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高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3


3 .2

立体几何中的向量方法 空间向量与垂直关系

第 2 课时

A 级 基础巩固 一、选择题 1. 若直线 l 的方向向 量 a=(1, 0, 2), 平面 α 的法向量为 u=(-2, 0, -4), 则( A.l∥α C.l? α B.l⊥α D.l 与 α 斜交 )

解析:所以 u=-2a,所以 a∥u,所以 l⊥α . 答案:B 2.若 a=(2,-1,0),b=(3,-4,7),且(λ a+b)⊥a,则 λ 的值是( A.0 C.-2 B.1 D.2 )

解析:λ a+b=λ (2,-1,0)+(3,-4,7)=(3+2λ ,-4-λ ,7), 因为(λ a+b)⊥a, 所以 2(3+2λ )+4+λ =0,即 λ =-2. 答案:C 3.若平面 α 、β 的法向量分别为 a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且 α ⊥β , 则 x 的值为( A.10 C. 1 2 ) B.-10 1 D.- 2

解析:因为 α ⊥β ,则 它们的法向量也互相垂直, 所以 a·b=(-1,2,4)×(x,-1,-2)=0, 解得 x=-10. 答案:B 4.两平面 α 、β 的法向量分别为 u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若 α ⊥β , 则 y+z 的值是( A.-3 C.-6 ) B.6 D.-12

解析:α ⊥β ? u·v=0? -6+y+z=0,即 y+z=6. 答案:B
1

5.在三棱锥 P?ABC 中,CP,CA,CB 两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直 角坐标系,则下列向量中是平面 PAB 的法向量的是( )

1? ? A.?1,1, ? 2? ? B.(1, 2,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1) 答案:A 二、填空题

? 1 ? 且 l⊥α , 6. 若 l 的方向向量为(2, 1, m), 平面 α 的法向量为?1, ,2?, 则 m=________. ? 2 ?
2 1 m 解析:由 l⊥α 得, = = ,即 m=4. 1 1 2 2 答案:4 7.平面 α ,β 的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且 α ⊥β ,则 x 的 值为________. 解析:因为 α ⊥β ,所以它们的法向量也互相垂直, 则有-x-2-8=0, 所以 x=-10. 答案 :-10 8.向量 a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面 α 内的两个不共线的向量,直线 l 的一个方向向量 m=(2,3,1),则 l 与 α 是否垂直?________(填“是”或“否”). 解析:m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2, - 2,3)=4-6+3=1≠0. 所以 l 与 α 不 垂直. 答案:否 三、解答题 9.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,求证:OB1⊥平 面 PAC. 证明:如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为 2,则 A(2,0,0),P(0,0, 1),C(0,2,0),B1(2,2,2),O(1,1,0).
2

→ → → 于是OB1=(1,1,2),AC=(-2,2,0),AP=(-2,0,1), → → 由于OB1·AC=-2+2+0=0 → → 及OB1·AP=-2+0+2=0. → → → → 所以OB1⊥AC,OB1⊥AP, 所以 OB1⊥AC,OB1⊥AP. 又 AC∩AP=A,所以 OB1⊥平面 PAC. 10.三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1B1C1,∠BAC =90°,A1A⊥平面 ABC,A1A= 3,AB=AC=2A1C1=2,D 为 BC 中点.

证明:平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 证明:法一:如图,建立空间直角坐标系,则

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, 3),C1(0,1, 3),
因为 D 为 BC 的中点, 所以 D 点坐标为(1,1,0), → 所以BC=(-2,2,0), →

AD=(1,1,0),AA1=(0,0, 3),
→ → → → 因为BC·AD=-2+2+0=0,BC·AA1=0+0+0=0,
3



→ → → → 所以BC⊥AD,BC⊥AA1,所以 BC⊥AD,BC⊥AA1, 又 AD∩AA1=A,所以 BC⊥平面 ADA1, 而 BC? 平面 BCC1B1, 所以平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 法二:同法一,得

AA1=(0,0, 3),AD=(1,1,0),






BC=(-2,2,0),CC1=(0,-1, 3),
设平面 A1AD 的法向量 n1=(x1,y1,z1), 平面 BCC1B1 的法向量为 n2=(x2,y2,z2). → ?n ·AA =0, ? 3z =0, 由? 得? → ?n ·AD=0 ?x +y =0.
1 1 1 1 1 1



令 y1=-1 得 x1=1,z1=0, 所以 n1=(1,-1,0). → ?n ·BC =0, ?-2x +2y =0, 由? 解? → ?n ·CC =0, ?-y + 3z =0.
2 2 2 2 2 2 1

令 y2=1,得 x2=1,z2= 所以 n2=?1,1,

3 , 3

? ?

3? ?. 3?

所以 n1·n2=1-1+0=0,所以 n1⊥n2. 所以平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. B 级 能力提升 1.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( A.AC C.A1D 答案:B 2.已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点 P 的坐标为 → → → → (x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点 P 的坐标为________. → 解析:因为AB=(-1,-1,1), B.BD D.A1A )

4





AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z),
→ → → → ? ?x-1-z=0, 由PA·AB=0,PA·AC=0,得? ?-2x-z=0, ? 2? 1 2 ?1 则 x= ,z=- ,所以 P? ,0,- ?. 3 3? 3 3 ? 2? ?1 答案:? ,0,- ? 3? ?3 3.在正方 体 ABCD?A1B1C1D 1 中, E 是棱 BC 的中点, 试在棱 CC1 上求一点 P, 使得平面 A 1B1P ⊥平面 C1DE.

解:如图,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系.设正方体的棱长为 1,P(0,1,a),则 A1(1,0,1),B1(1,1,1),

? ? E? ,1,0?,C1(0,1,1),
1 ?2

?

A1B1=(0,1,0),A1P=(-1,1,a-1),






? ? DE=? ,1,0?,DC1=(0 ,1,1).
1 ?2



?

设平面 A1B1P 的一个法向量为

n1=(x1,y1,z1),

?n ·A→ B =0, 则? ? → ?n ·A P=0,
1 1 1 1 1

? ?y1=0, ? ?-x1+y1+(a-1)z1=0, ?

所以 x1=(a-1)z1,y1=0.
5

令 z1=1,得 x1=a-1, 所以 n1=(a-1,0,1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), → 1 ?n ·DE ? x +y =0, ? =0, ? ?x =-2y , 则? ? ?2 ?? ?z =-y . → ? ?y +z =0, ?n ·DC =0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

令 y2=1,得 x2=-2,z2=-1, 所以 n2=(-2,1,-1). 因为平面 A1B1P⊥平面 C1DE, 1 所以 n1·n2=0,即-2(a-1)-1=0,得 a= . 2 所以当 P 为 CC1 的中点时,平面 A1B1P⊥平面 C1DE.

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