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2015-2016学年高中数学 1.2.2.1函数的表示法课件 新人教A版必修1

第一章

集合与函数概念

1.2

函数及其表示

1.2.2 函数的表示法

第一课时

函数的表示法

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表 法. 2.会求函数解析式,并正确画出函数的图象. 3.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表 示函数.

课前热身 1.表示函数常用的三种方法是:__________、 __________、__________. 2.用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫 做__________. 3.用图象表示两个变量之间的关系的方法叫做 __________. 4.列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做 __________.

自 1.解析法 我 2.解析法 校 3.图象法 对 4.列表法

图象法

列表法

思考探究 任何一个函数都可以用解析法表示吗? 提示 不一定.如某一地区的绿化面积与年份关系等受偶 然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示.

名师点拨 1.函数三种表示方法的特点 (1)解析法:简明,全面地概括了变量间的关系,可以通 过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值. (2)图象法:直观形象地表示了自变量变化时,相应函数 值的变化趋势,可以通过图象来研究函数的某些性质. (3)列表法:不需要计算就可以直接看出与自变量对应的 函数值.

2.利用描点法作图的一般步骤 (1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式; (3)通过列表、描点画出函数的图象.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



函数图象的作法
作出下列各函数的图象.

【例1】

(1)y=1-x,x∈Z; (2)y=2x2-4x-3,0≤x<3; (3)y=|x-1|.

【解】

(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在

直线y=1-x上,又x∈Z,从而y∈Z,因此y=1-x(x∈Z)的图 象是直线y=1-x上一些孤立的点(如图①). (2)∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3 介于0≤x<3之间的一段(如图②). (3)所给函数去掉绝对值符号得
? ?x-1 y=? ? ?1-x

?x≥1?, 是端点为(1,0)的两条射线(如图③). ?x<1?

规律技巧

从本题可以看到函数的图象不一定是一条或几

条平滑的曲线,也可以是一些点、线段、一段曲线等.本题中 (1)是直线y=1-x上的整数点; (2)是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3的部分; (3)可以看作y=|x|的图象向右平移一个单位而得到的.

变式训练1

已知函数y=2x-3,x∈{0,1,2,3,4,5}.

(1)用列表法表示该函数; (2)作出该函数的图象; (3)求该函数的值域.

解 (1)如下表: x y (2)如图: 0 -3 1 -1 2 1 3 3 4 5 5 7

(3)值域为: {-3,-1,1,3,5,7}.



求函数的解析式

【例2】

(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,f(x)的解

析式为________. (2)已知f( x+1)=x+2 x,求f(x).

【解析】

k (1)设反比例函数f(x)= (k≠0), x

k ∵f(3)=-6,则f(3)=3=-6,解得k=-18. ∴f(x)=- 18 . x

(2)方法一:(换元法) 令 x+1=t(t≥1),则x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2 ?t-1?2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1).

方法二:(配凑法) ∵x+2 x=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1. 又∵ x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).

规律技巧

求函数解析式的两种方法

方法一:待定系数法 适用条件:函数的类型已知,如一次函数、二次函数 等.操作过程:

方法二:换元法适用条件:已知y=f(g(x)),求f(x)的解析 式. 操作过程:

提醒:利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域.

变式训练2

(1)已知二次函数f(x)的图象经过A(-1,3),

B(0,1),C(2,3)三点,求f(x)的解析式; (2)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.

解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意,得 ?a-b+c=3, ? ?c=1, ?4a+2b+c=3. ? ∴f(x)=x2-x+1. (2)设x+1=t,则x=t-1, f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2. ∴所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2. ?a=1, ? ∴?b=-1, ?c=1. ?



函数图象的应用
水池有2个相同的进水口,1个出水口,每个水

【例3】

口进出水的速度如图①②所示.某天0点到6点,该水池的蓄水 量如图③所示(至少打开一个水口).

给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水; ②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水. 其中一定正确的论断是( A.① C.①③ ) B.①② D.①②③

【解析】

由题图①②可看出,如果进水口与出水口同时

1 打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v进水= v 2 出
水.

由题图③可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,

所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故 ①正确;在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此 时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确; 在4点到6点之间蓄水量不变,至少打开一个水口,所以在此时 间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,故③不正确.

综上所述,论断仅有①一定正确.

【答案】 A

变式训练3 已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定 义域是________,值域是________.

答案 [-3,3] [-2,2]

易错探究 【例4】 如下图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P 在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足,设BP=x,CQ=y,试求y 关于x的函数关系式.

【错解】

CQ BC y 由题意,知△CQB∽△BAP,∴ BA = BP ,即3

4 12 =x,∴y= x ,于是y关于x的函数关系式为 12 y= x (x>0).

【错因分析】 位.

错误的原因是对函数的定义域考虑不到

【正解】

CQ BC 由题意,知△CQB∽△BAP,∴ BA =BP,

y 4 12 即3=x,∴y= x . ∵BA≤BP≤BD,而BA=3,BD=5, 故3≤BP≤5. 12 于是y关于x的函数解析式为y= (3≤x≤5). x

当堂检测 |x| 1.函数y= 的图象是图中的( x )

解析 函数的定义域为{x|x≠0},故排除A,B;又当x= -1时,y=-2≠0,排除D,综上知选C.

答案

C

?1-x? ? 2.已知f? ?1+x?=x,则f(x)=( ? ?

)

x+1 A. x-1 1+x C. 1-x

1-x B. 1+x 2x D. x+1

1-x 1-t 1-t 1-x 解析 令 =t,则x= ,故f(t)= ,即f(x)= . 1+x 1+t 1+t 1+x

答案

B

3.如图所示的函数f(x)的图象曲线OAB,其中点O,A,B 的坐标分别是(0,0),(1,2),(3,1),则f[f(3)]的值等于________.

解析 由图象曲线知,f(3)=1,∴f[f(3)]=f(1)=2.

答案

2

4.已知f(3x+1)=9x2-6x+5,则f(-2)=________.

解析 令3x+1=-2,得x=-1,代入原解析式,可得 f(-2)=9· (-1)2-6· (-1)+5=20.

答案

20

5.已知a,b为常数,且a≠0,f(x)=ax2+bx,f(2)=0,方 程f(x)=x有两个相等的实数根,求函数f(x)的解析式.

解 ∵f(x)=ax2+bx,且方程f(x)=x即ax2+(b-1)x=0有 两个相等的实数根,∴Δ=(b-1)2=0,∴b=1, 1 又∵f(2)=0,∴4a+2=0,∴a=-2, 1 2 ∴f(x)=-2x +x.


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