① ④ ⑤

三、解答题(请注意答题步骤的书写工整,共 75 分)
16.(本题满分 12 分)如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 面ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求二面角 F ? BE ? D 的的余弦值; (2) 设 点 M 是 线 段 BD 上 一 动 点 , 试 确 定 M 的 位 置 , 使 得 AM // 面BEF , 并 证 明 你 的 结 论 。
0

第 7 页

E

F

D M

C

A

B



其他解法,也给分。 17. (本题满分 12 分)淮南八公山某种豆腐食品是经过 A、B、C 三道工序加工而成的,A、B、C 工序的
第 8 页

产品合格率分别为 、 、 .已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工的产品都为合格时产品为一 等品;有两次合格为二等品;其它的为废品,不进入市场. (Ⅰ)正式生产前先试生产 2 袋食品,求这 2 袋食品都为废品的概率; (Ⅱ)设 ξ 为加工工序中产品合格的次数,求 ξ 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)2 袋食品都为废品的情况为: ①2 袋食品的三道工序都不合格 ②有一袋食品三道工序都不合格,另一袋有两道工序不合格 ; ③两袋都有两道工序不合格 所以 2 袋食品都为废品的概率为 (Ⅱ)由题意可得 ξ=0,1,2,3, , , P(ξ=3)= = , ,得到 ξ 的分布列如下: . , ;

故 P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)= ξ P 0 1 2 3





18. (本题满分 12 分)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) , .. 当年产量不足 80 千件时, ( x) ? C

1 2 (万元) .当年产量不小于 80 千件时, ( x) ? 51x ? 10000 ? 1450 x ? 10 x C 3 x

(万元).每件商品售价为 500 元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. .. (1)写出年利润 L(x ) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 解: (1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 千件商品销售额为 0.05× 1000 x 万元,依题意得:



时,

.
第 9 页

2分



时,

=

.

4分

所以

6分

(2)当 此时,当

时, 时, 取得最大值 万元. 8分



时,



时,即



取得最大值 1000 万元.

11 分

所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. 12 分 19. (本题满分 13 分)已知函数 f (x) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足以下三个条件:① f (1) ? 1 ;② 对任 意的 x ? ?0,1?,都有 f ( x) ? 0 ; ③当 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 时总有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。 (1)试求 f (0) 的值; (2)求 f (x) 的最大值; (3)证明:当 x ? ? ,1? 时,恒有 2 x ? f ( x) 。 4 解:(1)令 x ? ? 0,1? , y ? 0 ,则有 又根据条件(2)可知 (2).设 0 ?

?1 ? ? ?

f (x) ? f (x ? 0) ? f (x) ? f (0), 所以有 f (0) ? 0 ,
3分

f (0) ? 0, 故 f (0) ? 0 。 (也可令 x ? y ? 0 )

x ?x
1

2

? 1, 则有 f ( x 2) ? f ( x 2 ? x1 ? x1) ? f ( x 2 ? x1) ? f ( x1) ? f ( x1), 即
8分

f (x) 为增函数(严格来讲为不减函数) ,所以 f (x) ? f (1) ? 1 ,故 f (x) ? 1 max
第 10 页

(3)当. x ? ?

?1 ? ?1 ? ,1? , 有 2 x ? 1 ,又由(2)可知 f (x) ? 1 ,所以有 2 x ? f (x) 对任意的 x ? ? ,1? 恒成立. ?2 ? ?2 ?

1 1 1 1 f ( )? f ( ) f ( ? ) ?1 1 ? 1 2 2 ? 2 2 ? 1, 当 x ? ? , ? , 有,又由(2)可知 f (x) ? f ( ) ? 2 2 2 2 ?4 2 ?

所以有 2 x ? f (x) 对任意 x ? ? 综上.对任意 x ? ?

?1 1 ? , ? , 恒成立. ?4 2 ?
13 分

?1 ? ,1 , 恒有 2 x ? f (x) 成立 ?4 ? ?

20. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中 AB ? c, AC ? b , D 为线段 BC 上一点,且 ?BAD ? ? , ?CAD ? ? , 线段 AD ? l 。 (1)求证:

sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? b c l
0 0

(2)若 AB ? 4 2 , AC ? 4 , ?BAD ? 30 , ?CAD ? 45 ,试求线段 AD 的长. 解: 在 ?ABC 中,S ?ABC ? S ?ABD ? S ?BCD , (1) 得 得证。 (2)由(1)代入数据得 l ?

1 1 1 1 bc sin?? ? ? ? ? bl sin ? ? cl sin ? ,同除 bcl 即 2 2 2 2
7分 12 分

6? 2
2

21. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (1)若 b ? ?12 ,求 f (x) 在 ?1 , 3? 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围;

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n 解: (1)由题意知, f (x) 的定义域为 (?1,??) ,当 b ? ?12 时,
(3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln 由 f ( x) ? 2 x ?
/

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 , ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) x ?1 x ?1
/ /

当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x) 单调递增, ∴

f ( x) min ? f (2) ? 4 ? 12 ln 3 .
/

????4 分

(2)由题意 f ( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, x ?1 x ?1 即 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根,设 g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? b , 1 又对称轴 x ? ? ? (?1,??) , 2

第 11 页

则?

(3)对于函数 f ? x ? ? x 2 ? ln( x ? 1) ,令函数 h? x ? ? x 3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln( x ? 1) ,

?? ? 4 ? 8b ? 0 1 ,解之得 0 ? b ? . 2 ? g (?1) ? 0
/ 2

????9 分

1 3 x 3 ? ( x ? 1) 2 ,?当x ? [0,??)时,h / ? x ? ? 0 , ? x ?1 x ?1 所以函数 h? x ? 在 [0,??) 上单调递增,又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时,恒有 h? x ? ? h(0) ? 0 , 1 n ?1 1 1 n ?1 2 3 即 x ? x ? ln( x ? 1) 恒成立.取 x ? ? (0,??) ,则有 ln ? 2 ? 3 ? 3 恒成立. n n n n n n ?1 n ?1 显然,存在最小的正整数 N ? 1 ,使得当 n ? N 时,不等式 ln ? 3 恒成立. ????14 分 n n
则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ?

第 12 页



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